дь в своем эволюционном переходе от более примитивной нервной системы, мозг как орган, состоящий из десяти или более миллиардов нейронов и намного более огромного числа связей между ними, изменялся и увеличивался, скорее всего, в результате множества обстоятельств.
Само существование математики объясняется существованием утверждений или теорем, которые очень просто сформулировать, но доказательства которых требуют страниц и страниц объяснений. Почему все происходит именно так, не знает никто. Но простота многих таких утверждений представляет как эстетическую ценность, так и философский интерес.
На протяжении всего развития математики ее эстетическая сторона представляла самое большое значение. Не так важно, насколько полезна теорема, куда важнее то, насколько она изящна. Отдать должное эстетической ценности математики со всей полнотой могут лишь немногие «нематематики» и даже ученые из других областей, но для тех, кто ею занимается, эта ценность неоспорима. Можно, однако, рассуждать и о невзрачной стороне математики. Эта невзрачность связана с тем, что в математике необходима крайняя щепетильность, уверенность в каждом сделанном шаге. В математике нельзя останавливаться, ведя большой и широкой кистью. Все детали нужно охватывать одновременно.
«Математика — это язык, в котором нет места неточным и туманным высказываниям» — это слова Пуанкаре, которые он произнес, если я не ошибаюсь, во время своей речи о мировой науке в Сан-Луи очень много лет назад. Приводя пример влияния языка на мышление, он описал, как менялись его ощущения, когда он говорил не по-французски, а по-английски.
Я склонен согласиться с ним. Общеизвестно, что во французском языке есть некая прозрачность, отсутствующая в других языках, и, я полагаю, именно она составляет отличную черту французской математической и научной литературы. Мысли получают разные направления. Французский наводит меня на обобщения и побуждает к упрощению и краткости. Английский взывает к здравому смыслу. Немецкий затягивает вглубь проблемы, которая не всегда бывает достаточно глубокой.
Польский и русский языки характеризуются своеобразным брожением, развитием мысли, которое можно уподобить усилению крепости настоя. Славянские языки мечтательны, душевны, эмоциональны, тяготеют скорее к психологии, нежели к философии, и не так зависимы от отдельных слов, как, например, немецкий язык, где слова и слоги сцепляются и соединяют мысли, которые иногда не слишком сочетаются друг с другом. Латынь — это опять нечто другое. Это упорядоченный язык; в нем всегда присутствует ясность; слова разделены; они не склеиваются, как в немецком; именно так хорошо приготовленный рис отличается от переваренного и слипшегося.
Вообще говоря, мои собственные впечатления о языках следующие: о чем бы я не говорил по-немецки, мне кажется, что я преувеличиваю, когда я говорю по-английски, то, напротив, как-будто недоговариваю что-то. И только сказанное на французском кажется верным, да еще на польском, так как это мой родной язык, и потому он кажется мне таким естественным.
Прежде некоторые французские математики ухитрялись писать более свободным стилем, не используя слишком много определенных теорем. Такой стиль был более приятен по сравнению с нынешним стилем научных книг и работ, в которых каждая страница изобилует формулами и символами. Лично я «отключаюсь», когда вижу перед собой только формулы и символы и совсем чуть-чуть текста. По мне так это весьма утомительно — глядеть на страницу и не знать на чем сконцентрироваться, и я никак не могу понять, как многие другие математики могут читать их самым подробным образом и вдобавок получать от этого удовольствие.
Но, безусловно, существуют и неизящные теоремы, которые важны и трудоемки. В качестве примера можно привести какую-нибудь работу по дифференциальным уравнениям в частных производных, менее «чудесную» по стилю и форме, но, возможно, имеющую «глубину» и щедрую на следствия, применяемые в физике.
Как складываются суждения о ценности сегодня?
Математики, работа которых, в известном смысле, состоит в том, чтобы анализировать мотивы и источники своей работы, обманываются и могут утратить свою проницательность, если полагают, что их главная работа в том, чтобы доказывать теоремы без всякого понятия о том, почему они могут быть важными. Если принять во внимание исключительно эстетический критерий, не покажется ли этот факт таинственным?
Я думаю что в ближайшие десятилетия придет и даже займет формальный уровень более глубокое понимание красоты, хотя, возможно, к тому времени эти критерии сдвинутся до вновь неподдаюгцихся анализу высших уровней суперкрасоты. А до сих пор все попытки проанализировать эстетические критерии приводили к предположениям, которые казались слишком ограниченными. Математика должна обращаться к связям с другими теориями внешнего мира или с историей развития человеческого мозга, иначе она окажется чисто эстетической и очень субъективной в том же смысле, что и музыка. Я, правда, считаю, что даже качество музыки подвластно анализу — лишь до определенной степени, конечно — хотя бы с помощью формального критерия, математизации идеи аналогии.
Сейчас решаются некоторые старые задачи, решения которых не могли найти многие годы. Одни задачи решают с торжеством, другие, так сказать, с хныканьем. В обоих случаях эти задачи одинаково важны и в высшей степени интересны, однако некоторые из них, даже знаменитые и классические, решаются настолько по-особенному, что к этому больше просто нечего добавить! Другие, менее известные, вызывают любопытство и побуждают к дальнейшей работе, как только находишь их решение. Они словно открывают новые тропинки.
Что касается публикаций, то в наше время математики почти что вынуждены утаивать то, как они получают свои результаты. А между тем Эварист Галуа, молодой французский гений, погибший в двадцать один год, в своем последнем письме подчеркивает, насколько истинный процесс совершения открытия отличается от того, что в конце концов выходит из печати в качестве процесса доказательства. Важно повторять это как можно чаще.
В целом, и в довольно широких рамках, похоже, действительно существует консенсус, к которому пришли математики-исследователи при обсуждении ценности индивидуальных достижений и новых теорий. А значит должно существовать нечто объективное, даже если еще не сформулированное, то, что описывает ощущение красоты, которая существует в математике, и которая зависит иногда и от полезности математики для других ее областей или для других наук. Во всяком случае, для меня остается тайной, почему, к примеру, математика так важна для описании физического мира, если ставить этот вопрос философски. Юджин Вигнер однажды написал очень увлекательную статью об этой «невероятной» полезности математики под названием «Непостижимая эффективность математики» («The Unreasonable Effectiveness of Mathematics»).
Конечно, математика — это очень краткое представление одного из способов формализации всего рационального мышления.
Несомненно в математике значение тренировки нашего мозга, которая происходит тогда, когда мы учимся в начальной, средней и высших школах, ведь практика, точно так же, как в любой игре, делает его сильнее. Я не могу сказать, сильнее ли мозг математика сегодня, если сравнивать с древнегреческими временами; однако если брать еще больший масштаб эволюции, то, скорей всего, это именно так. Я в самом деле считаю, что математика может играть огромную роль в генетике, что она может оказаться одним из немногих средств совершенствования человеческого мозга. Если это и вправду так, то для человечества не было бы ничего важнее, независимо от того придут ли люди к новой судьбе вместе или по-отдельности. Возможно, что с помощью математики можно будет создавать физически, то есть анатомически, новые связи в мозге. Математика обладает способностью обострять ощущения, даже несмотря на то, что быстрое увеличение материала до огромных объемов стремится загубить все дело.
И все же, любой алгоритм, любая форма заключает в себе некую магию. Содержимое Еврейского Талмуда или даже Каббалы не кажется такой уж богатой пищей для ума, являя собой лишь огромное собрание грамматических или кулинарных рецептов, местами поэтических, местами мистических, но в любом случае весьма произвольных. Но на протяжении веков тысячи умов вчитывались, запоминали, анализировали и классифицировали эти труды. Возможно, в этом занятии обострилась их память и дедуктивная практика. Подобно тому, как нож становится острее, когда мы затачиваем его на точильном камне, может «затачиваться» и наш мозг на скучных предметах наших мыслей. Любая форма усердного мышления имеет свою ценность.
Есть в математике утверждения, например, такие как великая теорема Ферма, которые сами по себе кажутся специальными и никак не связанными с теорией чисел, как таковой. Чрезвычайно простые в формулировках, они не поддались усилиям самых великих умов, пытавшихся доказать их. Такие теоремы стимулировали в наших умах (я ведь тоже не был исключением) более общий интерес и любопытство. А задача Ферма, специальная ли она сама по себе или даже не нужная, стимулировала за последние три века математики создание новых до сих пор актуальных объектов математической мысли, особенно создание так называемой теории идеалов в алгебраических структурах. История математики знает немало предметов, созданных таким путем.
Изобретение мнимых и комплексных чисел (представляющих собой пары вещественных чисел, которые умножаются и складываются по специальному правилу) помимо того назначения и применения, что им немедленно определили, открыло новые возможности и привело к обнаружению удивительных свойств комплексных переменных. Эти аналитические функции (самыми простыми примерами которых являются, скажем, z = √w, z = ew, z = logw) обладают простыми, неожиданными и непредвиденными ранее свойствами, которые выводятся из нескольких общих правил, которым они подчиняются.