Простые числа — страница 10 из 22

Обложка некоторых изданий книги Апостолоса Доксиадиса с изображением раковины наутилуса, представляющей из себя логарифмическую спираль.

Глава 4Логарифмы и простые числа

Когда мы исследуем объект, приборы, которые мы используем, тоже влияют на результаты наблюдений. Например, развитие астрономии было тесно связано с совершенствованием телескопов, а микробиология — с микроскопами. Оборудование для наблюдений и измерений стало ключевым фактором, открывающим двери в неведомые миры. В этом смысле математика не является исключением: объекты ее исследования нематериальны, но даже они могут изучаться с высокой степенью точности.

Одним из самых мощных математических инструментов, когда-либо изобретенных человеком, являются логарифмы, служившие сначала для упрощения расчетов, но благодаря Карлу Гауссу превратившиеся в устройство для поиска простых чисел.

Джон Непер

В некоторых учебниках упоминаются логарифмы Непера, в то время как в других — логарифмы Нэйпера. На самом деле в истории математики это имя появлялось во многих вариантах: Нэйпер, Неппер, Нейпер, Нейпир, Непер… (Napeir, Nepair, Nepeir, Neper, Napare, Naper, Naipper…). Единственное написание, которое создатель логарифмов ни разу в своей жизни не использовал, было Непер (Napier) — и именно оно сейчас считается правильным!

Шотландский математик и богослов Джон Непер вошел в историю благодаря открытому им методу упрощения сложных расчетов.

Джон Непер родился в 1550 г. в замке Мерчистон близ Эдинбурга в Шотландии. Он был сыном аристократа Арчибальда Непера, и жизнь его проходила в очень комфортных условиях. Джон изучал теологию в Сент-Эндрюсском университете. Его интерес к математике проявился во время долгого путешествия по Европе. Известно, что он учился в Парижском университете, а также провел некоторое время в Италии и в Голландии. Возвратившись в Шотландию в 1572 г., он женился на Элизабет Стерлинг. Следующие два года он посвятил строительству замка в Гартнесс. Непер проводил много времени в этом замке, именно в этот период погрузившись в таинственные занятия математикой. Слово «таинственные» использовано неслучайно, потому что когда Непер изредка появлялся на публике, он был одет во все черное и носил на плече черного петуха. Его эксцентричность принесла ему репутацию чародея, которая только подтверждалась демонстрацией его математических навыков.

В дополнение к своей исключительной увлеченности математикой он проводил много времени за изучением Евангелия, особенно Книги Откровения. Непер опубликовал свои размышления в книге «Простое истолкование всего Откровения Иоанна Богослова», переведенной на несколько языков, в которой пытался доказать, что папа является Антихристом.

Одна из первых моделей счета Непера, известных как «костяшки Непера», применявшихся для быстрого умножения и деления.

* * *

СТРАННЫЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ

Сегодня нам кажется совершенно нормальным возможность выразить дробь 19/8 в виде десятичной дроби 2,375 — мы просто делим 19 на 8. Но в XVI в. десятичные дроби были экзотикой. Фламандский инженер Симон Стевин (1548–1620) ввел обозначение десятичных дробей и предложил единицы веса и длины, основанные на десятичной записи, как и в метрической системе, используемой сегодня. Непер поддержал использование десятичных дробей и упрощенные обозначения Стевина, введя запятую (так называемую «десятичную точку») в качестве разделителя целой и дробной частей десятичной дроби. Запятая до сих пор используется во многих европейских странах. Однако в англоговорящих странах в качестве десятичного разделителя используется точка.

* * *

Непер также интересовался нумерологией и астрологией. Второе увлечение привело его к исследованию свойств геометрических фигур на сферической поверхности, и в результате он получил важные соотношения для сферических треугольников. Любой студент, изучавший сферическую тригонометрию, наверняка помнит формулы, носящие имя знаменитого шотландца.

Тем не менее для Непера один вопрос был намного важнее всех остальных. В те дни численные расчеты были очень утомительными. Непер подумал, что он мог бы использовать свое время более эффективно, чем просто заполнять страницу за страницей бесконечными расчетами, которые на самом деле были лишь рутинной работой.

Ему удалось изобрести устройство для быстрого умножения и деления, состоящее из стержней с квадратным сечением и доски для умножения. В 1617 г. Непер издал руководство под названием «Рабдология» (счет с помощью палочек), в котором он объяснил правила работы с этим устройством. Устройство Непера, предшественник логарифмической линейки, использовалось в Шотландии более 100 лет. (Непер позднее усовершенствовал этот инструмент, заменив стержни карточками, которые позволяли умножать большие числа. На самом деле эти карточки были прообразом знаменитых перфокарт, которые появились более чем четыре века спустя вместе с первыми компьютерами IBM.)

Однако важнейшим достижением Непера с точки зрения истории математики являются логарифмы — гениальный способ вычислений, который он опубликовал в 1614 г. под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio («Описание удивительной таблицы логарифмов»). Чтобы оценить важную роль, которую логарифмы играют в теории простых чисел, мы сначала рассмотрим некоторые из их свойств.

Логарифмы

Логарифмы основаны на следующей идее. Мы знаем, что число 1000 = 10 х 10 х 10 может быть записано как десять в степени три, 10³ Аналогично:

1 000 = 10³;

10 0 00 = 10⁴;

1 000 000 = 10⁶.

Предположим, мы хотим перемножить эти числа:

1000 x 10000 x 1000000 = 10000000000000.

Но 10000000000000 = 10¹³.

Мы могли бы выполнить это умножение, сразу написав 10^{3 + 4 + 6} = 10¹³. Совершенно очевидно, что проще складывать, чем умножать. Чтобы убедиться в этом, попробуйте умножить 10³⁸ х 10⁵² = 10⁹⁰, записав числа в развернутом виде!

Здесь и появляются логарифмы. Глядя на пример 1000 = 10³, мы можем задать такой вопрос: «В какую степень надо возвести число 10, чтобы получить 1000?» Ответом будет 3. Запишем это следующим образом: log₁₀  (1000) = 3. Тогда, например:

log₁₀  100 = 2;

log₁₀ 1 000 = 3;

log₁₀ 1 000 000 = 6.

Главной идеей такого подхода является то, что числа гораздо проще складывать, чем умножать. Например:

log₁₀ (100 x 1000) = log₁₀100 + log₁₀1000 = 2 + 3 = 5.

Применяя обратную функцию, антилогарифм, мы получаем конечный результат:

10⁵ = 100000.

Эти операции показаны в следующей в таблице:

Первая строка таблицы начинается с числа 1, и каждое следующее число в 10 раз больше предыдущего. Такой ряд чисел называется геометрической прогрессией со знаменателем 10. С другой стороны, числа в нижней строке таблицы получаются путем добавления единицы к предыдущему числу. Таким образом, верхняя строка содержит операции умножения, а нижняя строка — операции сложения. Как видно из таблицы, операция умножения

1000 x 100000 = 100000000

эквивалентна операции сложения

3 + 5 = 8.

Мы можем составить такую таблицу, используя любую геометрическую прогрессию в верхней строке, например:

Чтобы умножить 4 на 16 (верхняя строка), мы сложим 2 и 4 (нижняя строка), получив число 6, которое соответствует числу 64. Аналогично мы можем выполнить операцию деления, но в этом случае результат получается путем вычитания соответствующих чисел в нижнем ряду. Например, чтобы разделить 256 на 8, мы просто вычтем 3 из 8, то есть 8–3 = 5, что соответствует 32, числу над числом 5.

Такое соотношение между числами в нижней и верхней строках является ключевым для логарифмов.

Теперь мы можем сформулировать строгое определение логарифма. Когда мы говорим о том, что число 32 соответствует числу 5, мы имеем в виду следующее равенство:

2⁵ = 32.

Напомним, что 2 в степени 5 означает, что число 2 умножается само на себя пять раз. Мы можем читать строки второй таблицы следующим образом: «Число 3 является показателем степени, в которую надо возвести число 2, чтобы получить число 8» и «число 7 является показателем степени, в которую надо возвести число 2, чтобы получить число 128», что сокращенно записывается так:

log₂8 = 3;

log₂128 = 7.

Эти выражения читаются соответственно так: «Логарифм числа 8 по основанию 2 равен 3» и «логарифм числа 128 по основанию 2 равен 7». Теперь рассмотрим пример из первой таблицы, 10⁴ = 10000, то есть 4 является показателем степени, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число 10000. Запишем это с использованием логарифма: log₁₀10 000 = 4, что читается как «логарифм числа 10000 по основанию 10 равен 4».

Итак, обратимся к общему определению. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число b (а^с = Ь), что записывается как

log_ab = с.

Непер был заинтересован в упрощении вычислений в сферической тригонометрии и впервые применил логарифмы для тригонометрических функций. Его подход не был похож на используемый сегодня, который можно назвать арифметическим.

Его метод был «кинематическим», то есть он рассматривал два отрезка, пробегаемых с разной скоростью. Слово «логарифм», впервые использованное самим Непером, означает «числа отношений» в смысле отношений между различными отрезками. (В нашем случае это отношение между числами из разных строк таблицы.) Непер работал с логарифмами по основанию 10