, будем иметь
А теперь, вычитая это равенство из предыдущего и рассматривая на этот раз как неделимую конструкцию, видим, что в левую часть одного выражения она входит с множителем 1, а в левую часть другого — с множителем . Вычитание дает
Все слагаемые с числами, кратными 5, исчезли при вычитании, и первое выжившее число в правой части — это 7.
Замечаете сходство с решетом Эратосфена? Но вы должны заметить и отличие. При работе с исходным решетом мы оставляли сами простые числа в неприкосновенности, удаляя только их кратные — числа, полученные из них умножением на 2, 3, 4, …. Здесь же при вычитании мы устраняем из правой части как само простое число, так и все его кратные.
Если продолжать описанную процедуру до достаточно большого простого числа, скажем, до 997, мы получим
Теперь заметим, что если s — любое число, большее единицы, то правая часть этой формулы совсем ненамного больше чем просто 1. Например, при s = 3 правая часть этой формулы равна 1,00000006731036081534… Поэтому выглядит довольно правдоподобным предположение, что если продолжать указанный процесс до бесконечности, то для любого числа s большего 1 получится следующий результат (7.1):
где в левой части содержится ровно одно выражение в скобках для каждого простого числа, причем эти скобки продолжаются налево без конца. Теперь поделим обе части полученного выражения последовательно на каждую из этих скобок (7.2):
IV.Это — Золотой Ключ. Чтобы он предстал перед нами во всей красе, давайте немного его почистим. Дроби с дробными знаменателями нравятся мне ничуть не больше, чем вам, а кроме того, есть еще полезные математические приемы, которые позволят нам сэкономить на наборе формул.
Прежде всего вспомним 5-е правило действий со степенями: оно говорит, что a−N есть 1/aN и a−1 есть 1/a. Поэтому выражение (7.2) можно записать поаккуратнее:
ζ(s) = (1 − 2−s)−1×(1 − 3−s)−1×(1 − 5−s)−1×(1 − 7−s)−1×(1 − 11−s)−1×….
Есть даже еще лучший способ. Вспомним про обозначение ∑, введенное в главе 5.viii. Когда мы складываем компанию слагаемых единообразной структуры, их сумму можно записать коротко, используя знак ∑; у этого имеется эквивалент для умножения, когда сомножители имеют единообразную структуру: тогда используется знак ∏. Это заглавная греческая буква «пи», используемая в этом качестве из-за слова «product» (произведение). Используя знак ∏, выражение (7.2) можно переписать таким образом:
Читается это так: «Дзета от s равна взятому по всем простым числам произведению от величины, обратной единице минус p в степени минус s». Подразумевается, что маленькое p под знаком ∏ означает «по всем простым».[55] Вспоминая определение функции ζ(s) в виде бесконечной суммы, можно подставить эту сумму в левую часть и получить
Золотой Ключ (7.3):И сумма в левой части, и произведение в правой части простираются до бесконечности. Это, кстати, дает еще одно доказательство того факта, что простые числа никогда не кончаются. Если бы они вдруг кончились, то произведение в правой части содержало бы конечное число множителей, и тем самым мы его немедленно вычислили бы как какое-то число при абсолютно любом аргументе s.[56] При s = 1, однако, левая часть представляет собой гармонический ряд из главы 1, сложение членов которого «уводит нас в бесконечность». Поскольку бесконечность в левой части не может равняться конечному числу в правой, количество простых чисел с необходимостью бесконечно.
V.Что же такого — как вы, должно быть, недоумеваете — замечательного, такого неординарного и вызывающего имеется в выражении (7.3), что оно удостоилось столь высокопарного имени?
Окончательно это прояснится только в одной из последующих глав, когда мы на самом деле повернем Золотой Ключ. На данный же момент главное, что должно производить впечатление (на математиков оно, во всяком случае, производит большое впечатление), — это что в левой части выражения (7.3) мы имеем бесконечную сумму, пробегающую все положительные целые числа 1, 2, 3, 5, 6, …, а в правой его части — бесконечное произведение, пробегающее все простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, ….
Выражение (7.3) — Золотой Ключ — на самом деле называется «эйлерова формула произведения».[57] Она впервые увидела свет, хотя и в несколько иной обработке, в статье Variae observationes circa series infinorum, написанной Леонардом Эйлером и опубликованной Санкт-Петербургской академией в 1737 году. (Заглавие переводится как «Различные наблюдения о бесконечных рядах». Прочитайте еще раз оригинальное латинское название и убедитесь в справедливости моего тезиса из главы 4.viii о легкости, с которой читается Эйлерова латынь.) Точная формулировка утверждения о Золотом Ключе в той работе такова.
Theorema 8Si ex serie numerorum primorum sequens formetur expressio
erit eius valor aequalis summae huius seriei
Латынь означает: «Если из последовательности простых чисел образовать следующее выражение…, то его значение будет равно сумме ряда…» Опять же, если вы знакомы с десятком основных латинских окончаний (-orum — родительный падеж; -etur — пассивный залог сослагательного наклонения настоящего времени и т.п.), то эйлерова латынь вас не отпугнет.
Делая наброски идей, из которых выросла данная книга, я сначала полез в математические тексты у себя на книжной полке, чтобы найти доказательство Золотого Ключа, подходящее для читателей, не являющихся специалистами. Я остановился на одном, показавшемся мне подходящим, и включил его в книгу. На более поздней стадии работы над книгой мне подумалось, что стоит, пожалуй, проявить авторское тщание, и я отправился в научную библиотеку (в данном случае — замечательное отделение по наукам, промышленности и бизнесу Нью-Йоркской публичной библиотеки в центре Манхэттена) и отыскал оригинальную статью в собрании трудов Эйлера. Данное им доказательство Золотого Ключа занимает десяток строк и куда проще и изящнее, чем доказательство, которое я извлек из своих учебников. Поэтому я заменил первоначально выбранное доказательство эйлеровым. Доказательство, приведенное в разделе iii этой главы, по сути и есть эйлерово доказательство. Я знаю, что это писательский штамп, но он от этого не перестает быть верным: нет ничего лучше, чем обратиться к первоисточнику.
VI.После того как мы увидели, что же собой представляет Золотой Ключ, пришло время готовиться к тому, чтобы его повернуть. Для этого понадобится вспомнить некоторое количество математики, включая кусочек дифференциального и интегрального исчислений. В оставшейся части данной главы я приведу все, что нужно знать из дифференциального и интегрального исчисления, чтобы понять Гипотезу Римана и оценить ее значение. А затем, обратив необходимость в удобство, я воспользуюсь этими сведениями, чтобы представить улучшенный вариант ТРПЧ — вариант, имеющий более непосредственное отношение к работе Римана.
Обучение дифференциальному и интегральному исчислению традиционно начинается с графика. График, с которого мы начнем, — тот же, что и изображение логарифмической функции в главе 5.iii; теперь он воспроизведен на рисунке 7.1. Представьте себе, что вы — очень маленький (бесконечно малый, если получится представить) гомункулус, взбирающийся вверх по графику логарифмической функции слева направо. Если вы начали свое путешествие из какой-го точки, находящейся недалеко от нуля, то сначала путь вашего восхождения очень крутой и вам требуется скалолазное снаряжение. Но по мере продвижения ландшафт становится более пологим. К тому времени, как вы достигнете аргументов в районе 10, вы можете распрямиться и просто шагать, как на прогулке.
Рисунок 7.1. Функция ln x.
Степень крутизны кривой изменяется от точки к точке. Но в каждой точке наклон кривой имеет определенное численное значение — точно так же, как ваша машина, когда вы разгоняетесь, имеет определенную скорость в каждый данный момент времени — скорость, которую вы фиксируете, бросая взгляд на спидометр. Через мгновение она может слегка измениться, но в каждый определенный момент времени она имеет некоторое определенное значение. Точно так же для любого аргумента в своей области определения (которую составляют все числа, большие нуля) логарифмическая функция имеет некоторый определенный наклон.
Как нам измерить этот наклон и что это такое? Сначала давайте определим «наклон» наклонной прямой линии. Это подъем по вертикали, деленный на смещение по горизонтали. Если, пройдя по горизонтали расстояние в 5 единиц, вы поднялись на 2 единицы вверх, то, значит, наклон равен двум пятым, т.е. 0,4 (рис. 7.2).