Идея заключалась в том, чтобы испытать тысячи таких возможностей и на каждом этапе выбрать с помощью «случайного числа» с приемлемой вероятностью судьбу, или своего рода исход, и проследить, так сказать, ее линию вместо того, чтобы рассматривать абсолютно все ветви. Рассмотрев возможные «судьбы» для всего лишь нескольких тысяч возможных исходов, можно получить хорошую выборку и, следовательно, приближенное решение задачи. Все, что для этого необходимо — располагать средствами для получения таких выборочных испытаний. Кое-где здесь требовались машинные расчеты, и, так случилось, что как раз тогда в нашу жизнь начали входить вычислительные машины.
Вычислительные машины появились благодаря интеграции научного и технологического развития. С одной стороны, велась работа в области математической логики, в основах математики, подробное изучение формальных систем, в котором фон Нейман сыграл такую важную роль; с другой стороны, стремительно совершались открытия в электронике, что позволило создать электронные вычислительные машины. Они, в свою очередь, обеспечили такое количественное увеличение скорости выполнения операций по сравнению с машинами на механических реле, что оно повлекло за собой и качественные перемены, значительно усовершенствовав и расширив использование этих инструментов. Сегодня результаты известны каждому: вычислительные машины обусловили зарождение новой эпохи эвристического исследования новой связи, сделали возможным космический век.
Число их применений в точных и естественных науках, а также в нашей повседневной жизни настолько велико, что можно говорить о начале «эры компьютеров и автоматов».
Но в то время компьютеры были еще только in statu nascendi[24]. В шутку я предложил нанять для проведения расчетов по методу Монте-Карло несколько сотен китайцев из Тайваня, посадить их на корабль, вооружить каждого счетами или даже просто ручкой и бумагой и, дав им задание, предполагающее некий реальный физический процесс, бросание костей, к примеру, заставить тем самым получать случайные числа. Затем кто-нибудь собрал бы результаты и обобщил эти статистические данные в виде конкретных ответов.
Фон Нейману принадлежала ведущая роль в зарождении ЭВМ. Благодаря уникальному сочетанию своих талантов, интересов и особенностей характера, он прекрасно подходил для этой роли. Я думаю в этой связи о его способности и склонности доводить до конца каждую скучную деталь при программировании, учитывать любую мелочь, связанную с представлением очень больших задач в «удобоваримой» для компьютеров форме. Именно понимание и знание деталей систем математической логики и теоретической структуры формальных систем позволило ему придумать гибкое программирование. Это было великим его достижением. Благодаря составлению соответствующих блок-схем и программ, стало возможным рассчитывать на одной машине огромное разнообразие задач, ничего не меняя при этом в соединениях. До его изобретения каждый раз, когда задача менялась, приходилось выдергивать провода и заново соединять платы.
В конкретную форму со всеми сопутствующими зачатками теории метод Монте-Карло был приведен после того, как я обсудил возможности таких вероятностных схем с Джонни во время одной из наших бесед в 1946 году. Это была особенно длинная дискуссия в служебной машине, на которой мы ехали из Лос-Аламоса в Лэми. Мы проговорили всю нашу поездку, и я до сих пор помню, что именно я говорил на каждом повороте дороги и у каждой скалы, мимо которой мы проезжали. (Я упомянул об этом как о возможном примере работы «многоотсекового» хранилища памяти в мозгу, так же, как в случае, когда мы часто запоминаем место на странице, где находятся конкретные уже прочитанные нами абзацы — на правой или левой странице, вверху или внизу и т. п.) После этого разговора мы вместе разработали математические основы этого метода. На мой взгляд само название — Монте-Карло — весьма способствовало популяризации этой процедуры. А названа она была так из-за присутствия в ней своеобразного элемента везения — получения случайных чисел, с которыми играют в соответствующие игры.
Джонни сразу же понял, каким огромным может быть масштаб применения этого метода, хотя в первый час нашей дискуссии и высказывал определенный скептицизм. Однако, когда я начал приводить все более убедительные доводы, упомянув о статистических данных, говорящих о том, как часто возникает потребность в расчетах для получения приблизительных результатов с той или иной вероятностью, он согласился со мной и, призвав свою изобретательность, принялся отыскивать оригинальные технические приемы, которые позволили бы сделать эти методы более простыми и эффективными.
Фактом является то, что «Монте-Карло» никогда не дает точного ответа; правильнее сказать, что он позволяет сделать выводы о том, каков ответ, каковы его погрешность и вероятность (то есть на какую малую величину вероятность отличается от единицы). Иначе говоря, он производит оценку значениям чисел, искомым в данной задаче.
С «пропагандистскими» докладами по этому методу я выступал много и по всем Соединенным Штатам. Очень скоро появился интерес к этой теории и предложения по ее усовершенствованию. Вот простой пример этой процедуры, которым я частенько ее иллюстрировал: возьмем расчет объема области, определяемой рядом уравнений или неравенств в пространствах с большим количеством измерений. Вместо использования классического метода приближения чего бы то ни было с помощью сетки, состоящей из точек или «ячеек», которые заключали бы в себе миллиарды отдельных элементов, здесь можно просто выбрать наугад несколько тысяч точек и, произведя выборку, получить представление об искомой величине объема.
Самые первые вопросы были связаны с получением случайных или псевдослучайных чисел. Быстро были придуманы приемы, позволившие получать их с помощью самого компьютера независимо от какого бы то ни было внешнего «физического» механизма. (Прекрасно подошли бы и излучение от радиоактивного источника или космическое излучение, не будь эти процессы слишком медленными.) Отдельно от создания точной, или «правдивой», имитации физического процесса на ЭВМ началась разработка целого подхода к изучению математических уравнений, которые, казалось бы, на первый взгляд не имеют никакого отношения к вероятностным процессам, диффузии частиц или лавинообразным процессам. Вопрос состоял в том, как привести такие операторные или дифференциальные уравнения к виду, допускающему возможность вероятностного толкования. Это одно из главных применений метода Монте-Карло, и возможности его еще не исчерпаны. Я перефразировал бы одно из утверждений Лапласа. Он утверждает, что теория вероятностей — это ни что иное, как приложение математического анализа к здравому смыслу. Тогда метод Монте-Карло — это приложение здравого смысла к математическим формулировкам физических законов и процессов.
В гораздо более общем смысле компьютерам было суждено изменить само лицо технологии. Мы без конца обсуждали множество возможностей. Но даже фон Нейман не мог предвидеть их коренного экономического или технологического воздействия. В 1957 году, когда он умер, эти аспекты все еще находились в зародышевом состоянии, если говорить о возможностях их применения в промышленности. А в 1946 году мы вряд ли могли даже догадываться о том, что к 1970 году ежегодный оборот компьютерного рынка будет составлять пятьдесят миллиардов долларов.
Почти сразу после войны Джонни и я начали обсуждать возможности использования компьютеров в эвристических методах для постижения святая святых вопросов чистой математики. С помощью примеров и наблюдения свойств специальных математических объектов можно было рассчитывать на отыскание ключей к пониманию поведения общих утверждений, которые были проверены на примерах. Помню, в 1946 году я предложил вычислить огромное количество первообразных корней из целых чисел, с тем чтобы, изучив распределение и получив достаточно статистических сведений об их появлении и комбинаторном поведении, можно было представить себе, как сформулировать и доказать какие-нибудь возможные общие закономерности. Не думаю, правда, что до сегодняшнего дня эта специальная программа получила какое-нибудь развитие. (В математической исследовательской работе с компьютерами я особенно тесно сотрудничал с Майроном Стейном и Робертом Шрандтом. В последующие годы во многих своих напечатанных работах я предложил — и в некоторых случаях решил — множество задач из чистой математики с применением подобного экспериментирования или даже просто «наблюдения». Возможны и очень часто применимы в «чистейших» областях математики Gedanken-эксперименты, иначе говоря, мыслительные эксперименты Эйнштейна. Одна из моих работ с обзором области исследования «нелинейных задач» была написана совместно с Полем Стейном. К настоящему моменту по этой области можно привести целый список литературы.
Весьма своевременно, всего через несколько месяцев после появления в Лос-Аламосе компьютера под названием MANIAC, я и ряд моих коллег (Поль Стейн, Марк Уэллс, Джемс Кистер и Уильям Уолден попытались запрограммировать компьютер на игру в шахматы. Написать для него программу, позволяющую играть строго по правилам, было не таким уж сложным делом. Настоящая проблема существующая и сегодня, состоит в том, как заложить в его память опыт предыдущих игр и способность к общему узнаванию качества примеров и позиций в игре. Тем не менее его можно заставить играть так, что он сможет обыграть даже искушенного любителя. Мы увидели, что различия между плохой игрой и хорошей игрой человека здесь гораздо более значимы по сравнению с обучением компьютера совершать правильные ходы, реагировать на очевидные угрозы и т. п. Такая игра проводилась на доске с клетками 6x6 без слонов (чтобы уменьшить время между ходами). Мы написали статью, которая появилась в «U. S. Chess Review» и вскоре была перепечатана каким-то русским шахматным журналом. Стейн — физик, «обращенный» в математическую веру — стал одним из самых близких моих соратников.