ли эти мои слова, и сказали, что, поразившись такой огромной цифре, они провели более схематическое и детальное исследование в институтской библиотеке. Перемножив число журналов, число выпусков в году, число работ, приходящихся на выпуск и среднее количество теорем в каждой работе, они получили около двухсот тысяч теорем в год. Такое огромное число, конечно, должно послужить пищей для размышлений. Если считать, что математика — это нечто большее, чем игры и головоломки, то здесь есть о чем побеспокоиться. Существует явная опасность того, что саму математику постигнет участь раскола на разные, отдельные науки, на множество независимых дисциплин, слабо связанных между собой. Мне лишь остается надеяться, что этого не произойдет, ведь если число теорем увеличится настолько, что обозреть их всех станет просто невозможно, кто возьмется судить о том что есть «важное»? Эта проблема начинает требовать ведения учета, она становится проблемой хранения и поиска получаемых результатов. Сегодня она выходит на первое место, ведь естественный отбор невозможен без всякого взаимодействия.
Действительно, невозможно ставить на один уровень даже самые выдающиеся и волнующие результаты. Как же можно мириться с этим и одновременно считать, что математика выживет и останется единой наукой? Точно так же как невозможно познать всех прекрасных женщин или все прекрасные произведения искусства, и, в конце концов, мужчина женится на какой-то одной прекрасной женщине, математик, можно было бы сказать, венчается с какой-то одной, своей собственной маленькой областью. По этой причине становится все труднее судить о ценности в математическом исследовании, и большинство из нас превращается в специалистов. Сейчас с огромной быстротой ширится разнообразие объектов, исследуемых молодыми учеными. Возможно, не стоит называть это осквернением мысли; наверное, это отражение расточительности природы, породившей миллионы разновидностей различных букашек. Но почему-то все же чувствуешь, что это идет вразрез с твоим представлением о науке, призванной понимать, аббревиатурно сокращать, обобщать и, что особенно важно, развивать систему обозначения явлений природы и разума.
Именно неожиданное в развитии науки, то, как воистину новые идеи и концепции вдруг осеняют молодые умы, формирует саму науку, одаривая ее непреложными истинами. Позже, для зрелого или уже стареющего ума неожиданное приносит чудо, которое вызывает новый стимул, даже если ум уже менее впечатлителен или даже измучен. Как говорил Эйнштейн, «самые прекрасные из переживаемых нами моментов загадочны. Загадочное — это источник всего истинного искусства и науки».
Математика создает новые объекты мышления — их можно было бы назвать метареальностью — порождая идеи, которые начинают жить своей собственной жизнью в своем независимом развитии. Как только эти идеи появились, их уже не может контролировать один человек, только группа умов — некая легендарная команда математиков — способна управлять ими.
Очень сложно количественно измерить талант или гений в математике. Я склонен думать, что путь от посредственности до высших уровней, на которых стоят такие люди, как Гаусс, Пуанкаре и Гильберт, почти непрерывен. Очень многое зависит не только от мозга. Определенно, тут есть и особенности характера или, как назвал их я, желая подобрать более подходяще выражение, «гормональный фактор»: упорство, физическая выносливость, желание работать, называемое некоторыми «страстью». Они во многом определяются привычками, приобретаемыми еще в детстве или юности, когда огромную роль играет случайность ранних впечатлений. А качество, называемое воображением или интуицией, несомненно, определяется физиологическими структурными свойствами мозга, которые в свою очередь могут частично развиться благодаря впечатлениям, в результате которых сформировались определенные мыслительные привычки и зародилось направление мышления в целом.
Желание вникнуть в неведомое и незнакомое различно у разных людей. Определенно, существуют разные «типы» математиков: одни предпочитают штурмовать уже существующие задачи или надстраивать что-нибудь новое на уже имеющееся старое, другие любят строить предположения о новых схемах и новых возможностях. Первые, скорее всего, в большинстве, их, быть может, больше восьмидесяти процентов. Если молодой человек хочет сделать себе репутацию, он наверняка будет атаковать нерешенную задачу, над которой кто-то уже корпел до него. И если он окажется удачливым и достаточно сильным, его можно будет сравнить с атлетом, который, прыгнув выше, чем кто-либо до него, побивает рекорд. И хотя большую ценность имеет именно концепция новой идеи, молодой человек часто не склонен к такой попытке, т. к. он не знает, оценят ли его новую идею, даже тогда, когда он сам находит ее и важной, и прекрасной.
Я принадлежу к числу тех, кто любит скорее затевать новое, чем что-то совершенствовать и развивать. Чем проще и «ниже» то, с чего я начинаю, тем больше мне это нравится. Не помню, чтобы я использовал когда-то сложную теорему, чтобы доказать еще более сложную (хотя, конечно, все это относительно и «ничего нового под солнцем нет» — все можно привести к Архимеду или более ранним мыслителям).
Я также считаю, что привычка менять области своей деятельности в течение жизни придает энергии. Если человек слишком долго работает в одной и той же области или с одним и тем же классом проблем, то своеобразная «оседлость» препятствует формулированию им новых взглядов, и он может одряхлеть. К сожалению, в математической творческой деятельности это нередкое явление.
Но при всем понимании красоты, видении новых реалий, при всех грандиозных открывающихся видах математика обладает неким одурманивающим свойством, менее явным или полезным для здоровья. Оно сродни действию некоторых искусственных наркотиков. Наркотическое воздействие может оказать самая маленькая задача, если в ней с первого взгляда распознается тривиальность или повторяемость. Можно затянуться, начав решать такие задачи. Я помню, как журнал «Mathematical Monthly» время от времени публиковал посылаемые одним французским геометром задачи, которые имели дело с банальными расположениями на плоскости окружностей, прямых и треугольников. «Belanglos» — как говорят немцы, но тем не менее эти картинки могли увлечь вас сразу, как только вы начинали думать о том как найти решения, даже если вместе с тем вы осознавали, что это решение едва ли повлечет за собой какие-нибудь более увлекательные и более общие вещи. Это разительно отличается от того, что я рассказывал о теореме Ферма, которая подвела к созданию новых обширных алгебраических понятий. Разница, может быть, заключается в том, что малозначимые задачи можно решить, прилагая скромное усилие, тогда как теорема Ферма, не решенная до сих пор, продолжает оставаться вызовом для всех математиков[41]. И все же для ненастоящего математика оба эти типа математического любопытства обладают сильнонаркотическим свойством, проявляющимся на всех уровнях, начиная от пустяков и заканчивая самыми вдохновляющими идеями.
В прошлом всегда было несколько математиков, таких как Пуанкаре, Гильберт, Вейль, которые явным или скрытым образом подавали другим особые идеи, позволяя им выбирать направление своей деятельности. В наши дни подобное становится все более проблематичным, если не невозможным. Вероятно, в мире нет ни одного математика, понимающего все, что на сегодня выходит из печати.
Написанная более тридцати лет назад Эриком Темплем Беллом книга «Развитие математики» («The Development of Mathematics») содержит сокращенное, но замечательное описание истории математики. (Возможно, оно нравится мне, потому что, как говорит Джанкарло Рота, там упомянута моя работа, при том, что книга эта небольшая и была написана, когда мне было всего лишь двадцать восемь лет. Согласитесь, что гораздо приятнее быть упомянутым в кратком сочинении, чем в книге с десятью тысячами страниц!) Но когда какой-то издатель попросил Вейля написать об истории математики двадцатого века, тот отказался. Он знал, что ни один человек не смог бы этого сделать.
Лет тридцать пять назад фон Нейман, который мог бы взяться за такое дело, признался мне, что знает не более трети от всего математического свода. По его предложению я однажды устроил для него нечто вроде докторского экзамена на проверку знаний в различных областях, который сдают кандидаты на докторскую степень. Я попытался отобрать те вопросы, на которые он затруднился бы ответить. Мне и в самом деле удалось найти несколько вопросов — в дифференциальной геометрии, теории чисел, алгебре — на которые он не смог ответить удовлетворительно. (Это, между прочим, может говорить и о том, что сдача экзаменов на получение степени доктора не имеет неизменного значения.)
Что касается меня, я не могу утверждать, что знаю много о техническом материале математики. Чем я, скорее всего, обладаю, так это пониманием сути и, в ряде ее областей, возможно, сущности сути. Обладание таким умением догадываться или чувствовать, что окажется новым, а что уже известно или еще неизвестно является возможным и тогда, когда речь идет о тех разделах математики, в которых тебе не известны детали. Думаю, в какой-то мере мне свойственна эта способность. Мне часто удается определить является ли утверждение теоремой (т. е. оно доказано) или это только новое предположение. Возникновение этого ощущения зависит от способа расстановки квантификаторов, так сказать, от тона или музыки утверждения.
Кстати, об этой аналогии: я запоминаю мелодии и могу насвистывать их весьма точно. Но когда я пытаюсь изобрести или придумать какой-нибудь новый «убойный» мотивчик, то с полным бессилием осознаю, что то, что я сочиняю, является лишь тривиальной комбинацией того, что я уже слышал. Это совершенно противоположно математике, где я, как мне кажется, лишь «коснувшись листа бумаги», могу предложить что-то новое.
Сотрудничество в математике — явление очень интересное и новое, получившее развитие за последние несколько десятилетий.