Приглашение в теорию чисел — страница 12 из 21

аn-1 … a2 а1 a0 (6.1.1)

означает число

N = a_n • 10ⁿ + a_n-1•10^n-1 +….. + a₂ • 10² + a₁ • 10 + a₀, (6.1.2)

где коэффициенты, или цифры, а_i могут принимать следующие значения:

а_i = {0, 1…. 9}. (6.1.3)

Число b = 10 называется основанием этой системы. Индо-арабская числовая система пришла в Европу с Востока около 1200 г. нашей эры, и с тех пор не оспаривалась. Она известна как позиционная система, так как место каждой цифры определяет ее значение; использование символа 0 дает возможность просто и безболезненно обозначать пустующее место. Более того, оказалось, что эта система очень удобна при арифметических операциях с числами: сложении, вычитании, умножении и делении.

§ 2. Другие системы

Известны различные другие системы, которыми пользовались народы мира, чтобы навести порядок среди чисел. Но почему и как возникли эти системы? Ответы на эти вопросы большей частью затерялись в туманном прошлом человечества.

Никто не сомневается, что широко используемая группировка десятками объясняется тем, что люди считали на пальцах. Довольно странно, что сохранилось мало свидетельств того, что человек считал на одной руке; пятеричная система встречается исключительно редко. Но в то же время очень часто встречаются примеры двадцатеричной системы. Не нужно иметь семи пядей во лбу, чтобы понять, что в этой системе в процессе счета участвуют пальцы как рук, так и ног. Из этих двадцатеричных систем счисления, возможно, самая известная — система племени майя, но и в Европе такие системы были широко распространены несколько столетий назад. Двадцатеричная система прослеживается во французском языке в числах от 80 до 100, что можно увидеть из следующих примеров:

80 = quatre-vingts = четыре раза по двадцать,

90 = quatre-vingts-dix = четыре раза по двадцать и десять

91 = quatre-vingts-onze = четыре раза по двадцать и одиннадцать

и так далее.

Менее известно, что в датском языке счет парами десятков процветает вплоть до наших дней. Эта древняя система, которая ранее была широко распространена среди германских племен, столь оригинальна, что мы не можем не привести хотя бы несколько ее деталей.

При счете до 20 естественно использовать такие термины, как:

tredsindstyve = три раза по двадцать,

firsindstyve = четыре раза по двадцать,

femsindstyve = пять раз по двадцать.

Но система становится более сложной, если условиться, что всякий раз, когда мы просчитаем несколько полных двадцаток, а затем еще десяток, объявлять, что находимся на половине следующей двадцатки; например,

90 = halvfemsindstyve = половина пятой двадцатки.

Чтобы закончить наше описание, следует сказать, что в датском языке количество единиц ставится перед количеством десятков, что приводит к числовым конструкциям типа

93 = treoghalvfemsindstyve = три и половина пятой двадцатки.

Ясно, что в любой цивилизации, насыщенной числами, подобно нашей, такие системы обречены. Способ записи чисел, при котором единицы ставятся перед десятками, особенно неприятен. Такая система была также распространена в Англии до XVIII века: вместо twenty-three (двадцать три) обычно говорили three and twenty (три и двадцать). В Норвегии лишь несколько лет назад парламент специальным законом отменил использование такой системы в школах и всех официальных сообщениях. Однако подобная система продолжает процветать в Германии, что приводит к многочисленным числовым ошибкам, например, при набирании номера телефона.

С давних времен до наших дней астрономы пользуются древней вавилонской шестидесятеричной системой (с основанием 60). Правда, сейчас ее достоинства уменьшились, но мы все же придерживаемся этой системы при отсчете времени и углов в минутах и секундах. Мы не знаем, почему вавилоняне ввели столь большое основание в свою систему, можно лишь предположить, что эта система возникла как комбинация двух систем с различными основаниями, скажем, 10 и 12, у которых наименьшее общее кратное равно 60.

Теперь скажем несколько слов о математических вопросах, связанных с использованием систем с различными основаниями. При основании b мы записываем целое число

N = c_nbⁿ + c_n-1b^n-1 +… + с₂b² + с₁b + с₀  (6.2.1)

так же, как и в (6.1.2), с той разницей, что здесь коэффициенты с, могут принимать значения

с_i = 0, 1…, b — 1, (6.2.2)

вместо значений, приведенных в (6.1.3). Для краткости можно записать число N из (6.2.1) в сокращенной форме

(с_n, с_n-1…, с₂, с₁, с₀)_b, (6.2.3)

соответствующей записи (6.1.1), при этом в записи (6.2.3) необходимо приписать используемый базис — число b, чтобы избежать путаницы.

Примеры. В шестидесятеричной системе (3, 11,43)₆₀ = 3 • 60² + 11 • 60 + 43 = 11 503.

В системе с основанием b = 4 (3, 2, 0, 1) = 3 • 4³ + 2 • 4² + 0 • 4 + 1 = 225.

Вообще, когда число задано в системе с основанием b, мы находим это число в обычной десятичной системе, вычисляя значения степеней числа b, умножая каждое из них на соответствующую цифру и складывая, как уже делалось в вышеприведенных примерах.

Теперь рассмотрим обратную задачу. Задается число N и мы хотим представить его при основании b. Мы можем сделать это повторным делением на b. Взгляните на формулу (6.2.1). Можно записать ее в виде

N = (cⁿb^n-1 +… + c₂b + c₁) b + c₀.

Так как с₀ меньше, чем b, то с₀ является остатком при делении числа N на b. Мы можем записать это деление

N = q₁b + c₀, q₁ = c_nb^n-1 +… + c₂b + c₁,

для того чтобы показать, что c₁ получается делением числа q₁ на b тем же способом, и т. д. Таким образом мы находим коэффициенты с_i в результате серии делений на число b:

N = q₁b + c₀,

q₁ = q₂b + с₁,

……

q_n-1 = q_nb + с_n-1,

q_n = 0 b + с_n,

при этом мы продолжаем деление до тех пор, пока не окажутся выполненными соотношения q_n<b, q_n+1 = 0. Мы приводим два примера, которые помогут вам понять этот процесс.

Пример 1. Выразим число 101 при основании 3. Мы выполняем деление на 3, как указывалось выше, и находим

101 = 33 • 3 + 2,

33 = 11 • 3 + 0,

11 = 3 • 3 + 2,

3 = 1 • 3 + 0,

1 = 0 • 3 + 1.

Отсюда

101 =(1, 0, 2, 0, 2)₃.

Пример 2. Выразим число 1970 при основании 12. Здесь деление на 12 таково:

1970 = 164 • 12 + 2,

164 = 13 • 12 + 8,

13 = 1 • 12 + 1,

1 = 0 • 12 + 1.

Следовательно,

1970 = (1, 1, 8, 2)₁₂.

Система задач 6.2.

1. Выразите числа (1, 2, 3, 4)₅, (1, 1, 1, 1, 1, 1)₃ в десятичной системе.

2. Представьте числа 362, 1969, 10 000 при основаниях b = 2; 6; 17.

§ 3. Сравнение систем счисления

Американское общество сторонников двенадцатеричной системы предложило изменить нашу десятеричную систему на более эффективную и удобную, как они думают, систему с основанием 12. Те, кто предлагает эту систему, указывают, что было бы выгоднее иметь систему с основанием, делящимся на числа 2, 3, 4 и 6, так как процесс деления на эти часто встречающиеся делители упрощается. Доводы такого типа привели бы нас к шестидесятеричной системе, основание которой, число 60, делится на числа

2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30.

В ряде стран многие вещи все еще считают дюжинами и гроссами (т. е. дюжинами дюжин) и естественно, что для них двенадцатеричная система является вполне возможной. Для перехода в двенадцатеричную систему нужно было бы ввести двенадцать новых символов, что потребует для их разработки столь же много усилий, сколько потребовалось для создания десятеричной системы. Некоторые энтузиасты считают, что необходимо ввести новые символы лишь для 10 и 11, но такой способ не учитывает неудобств, возникающих в период перехода: никто не будет понимать, например, означает ли запись 325

3 • 10² + 2 • 10 + 5 = 325

или

3 • 12² + 2 • 12 + 5 = 461.

Для того чтобы получить представление о том, как меняется количество знаков в числе в зависимости от системы счисления, возьмем число

10ⁿ — 1 = 99… 9 (n раз) = N (6.3.1)

в десятеричной системе. Это самое большое число с n знаками. Чтобы найти m — количество знаков при записи этого числа при основании b — мы должны определить m как целое число, для которого выполняются неравенства

b^m> 10ⁿ — 1 ≥b^m-1. (6.3.2)