У этой функции есть два типа «нулей», то есть таких значений аргумента, которые при подстановке в функцию обращают ее в ноль. Первый тип — четные отрицательных числа: х = —2, х = —4, х = —6 …, называемые «тривиальными» нулями.
Другие нули совсем не тривиальные, и вычислить их очень трудно. Они образуют бесконечное множество и находятся на так называемой «критической полосе» комплексных чисел, действительная часть которых больше нуля, но меньше единицы (0 <= Re(х) <= 1). Эта полоса наиболее тесно связана с простыми числами. В 1896 г. именно этим вопросом занимались два математика, Жак Адамар и Шарль Жан Ла Валле Пуссен, независимо друг от друга доказавшие гипотезу Гаусса о распределении простых чисел.
В одной из записей и без каких-либо доказательств Риман сформулировал утверждение, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют вид 1/2 + iy, то есть они лежат на прямой х = 1/2, которая проходит сквозь дзета-функцию.
«Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную 1/2».
Если эта гипотеза верна, то все простые числа распределены регулярно, точнее, насколько это возможно регулярно. Поясним это с помощью аналогии: представим себе функцию, характеризующую звуки скрипичного концерта — ряд синусоидальных кривых. Для простоты предположим, что играет только одна скрипка. Вместе с рядом четких подъемов и впадин мы увидим другие неопределенные формы, которые несколько нарушают гармонию кривой линии. В акустических терминах это называется «белый шум», возможными причинами которого являются статические разряды, фоновые звуки и так далее. Таким образом, гипотеза Римана утверждает, что любые отклонения в распределении простых чисел связаны с математическим «белым шумом». Это означает, что распределение простых чисел основано на определенном правиле, а не на чистой случайности. Таким образом Риману удалось навести некоторый порядок в разношерстной компании простых чисел.
* * *
ПОПРОБУЙТЕ САМИ
Если вы хотите пополнить ваши знания по теории функций комплексного переменного и рядов, то для этого существует много прекрасных учебников. Вы даже можете попытаться доказать гипотезу Римана. Если вам это удастся, то Математический институт Клэя вручит вам награду в один миллион долларов независимо от вашего возраста, пола или профессии. Однако награду вы получите не сразу: потребуется время на изучение доказательства и подтверждение его правильности. В июне 2004 г. Луи де Бранж де Бурсия, математик из Университета Пердью (штат Индиа-на, США), заявил, что сумел доказать гипотезу Римана, но его доказательство было позднее отклонено. То же самое произошло в 2008 г. с доказательством Сян-Джин Ли (Xian-Jin Li).
Луи де Бранж де Бурсия.
* * *
В 1914 г. британские математики Годфри Харолд Харди (1877–1947) и Джон Идензор Литлвуд (1885–1977) доказали, что на прямой линии существует бесконечное число нулей. Это не доказывает гипотезу Римана, зато подкрепляет мнение специалистов о ее правильности. Многие думают, что если на «критической прямой» находится бесконечное множество нулей, то все нули уже в нем учтены, но это лишь показывает типичную ошибку в восприятии бесконечности, концепция которой полна парадоксов, потому что может также существовать бесконечное количество нулей, которые не лежат на этой прямой. На сегодняшний день вычислено около десяти миллионов «нетривиальных» нулей, расположенных на этой линии.
Однажды выдающегося немецкого математика Давида Гильберта спросили, какой вопрос он задал бы на математическом симпозиуме, который состоится через сто лет после его смерти. Он ответил: «Я бы спросил, доказана ли гипотеза Римана». До сих пор никто не нашел доказательства. Но ста лет еще не прошло, ведь Гильберт умер лишь в 1943 г.
Гениальный французский математик Анри Пуанкаре (1854–1912) говорил, что математические исследования проходят в три этапа. Первая стадия состоит в скрупулезном анализе трудностей данной проблемы, разных подходов, необходимых для ее решения, имеющихся методов, а также в готовности к тому, что потребуется радикальное переосмысление наших знаний.
Следующей стадией является кажущаяся отчужденность. Математик перестает думать о проблеме или по крайней мере перестает думать о ней сознательно, чтобы ум погрузился в таинственную область подсознательного, где творческая деятельность подчиняется собственным правилам. Это область неточности, нестрогости и интеллектуальных блужданий. В результате такого подсознательного процесса рождается вдохновение, которое может быть вызвано событиями, не имеющими явной связи с темой исследований. Этот момент был описан ирландским математиком Уильямом Гамильтоном (1805–1865). Однажды он гулял с женой на окраине Дублина и вдруг остановился будто от удара электрическим током: «Казалось, я вдруг почувствовал, как замыкаются гальванические цепи мыслей, и вспыхнувшей искрой были основные уравнения, связывающие i, j, k…».
Гамильтон вдруг осознал, что не три, а четыре числа необходимы для описания пространственного поведения гиперкомплексных чисел. Это действительно волшебный момент, когда исследователь вдруг чувствует, как вспыхивает свет в комнате, в которой он никогда раньше не бывал.
Далее Пуанкаре говорит о процессе отбора, который идет на подсознательном уровне, в результате чего мы осознаем одни идеи и отвергаем другие. В конце концов, когда мы не в состоянии решить, являются ли эти идеи истинными или ложными, единственным критерием отбора является математическая красота.
* * *
ПАРАДОКСЫ БЕСКОНЕЧНОСТИ: ОТЕЛЬ ГИЛЬБЕРТА
Отель Гильберта — воображаемое здание, в котором имеется бесконечное количество комнат. Управляющий отелем гордится тем, что никогда не отказал ни одному гостю. А теперь представьте себе: поздним вечером, когда все номера отеля заняты, внезапно появляется новый гость. Портье идет к управляющему и сообщает ему, что гостя некуда поселить. Управляющий говорит, что надо попросить всех жильцов переселиться в номер по соседству, так что гость из первого номера переселяется во второй, гость из второго — в третий и так далее. После этого первая комната освободится, и туда можно будет поселить нового гостя. Однако в полночь портье снова прибегает к управляющему. На этот раз он просто в отчаянии. Только что для участия в симпозиуме прибыло бесконечное количество математиков. «Мы же не сможем поселить их всех!» — восклицает портье. Подумав немного, управляющий предлагает следующее: «Нам придется попросить наших гостей о еще одном одолжении. Пусть каждый умножит номер своей комнаты на два и переселится в комнату с полученным номером». Таким образом, гость из четвертого номера переселяется в комнату 8, гость из комнаты 23 — в комнату 46, гость из комнаты 352 — в комнату 704 и так далее. После этого все комнаты с нечетными номерами освободятся. В них и поселятся участники симпозиума.
Портрет Давида Гчльберта, 1912 г.
* * *
На третьей стадии математик работает совершенно сознательно и тщательно анализирует идеи, принимая одни и отбрасывая другие. Он может вернуться один или несколько раз ко второй стадии, пока не решит проблему окончательно, следуя правилам и соглашениям, принятым в математике, так чтобы решение имело законченный вид.
Для совершения математического открытия важны все три этапа, но особенно интересен второй: именно на этой стадии мысль парит, вырвавшись из плена сознания. Жак Адамар посвятил одну из своих книг, «Исследование психологии процесса изобретения в области математики» (1945), изучению роли подсознания в творческой деятельности, концентрируясь в основном на работе математиков. В книге описывается процесс математических исследований, который начинается с сознательного выбора наиболее важных аспектов проблемы, чаще всего после получения промежуточных результатов. Адамар думал, что за этим периодом должен следовать «период отдыха», когда задачу откладывают в сторону, а затем следуют моменты вдохновения, являющиеся результатом мыслительных процессов, протекающих в подсознании математика.
Наконец, Адамар говорит о так называемом этапе «наведения порядка», когда вступает в свои права формальный подход. Адамар считал, что работа подсознания имеет решающее значение на протяжении всего процесса, особенно в период «отдыха».
Анри Пуанкаре был ученым, который проявил себя во всех областях математики.
Выводы Адамара согласуются с рассуждениями Пуанкаре, хотя последний придает большее значение периоду отдыха, включающему периоды сна. В истории науки, и особенно в истории математических открытий, существует множество свидетельств того, что многие ключевые идеи приходили к ученым во время сна. Некоторые исследователи сообщают, что прорыв в их работе произошел во сне, в котором они размышляли над какой-то проблемой. Большинство ученых говорят, что решение пришло сразу после пробуждения, особенно после напряженной работы накануне. Например, Дирихле признавался, что перед сном клал под подушку «Арифметические исследования» Гаусса. Он знал, что во время сна будет происходить таинственный процесс, который нельзя контролировать, но благодаря которому на следующий день он сможет осознать неясные места книги — те, что не мог понять накануне.
Все это часть волшебного мира чисел, с которым мы познакомились в предыдущих главах. Следует еще раз подчеркнуть, что это не магия в обычном смысле слова.
Магические ритуалы и церемонии были изначально и традиционно предназначены для выявления скрытых истин. Однако ритуалы, верования или даже процесс воображения приводят ум в особое состояние, в котором он свободен от ограничений физического мира и может думать по-другому. Как если бы мы переключились на другую полосу радиочастот и оказались в состоянии принимать новые сигналы с помощью того же радиоприемника.