проблемы. Сами авторы указывали на существенный пробел в своих изысканиях: ничего не было известно о промежуточных, переходных формах жидкости, предшествующих делению эллипсоида.
Желая восполнить недостающее звено в результатах Томсона и Тэта, Пуанкаре переключается с кольца Сатурна на новый объект. Но логика исследования увлекает его к более общей и фундаментальной задаче: проверить, не существуют ли наряду с эллипсоидами Маклорена и Якоби другие родственные им фигуры равновесия вращающейся жидкости. Он смело принимает эстафету, в течение полутора веков передававшуюся от одного поколения ученых к другому. Смело, поскольку после работ Лиувилля проблема считалась достаточно подробно рассмотренной и закрытой. Рассчитывать в этих условиях на открытие, подобное открытию Якоби, казалось многим неоправданным оптимизмом. К тому же математические трудности представлялись неодолимыми. Задача сводилась к весьма сложному нелинейному интегральному уравнению. Даже сейчас нет полной теории решения таких уравнений, а в конце XIX века не разработана была теория решения и более простых, линейных интегральных уравнений. Тем более удивительны те успехи, которых удалось достигнуть Пуанкаре.
Помимо эллипсоидов, он обнаружил новые фигуры равновесия, отличающиеся от эллипсоидальных. Среди них были даже грушевидные. Эти-то фигуры и позволили перекинуть мост от эллипсоидов Маклорена к двухмассовым равновесным формам, представленным Томсоном и Тэтом. Сам Пуанкаре иллюстрирует эту возможность следующим гипотетическим примером, непосредственно относящимся к астрономии. Вообразим расплавленную жидкую массу, вращающуюся вокруг оси и сжимающуюся при охлаждении. Вначале это будет эллипсоид вращения, очень близкий к сфере. По мере охлаждения сжатие возрастает, и фигура непрерывно меняется. Все более и более уплощаясь, она перерождается в эллипсоид Якоби с тремя неравными осями. При последующем охлаждении большая часть жидкости, стремясь принять шарообразную форму, будет скапливаться в одном месте большой оси эллипсоида, а меньшая часть, обособляясь, переместится к противоположному концу большой оси. Образуется новая фигура равновесия, имеющая вид груши. Так будет продолжаться до тех пор, пока фигура, все более и более сжимаясь в своей средней, самой узкой части, не распадется на два различных, неравных тела.
Свои исследования Пуанкаре опубликовал в серии заметок и статей и в обширном мемуаре, вышедшем в 1885 году в журнале «Акта математика». Новые неожиданные результаты по столь старой и, казалось бы, досконально изученной проблеме вызвали исключительный интерес. Особенно оживились астрономы, решившие применить эти результаты к решению своих задач. Они надеялись, что открытые Пуанкаре грушевидные фигуры равновесия помогут объяснить процессы образования двойных звезд. Некоторые из них думали, что двойные звезды типа беты Лиры представляют те самые переходные формы, которые рассмотрены в его работах. Но сам Пуанкаре понимал, что все рассуждения о фигурах равновесия применительно к небесным телам справедливы лишь в том случае, если эти фигуры устойчивы. Только тогда они могут сохраняться неограниченно долго. Между тем об их устойчивости и методах ее исследования в работах предшественников можно было найти весьма скудные сведения. Например, методы, разработанные Лапласом и Лиувиллем, годились только для некоторых частных случаев и в смысле точности оставляли желать много лучшего.
Все оценки устойчивости механических систем опирались на принцип Лагранжа, согласно которому устойчивое равновесие характеризуется наименьшей величиной потенциальной энергии. Отклоненный от вертикального положения маятник потому так упорно к нему возвращается, что среди всех его возможных положений оно наинизшее и потенциальная энергия в нем принимает наименьшее значение. Но не так просто было применить этот критерий к жидкому вращающемуся телу. Если мысленно отклонить его от равновесной конфигурации, слегка деформировать, то очень трудно сказать наверняка, вернется ли оно, подобно маятнику, в границы прежних своих очертаний или, наоборот, будет неуклонно удаляться от них до тех пор, пока не успокоится, приняв новую, на этот раз устойчивую форму. Смещения частиц жидкости приводят к появлению новых сил, называемых гироскопическими, которые существенно усложняют всю картину. Бессилие принципа Лагранжа заключалось именно в том, что он не мог учесть действия этих дополнительных сил.
Не всегда решение научной проблемы, долгое время не поддававшейся усилиям исследователей, связано с рождением новых методов. Долгожданный эффект приносит порой переосмысление старых, испытанных средств. Такой подход к решению проблемы устойчивости фигур равновесия продемонстрировал Пуанкаре, обобщив принцип Лагранжа на новые, не входившие ранее в круг его рассмотрения ситуации. В качестве критерия устойчивости он принял не потенциальную энергию, а некоторую ее модификацию, как бы дополненную потенциальную энергию, учитывавшую влияние гироскопических сил. Каждой фигуре равновесия ему удалось сопоставить некоторые числовые величины, которые были названы им коэффициентами устойчивости, потому что только в том случае, когда эти коэффициенты положительны, выполняется условие устойчивости. Меняются очертания фигуры, меняются и значения коэффициентов, оставаясь положительными, если она не выходит за пределы своей устойчивости. Но если хотя бы один из коэффициентов обратится в нуль, это уже предостерегающий сигнал. Это значит, что данная фигура равновесия лежит на распутье и от нее ответвляется семейство других фигур равновесия. Перейдя этот рубеж, старые равновесные формы становятся неустойчивыми, зато обнаруживается устойчивость у новой серии фигур. Оба семейства фигур равновесия как бы обмениваются на стыке своей устойчивостью.
Такие же результаты были получены несколько раньше другим ученым. В далеком Петербурге молодой математик А. М. Ляпунов, два года работавший над задачей устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости, защищает в январе 1885 года магистерскую диссертацию. Но в то время Пуанкаре еще ничего об этом не знал.
Петербургский адресат
Два года спустя после окончания университета Александр Ляпунов обратился к своему бывшему профессору П. Л. Чебышеву с просьбой дать ему тему для научного исследования. Знаменитый русский математик предложил молодому коллеге задачу, полностью аналогичную той, к которой спустя некоторое время приступил Пуанкаре: найти новые формы равновесия вращающейся жидкости, в которые переходят эллипсоиды Маклорена и Якоби. «Вот если бы вы разрешили этот вопрос, на вашу работу сразу обратили бы внимание», — прибавил маститый петербургский академик.
Это было в 1882 году. Ляпунов сразу же принялся за работу. Об актуальности этой задачи для науки того времени свидетельствует тот факт, что Чебышев не раз уже предлагал ее молодым талантливым математикам, в том числе Софье Ковалевской. Получив приближенное решение, Ляпунов столкнулся с непреодолимыми трудностями, когда пытался уточнить полученные результаты. После ряда неудач молодой математик вынужден был отложить вопрос на неопределенное время. Но усилия его не пропали даром. В ходе работы у него родилась мысль о другой научной задаче: исследовать устойчивость уже известных, эллипсоидальных форм равновесия. Это и составило предмет его магистерской диссертации, опубликованной в 1884 году. В ней он излагал и доказывал свои выводы об устойчивости различных эллипсоидов равновесия. Кроме того, им было показано, что при некоторых условиях эллипсоиды переходят в непохожие на них новые формы равновесия, среди которых были грушевидные. Но поскольку задача была решена с ограниченной точностью, лишь в первом приближении, то Ляпунов не считал строго доказанным существование этих новых фигур равновесия.
Через год после опубликования своей диссертации Ляпунов, просматривая номера парижского журнала «Comрtes rendus», встретил заинтересовавшую его заметку Пуанкаре, уже хорошо известного в России французского математика. Решая ту же задачу, Пуанкаре пришел к результатам, совпадающим с результатами незнакомого ему русского коллеги. Но о новых фигурах равновесия он говорил без той осторожности, которую проявил Ляпунов, уверенно утверждая, что они существуют. Прочитав заметку, Ляпунов посылает в Париж экземпляр своей диссертации с письмом, в котором выражает сомнения в возможности строго доказать существование неэллипсоидальных форм равновесия. Он просит Пуанкаре сообщить ему идею своего метода.
Вскоре из Парижа приходит ответ. Пуанкаре благодарит Ляпунова за присланную диссертацию и сетует на то, что не может как следует с ней ознакомиться из-за незнания русского языка. Тем не менее, основываясь на кратком переводе, который был сделан в «Астрономическом бюллетене», он приходит к выводу, что Ляпунов опередил его по некоторым пунктам. Пуанкаре собирается выслать оттиск своей статьи и просит сообщить о сходстве и различии с работой Ляпунова во всем, что касается результатов и методов. «Я составлю в соответствии с Вашими указаниями заметку, в которой воздам Вам должное и которая будет напечатана в „Актах“»,[22] — сообщает он.
Так завязалась оживленная многолетняя переписка Пуанкаре, а затем и других французских ученых — П. Аппеля, Э. Пикара, К. Жордана, П. Дюгема, Ж. Адамара — с далеким русским математиком. Его научные достижения получают у них высокую оценку и вызывают искреннее восхищение. П. Дюгем по поводу одной работы Ляпунова сообщает впоследствии в очередном своем письме: «Я нахожу там одно замечание, которое я думал, что сделал первым. Вы меня опередили на 20 лет!» Успехи А. М. Ляпунова и его коллег приковывают внимание парижского ученого света к петербургской математической школе. Этот интерес явно выражен в письме Аппеля, в котором он обращается к Ляпунову с необычным предложением: «Ввиду того, что работам, опубликованным на русском языке, придается большое значение», неплохо было бы найти какого-нибудь русского математика, знающего французский язык, который мог бы регулярно присылать для «Бюллетеня математических наук» обзоры этих работ. «Вы оказали бы таким образом науке большую услугу», — заключает Аппель свою просьбу. Именно после этого письма, датированного декабрем 1896 года, все основные работы Ляпунова пу