талон, не обходя слишком много других? Я вижу человека… вот он около кассы… он хитрый, он хочет сделать так, чтобы незаметно вырезать талон… Он режет… а я слежу… Нет, не так! Лучше так! И я нахожу, как лучше! То, что другие могут сделать только с расчетами и на бумаге, я могу делать умозрительно!..» (опыт 6/Х 1937 г.).
Пусть многие из этих предложений не слишком практичны: где найдешь столько автомобильных камер, чтобы разрезать их на резиновые кольца и ввести новый метод упаковки?.. Ш. никогда не отличался практичностью (и мы еще увидим – почему), но «то, что другие решают с расчетами и на бумаге, он решал умозрительно» – и в этом было его большое преимущество. Оно особенно проявлялось в тех задачах, которые трудны для нас именно потому, что словесный «расчет» заслоняет от нас наглядное «видение».
«Вы помните шуточную задачу: “Стояли на полке два тома по 400 страниц. Книжный червь прогрыз книги от первой страницы первого тома до последней страницы второго. Сколько страниц он прогрыз?”
Вы, наверное, скажете 800 – 400 страниц первого и 400 страниц второго? А я сразу вижу: нет, он прогрыз только два переплета! Ведь я вижу: вот они стоят, два тома, слева первый, рядом второй. Вот червь начинает с первой страницы и идет направо. Там только переплет первого тома и переплет второго, и вот он уже у последней страницы второго тома… а ведь он ничего, кроме двух переплетов, не прогрыз…»
Еще ярче выступают механизмы наглядного мышления при решении тех задач, в которых исходные отвлеченные понятия вступают в особенно отчетливый конфликт со зрительными представлениями; Ш. свободен от этого конфликта – и то, что с трудом представляется нами, легко усматривается им.
«…Вот там, на М. Бронной, у нас была маленькая комната, мы встретились с математиком Г. Он мне рассказывал, как он решает задачи, и предложил мне решить такую – он сидел на стуле, а я стоял. “Представьте себе, – говорил он, – что перед вами лежит яблоко, и это яблоко надо обтянуть веревкой или ремешком; получится круг с определенной длиной окружности. Теперь я к этой длине окружности прибавлю 1 метр, и теперь эта новая длина окружности будет яблоко плюс 1 метр. Охватите снова яблоко; ясно, что между яблоком и веревкой останется больше пространства”. Когда он мне говорил это, я тут же вижу яблоко, я наклоняюсь, обтягиваю его веревкой… Он говорит “ремнем” – я вижу кусок ремня, нет, он целый, и вот я сделал из него круг, а в середине положил яблоко. Теперь он говорит: “Представим себе земной шар”. Вначале я увидел большой земной шар, его тоже охватывает ремень – и горы, и возвышенности… “Теперь так же прибавим к ремню 1 метр. Должно получиться какое-то расстояние. Какое расстояние получится?” Вначале у меня появляется представление об огромном земном шаре. Я его превращаю в глобус, но без подставки… Это тоже не годится. Он сходен с яблоком. Тогда помещение, где мы были, пропало, и я увидел огромный шар далеко – в нескольких километрах. Ремень я заменяю стальным обручем – задача трудная – охватить его надо точно. Потом я прибавляю метр и вижу, как отскакивает пространство. Какое пространство? Мне нужно сообразить, понять, чтобы превратить его в размеры, которые приняты у людей… Я у дверей вижу ящик, я превращаю его в форму шара, ящик обтягиваю ремнем… Теперь я прибавляю метр точно по углам… Затем я беру точный размер, разрезаю его на 4 части, каждая часть 25 см – для каждого ремешка получается излишек – длина каждой стороны ящика и 1/4 часть… Ну вот, безразлично, какой бы величины ящик ни был, если каждая сторона 100 км, я прибавляю 25 см… Какая ни будет длина каждой стороны ящика – все равно прибавится 25 см… Получается 4 стороны – и каждая сторона имеет прибавку в 25 см… Я отодвигаю ремень вдоль стороны – и получается с каждой стороны по 12,5 см, ремень везде отстает от ящика на 12,5 см. Пусть ящик огромный, каждая сторона имеет миллион см – все равно, если прибавить 1 метр – каждая сторона имеет 25 см… Теперь ящик превращается в нормальный. Мне нужно только снять углы и превратить его в круглую форму. И получилось опять то же самое… Вот как я решал эту задачу» (опыт 12/III 1937 г.).
Читатель простит автора за слишком длинную выдержку; у автора есть одно оправдание: выдержка показывает, какие умозрительные методы применяет Ш. и как эти методы приводят его к решению задачи совсем иными путями, чем те, которые применяет человек, оперирующий «расчетами и карандашом».
Мы провели с Ш. много часов над анализом того, какие преимущества давал умозрительный метод для решения арифметических задач, – и мой испытуемый многому научил меня, анализируя ту роль, которую для решения задач играют наглядные образы.
Нет сомнения, «расчеты с карандашом и бумагой» или с умственными схемами не могут не оставаться основным приемом решения задач, но как часто задачи, в которых эти расчеты, не опирающиеся на наглядные образы, могут уводить в сторону от правильного решения или заменять простой способ решения сложным и неэкономным.
Кто не знает, какой трудной может оказаться, казалось бы, простая задача: «Кирпич весит 1 кг и еще столько, сколько весит полкирпича. Сколько весит кирпич?»… С какой легкостью люди, сосредоточившиеся только на числах, дают неверный ответ – 1,5 кг! Такие соскальзывания на формальные ответы были чужды Ш., нет, даже просто невозможны для него. Его умозрительная форма решения, которая заставляла его всегда иметь дело с предметами и всегда связывать числа с наглядными вещами, не допускала формальных решений, и задачи, вызывавшие состояние конфликта у других, протекали у него без вызванных таким конфликтом затруднений. Вот несколько иллюстраций этого положения.
«…Мне предлагают задачу: “Книга в переплете стоит 1 руб. 50 коп. Книга дороже переплета на 1 руб. Сколько стоит книга и сколько переплет?” Я решил это совсем просто. У меня лежит книга в красном переплете, книга стоит дороже переплета на 1 руб. Я вырываю часть книги и думаю, что она стоит 1 руб. Остается часть книги, которая равна стоимости переплета – 50 коп. Потом я присоединяю эту часть книги – получается 1 руб. 25 коп.
И еще: мой товарищ, инженер, дал мне задачу: “Отцу и сыну вместе 47 лет; сколько лет им было три года назад?” Я вижу отца, он держит за руку сына, им 47 лет. С ними идет еще один сын и еще один отец. Я откидываю каждому по три года… Я представляю себе, что это нужно взять вдвойне. Я умножаю на 2, получается 6, и я вычитаю 6» (опыт 12/III 1937 г.).
Наглядные образы вещей уводят от ошибок формального решения задачи, и у Ш. не появляется искушение заменить подлинное решение задачи операцией формального числового отсчета.
Сделаем еще один шаг и посмотрим, как умозрительно решаются задачи, которые мы обычно решаем сложным отсчетом.
Задача: «Блокнот в 4 раза дороже карандаша. Карандаш дешевле блокнота на 30 коп. Сколько стоят блокнот и карандаш в отдельности?»
Ш. решает эту задачу. На столе появляется блокнот, рядом с ним 4 карандаша (рис. 1а).
Рис. 1
«Карандаш дешевле блокнота на 30 коп. Три карандаша отодвигаются вправо (рис. 1б) как лишние и уступают место их денежному эквиваленту. Вслед за этими образами появляется изображение двух чисел: 10 и 40… Вот и ответ на вопрос, сколько стоят блокнот и карандаш в отдельности» (из записей Ш.).
Нетрудно видеть, как быстро и легко выполняется умозрительное решение задачи там, где решение ее вербально-логическим путем должно вызывать дополнительные отвлеченные расчеты.
Еще отчетливее выступают приемы умозрительного решения задач в более сложных примерах. Остановимся на двух из них.
Ш. дается задача: «Мудрец и путешественник сидели на лужайке. У путешественника было 2 хлебца, у мудреца – 3. К ним подошел прохожий, они предложили ему покушать и поделили поровну хлеб на 3 части. После еды прохожий, поблагодарив за угощение, дал им 10 яиц. Как мудрец и путешественник поделили между собой полученные 10 яиц?»
«…У меня возникают образы: двое (А и В) сидят на лужайке. К ним присоединяется прохожий (С). Вся группа располагается треугольником. Между ними появляются хлебцы. Люди исчезают и заменяются буквами А, В, С, а неправильной формы хлебцы – продолговатыми дощечками. Дощечки, принадлежавшие А, – серого цвета, принадлежавшие В – белого (рис. 2а). Двумя горизонтальными линиями разрезаю дощечки на три равные группы кубиков. Получается следующая картина (рис. 2б).
Рис. 2
За 5 съеденных кубиков С дал 10 яиц. У А – 6 кубиков, из которых он сам съел первый вертикальный ряд и 2 кубика из второго ряда. В – со своей стороны – с такой же конфигурацией съел столько же. Рис. 3 явно показывает количество кубиков, доставшихся С от А и от В.
Может быть еще и другое – логическое решение. Для удобства расчета заменяю слово “яйца” словом “рубли”.
Часть хлеба, съеденная прохожим, оценена в 10 рублей. Все трое съели поровну, следовательно, все количество хлеба, съеденного всей группой, стоит 30 рублей (10 x 3 = 30), а один хлебец стоит 6 рублей (30: 5 = 6). Два хлебца, принадлежавшие путешественнику, стоят 12 рублей (2 x 6 = 12). Путешественник сам съел количество хлеба стоимостью 10 рублей, значит, прохожему он смог выделить хлеба лишь на 2 рубля (12–10 = 2). У мудреца было 3 хлебца, стоимость которых 18 рублей, из них он выдал прохожему хлеба на 8 рублей. Образное решение протекает быстро, почти непроизвольно. Абстрактно-вербальный способ решения, наоборот, нуждается в строгом анализе, последовательных суждениях и некоторой интуиции. Результат получается одинаковый…» (из записей Ш.).
Рис. 3
Вот еще один пример подобного решения задачи.
Ш. дается задача: «Муж и жена собирают грибы. Муж говорит жене: “Дай мне из твоих 7 грибов – и у меня будет в 2 раза больше, чем у тебя!” Жена отвечает: “Нет, дай мне ты 7 грибов – и у нас будет поровну”. Сколько грибов у каждого?»