возвратно-поступательным, то есть хвост попеременно движется в противоположных направлениях по одному и тому же пути. Если рассмотреть под микроскопом, как плывет бактерия, инфузория или другой микроорганизм, окажется, что все они перемещаются иначе, хотя и удивительным множеством способов: их жгутики вращаются подобно штопору, на клетке появляются выпячивания и так далее. Давайте разберемся, почему же их движения никогда не бывают возвратно-поступательными.
Любое существо, плывущее в воде, при продвижении выталкивает жидкость. Делать это тяжело по двум причинам. Первая – инерция: нужно приложить усилие, чтобы придать ускорение лежащему на земле мячу, и точно так же нужно приложить усилие, чтобы придать ускорение какой-то части ранее неподвижной воды (далее она будет стремиться продолжать движение с той же скоростью). Вторая причина – вязкость: когда мы ложкой толкаем мед, он тянет за собой и мед, который с ней не соприкасается, и нам необходимо приложить силу для преодоления такого сопротивления (оно обусловлено трением между слоями вязкой среды). Действие этих двух сил неизбежно. Отношение инерционной силы к силе вязкого трения назвали числом Рейнольдса – в честь пионера гидродинамики Осборна Рейнольдса, который в 1868 году стал вторым в истории Англии профессором инженерии2. Каждая ситуация, в которой задействованы жидкости, характеризуется числом Рейнольдса, и это очень удобный, лаконичный способ описывать поток. Потоки с высоким числом Рейнольдса турбулентны: когда инерция доминирует над вязкостью, поток завихряется, и массы воды хаотически сталкиваются друг с другом, подобно мячикам. Потоки с низким числом Рейнольдса, напротив, спокойны: когда вязкость преобладает, поток постепенно затихает возле движущегося объекта. (Число это признают «высоким» или «низким» в сравнении с единицей, числом Рейнольдса, при котором силы инерции и вязкого трения равны.) Мы можем определить число Рейнольдса, зная свойства жидкости и движущегося в ней объекта. При высокой скорости, большом размере и низкой вязкости число Рейнольдса высокое, а при низкой скорости, малом размере и высокой вязкости – низкое.
Если бактерия размером 10–6 метров движется в воде со скоростью около 10–5 метров в секунду, соответствующее число Рейнольдса составит примерно 10–5, или 0,00001, то есть будет совсем низким. Если же в воде плывет кит, число Рейнольдса будет около 108, то есть очень высоким, в 10 000 000 000 000 раз выше, чем для бактерии. (Теперь вы понимаете, почему нам интересен лишь порядок величин: совершенно неважно, какова точная длина бактерии, 1 × 10–6 или 2,61 × 10–6 метров, поскольку числа Рейнольдса в любом случае различаются на 13 степеней числа 10.) Следовательно, бактерия и кит живут в очень разных жидких мирах: мир бактерии спокоен, а мир кита – турбулентен.
В знаменитой статье 1977 года «Жизнь при малом числе Рейнольдса» (Life at Low Reynolds Number) физик Эдвард Пёрселл объяснил, что этот факт на удивление сильно влияет на специфику движения водных существ. При высоких числах Рейнольдса потоки необратимы: если мы переместим объект по некоторому пути сквозь жидкость, а затем вернем его тем же путем обратно, в исходную точку, начальная конфигурация жидкости не восстановится. Иными словами, если вы нальете сливки в кофе, смешаете жидкости ложечкой, а затем вернете ложечку в исходную точку ровно по той же траектории, сливки не отделятся от кофе. Как крупные и быстрые животные, мы хорошо знакомы с миром высоких чисел Рейнольдса: такая необратимость настолько обыденна, что мы о ней даже не задумываемся. (У ложечки и кофе, кстати, число Рейнольдса близко к 103: их движения приводят молекулы воды и компоненты сливок и кофе в состояние турбулентности.)
При низких числах Рейнольдса потоки обратимы. Если я возьму такую же чашку кофе и волшебным образом увеличу вязкость жидкости в миллион раз, сила вязкого трения выйдет на первый план, и состояние жидкости станет обратимым. Когда я проведу ложечкой в одну сторону, сливки вроде бы смешаются с кофе, но если я верну ложечку обратно по той же траектории, каждая частица жидкости тоже пройдет обратно по своей траектории, и сливки в итоге отделятся от кофе: мы увидим компактное сливочное пятно, неотличимое от исходного. Я очень люблю показывать на занятиях похожий фокус, когда во вращающемся цилиндре краситель смешивается с очень вязким кукурузным сиропом, а затем словно по волшебству отделяется от него. (Этот эффект в классическом учебном видео демонстрирует специалист по гидродинамике Джеффри Инграм Тейлор, ссылка есть в примечаниях3.)
Какое отношение это имеет к бактериям? Число Рейнольдса снижается как с повышением вязкости, так и с уменьшением скорости и размера. Как мы отметили, плавающая в воде бактерия живет в мире очень низких чисел Рейнольдса. Пёрселл понял, что в силу обратимости потока в их среде микроорганизмы просто не могут плавать с помощью возвратно-поступательных движений. Дело не в том, что у них не нашлось подходящих генов и не выработались необходимые биохимические реакции, а в том, что маленьким законы физики не позволяют так добраться куда бы то ни было. Если бактерия взмахнет какими-то своими жесткими отростками в одну сторону и продвинется вперед…
…она вернется назад на то же самое расстояние, когда приведет их в исходное положение:
Если траектории отростков не меняются, так будет происходить при любых скоростях возвратно-поступательных движений. Пёрселл назвал это теоремой о гребешке в честь моллюска, который движется, размыкая и смыкая створки своей раковины, – так, как никогда не смог бы, будь он микроорганизмом.
Как же тогда плавают микробы? Как угодно, но только не с помощью возвратно-поступательных движений. Одна из типичных тактик – вращение единственным или несколькими спиралевидными жгутиками.
Пока ротор не вращается в обратную сторону, жгутик не возвращается назад по пройденному пути и непрерывно толкает организм вперед. Некоторые микробы передвигаются, выгибаясь и извиваясь, но следят, чтобы их изгибы сразу же не повторялись. Еще один способ – махать поверхностными ресничками так, чтобы их обратный ход не был противоположен прямому. Реснички отводятся в одну сторону…
…а затем сгибаются при возвращении назад:
Конечно, вы далеки от микроскопических масштабов, но тоже постоянно пользуетесь таким движением: реснички выстилки вашей дыхательной системы продвигают и выталкивают наружу слизь, удерживающую микробы.
Таким образом, мир кита в корне отличается от мира бактерии. Чтобы преодолевать разделяющие их порядки величин, живым существам нужно не только уменьшаться или разрастаться, но и менять саму модель своего поведения.
Как мы увидели, разница в размерах может влиять на способ действий животных. То же самое относится и к формам, причем эти характеристики связаны. Чтобы составить представление о сложных формах животных, для начала рассмотрим простые, на первый взгляд, аспекты геометрии. Допустим, у нас есть квадрат, и мы вдвое увеличиваем длину каждой из его сторон. Площадь квадрата увеличивается в 4 раза, что видно на рисунке…
…или становится понятно, если призвать на помощь математику: площадь первого квадрата равна L × L = L2, где L – длина стороны; площадь второго квадрата равна (2L)2, или 4L2. Если вдвое увеличить длину каждой из сторон равностороннего треугольника, его площадь тоже увеличится в 4 раза, а если увеличить каждую из сторон втрое, площадь возрастет в 32, то есть 3 × 3 = 9 раз[43].
Это верно и для треугольников с неравными сторонами при условии, что мы увеличиваем каждую из них в одинаковое число раз.
Во всех перечисленных случаях площадь пропорциональна квадрату длины. Иными словами, площадь поверхности масштабируется как L2, что можно символически записать так: A ∝ L2. При увеличении длины в 2 раза мы увеличиваем площадь в 22, то есть в 4 раза. Замена L на 3L даст нам увеличение площади в 32 = 9 раз, а на 4L – в 4 × 4 = 16 раз.
Вероятно, вам кажется, что в этом нет ничего сложного. В конце концов, скажете вы, мы изучаем площади простых фигур в начальной школе. Но этот разбор подспудно объясняет нам то, о чем упоминают не часто. Нам не нужно знать математические формулы для вычисления площади той или иной фигуры. Если увеличить вдвое размеры любой фигуры, не меняя при этом ее форму, площадь фигуры увеличится в 4 раза. Вся сущность площади сводится к тому, что это геометрическая характеристика, масштабируемая как L2. Площадь круга, радиус которого увеличивается в 5 раз, возрастает в 52 = 25 раз, и нет нужды вспоминать соответствующую формулу. Площадь поверхности сферы, радиус которой увеличивается в 10 раз, возрастает в 100 раз. Площадь левого пятна на рисунке в 4 раза меньше площади правого, которое в поперечнике больше лишь вдвое:
Объем тела масштабируется как его длина в кубе, то есть L × L × L = L3. Чтобы убедиться в этом, можно нарисовать кубики (или другие тела, если вам хватит смелости) и показать, что удлинение каждой из сторон в 2 раза увеличивает объем в 23 = 8 раз, удлинение их в 3 раза увеличивает объем в 33 = 27 раз и так далее. И снова форма не имеет значения. Если увеличить радиус сферы в 4 раза, ее объем вырастет в 43 = 4 × 4 × 4 = 64 раза. Если вдвое сократить длину трехмерной кляксы, сохранив ее форму, объем новой кляксы составит ⅛ от исходного.
Наконец, надо отметить, что при увеличении или уменьшении тела без изменения формы соотношение его размеров сохраняется. Если при пропорциональном увеличении треугольника его высота прирастает вдвое, то удваивается и основание. Все длины масштабируются так же, как L, что записывать вроде бы странновато, зато полезно держать в уме. Подобным образом все площади пропорциональны другим площадям: если мы увеличиваем тело так, что площадь его сечения возрастает в 4,7 раза, площадь его поверхности возрастает в те же 4,7 раза.