ановится ли программа, знание постоянной Хайтина равносильно владению всем математическим знанием Вселенной.
Число омега зависит от используемого языка программирования, так что, строго говоря, следует говорить о постоянных Хайтина — своей для каждого языка. Как мы видим, физическое понятие энтропии порождает математическую дисциплину, теорию информации, которая может быть использована при анализе самых разных ситуаций. Уточнение этого понятия ведет к открытиям, весьма далеким от области физики, но очень важным для чистой математики (например, в работах Хайтина). Впрочем, это обычный путь, которым идет математический прогресс.
* * *
ВЫЧИСЛЯЯ НЕВЫЧИСЛИМОЕ
Хотя постоянные Хайтина и невычислимы, в 2002 году математику Кристиану Калуду (родился в 1952 году) удалось вычислить первые шестьдесят четыре символа для одной из них. Используемый им способ заключался в том, чтобы взять все возможные программы с некоторым числом битов и выяснить, какие из них останавливаются. Вычислять знаки постоянной Хайтина — трудная задача, сложность которой растет с каждым новым знаком после запятой. Если бы в нашем распоряжении были хотя бы первые 10 тысяч битов постоянной Хайтина, мы бы находились на удивительном уровне развития математического знания. Хайтин даже утверждал, что количество знаков числа омега, известных цивилизации, — хорошая мера ее интеллектуального прогресса.
* * *
Энтропия Шеннона тесно связана с физической энтропией: она не только основана на ней, но и может полностью заменить старое определение. Если мы снова вернемся к газу, то можем задуматься о количестве информации, которое он содержит, то есть о числе битов, необходимых для определения положения и импульса каждой из его частиц.
Найти ответ на вопрос можно, рассмотрев микросостояния. Если у газа всего два возможных микросостояния, одного бита достаточно, чтобы определить, в каком из них он находится: ноль для первого, единица для второго. Но если у газа 100 тысяч микросостояний, количество информации равно наиболее близкой степени числа два, которая определяет число битов, необходимых для выбора одного из них.
Итак, количество информации пропорционально числу микросостояний, а именно его логарифму, как в физической энтропии. Другими словами, энтропия системы прямо пропорциональна информации Шеннона, которую она содержит: энтропия Шеннона соответствует физической энтропии. Как только мы провели эту параллель, можно рассматривать и те физические системы, которые до сих пор были закрыты для такой области, как информатика.
Например, мы можем задуматься, каково максимальное количество информации, которое может храниться в определенном объеме. Это открыло бы нам путь к законам, управляющим Вселенной: если количество информации на единицу объема конечно, то Вселенная, вероятно, дискретна, то есть существует минимальная единица длины, и невозможно разделить пространство на меньшие.
Для хранения информации нужна энергия. Эту задачу можно решить различными способами: с помощью изменения направления магнитного поля электронов в каком-то материале, как в случае с жесткими дисками, или проведя бороздки на пластике, в которых отражается свет лазера, как в DVD-дисках. Но нам всегда нужен какой-то физический носитель, поскольку вакуум не может содержать информацию. И если мы хотим узнать, какова максимальная информация, которую мы хотим поместить в каком-то месте, мы должны знать, какова максимальная энергия, которую мы можем в нем сжать.
К счастью, ответ на этот вопрос известен. Существует предел количества энергии, которую можно хранить в конкретном месте, и он задан импульсом, при котором эта энергия трансформируется в черную дыру.
Черная дыра — это область пространства, в которой материя так сжата, что даже свет не сможет высвободиться из нее, поскольку скорость освобождения выше скорости света. Скорость освобождения (или вторая космическая скорость) — это минимальная скорость, которую должно развить тело для того, чтобы преодолеть гравитационное притяжение планеты или звезды, на которой оно находится. Для Земли вторая космическая скорость равна примерно 11,2 км/с, но для черной дыры она так высока, что даже свет не достигает ее. Эйнштейн доказал, что ничто не может двигаться быстрее света, а это означает, что ничто не может освободиться из черной дыры.
Эйнштейн также в своей известной формуле Е = mс2 показал, что масса и энергия — на самом деле одно и то же. Это означает, что огромная концентрация энергии соответствует огромной концентрации массы. Следовательно, можно создать черную дыру с помощью чистой энергии.
Итак, существует предел количества информации, которую можно хранить в какой-либо области пространства, и после превышения этого предела энергия хранения трансформируется в черную дыру. Как видите, максимальное количество информации содержат черные дыры.
Теперь выясним, сколько же информации содержится в черной дыре. Для этого нам потребуется вычислить ее энтропию. Стивен Хокинг (1942), пользуясь инструментами, лежащими на стыке квантовой механики, справедливой для микроскопического мира, и общей теории относительности, описывающей гравитационные поля, смог доказать, что черные дыры имеют некоторую температуру и, следовательно, энтропию. Ученый открыл нечто удивительное: энтропия пропорциональна не объему черной дыры, а ее площади. Это означает, что количество информации, которое можно хранить в области пространства, зависит не от объема этой области, а от ее площади. Этот вывод, казалось бы, противоречит здравому смыслу.
Поставим небольшой мысленный эксперимент. Предположим, что мы хотим сохранить некоторую информацию. Для этого мы строим маленькие кубики двух цветов — нули и единицы. Теперь мы должны составить эти кубики так, чтобы они заняли минимальное пространство. Естественное решение — расположить их рядом друг с другом, образуя трехмерную структуру. Очевидно, что чем большим объемом мы располагаем, тем больше кубиков сможем составить. Получается, что информация должна быть пропорциональна объему, который занимают кубики, а не площади.
Но это не так. Если кубики будут достаточно маленькими, то содержащаяся в них информация будет пропорциональна площади, которую они занимают, а не объему, как доказал Хокинг. Но это справедливо только в том случае, если кубики будут сжиматься в объеме, образовав в конце концов черную дыру — микроскопический объект, очень далекий от нашей повседневной действительности. Если плотность вещества меньше, чем в черной дыре, здравый смысл вновь будет демонстрировать свою эффективность.
Этот вывод Хокинга привел физическое сообщество к формулировке голографического принципа. Согласно ему, Вселенная представляет собой голограмму: кажется, что в ней три измерения, но на самом деле вся необходимая информация находится на плоскости. Знакомая нам трехмерная Вселенная не более чем иллюзия — на самом деле в ней на одно измерение меньше.
Формулировка голографического принципа обязала физическое сообщество пересмотреть такие понятия, как пространство или время. Поскольку в пространстве существует ограниченное количество информации, а само пространство может быть описано в двух измерениях, то, возможно, информация первична, а пространство само по себе вторично? Это утверждение привело к попыткам описать Вселенную в терминах информации, а пространство и время рассматривать в качестве ее вторичных следствий.
Как видите, физическое понятие снова нашло применение в математике, оно там было отшлифовано, расширено и вновь возвращено в лоно физики, чтобы стать основой революционных открытий в нашем понимании Вселенной.
Понятие энтропии нашло также неожиданное применение в теории энтропической гравитации Эрика Верлинде (1962), согласно которой предполагается, что гравитации не существует, она — всего лишь эффект энтропии в комбинации с голографическим принципом.
Равномерно насыплем на стол зернышки риса. Если сейчас стол встряхнуть с достаточной силой, зернышки перераспределятся, стремясь образовать кучки. Между ними не существует никакой силы притяжения: перед нами естественное развитие событий, когда хаотичные процессы не гомогенны, а включают сгустки.
Согласно Верлинде, это же происходит и с гравитацией: нам кажется, что существует некая сила, но на самом деле мы наблюдаем тенденцию материи к группированию, поскольку эта конфигурация обладает большей энтропией, чем равномерное распределение.
Теория Верлинде объясняет некоторые свойства гравитации различием в плотности энтропии в пространстве между двумя телами и в окружающем пространстве.
Как говорит ученый, «законы Ньютона не работают на микроуровне, но они действуют на уровне яблок и планет. Вы можете сравнить это с давлением газа. Сами по себе молекулы газа не создают никакого давления, но некоторый объем газа оказывает давление».
Сегодня теория Верлинде все еще находится на уровне гипотез и ждет подтверждения физическим сообществом.
Несмотря на то что понятие энтропии было введено для объяснения некоторых свойств газов, позже оно стало важным инструментом в математике и инженерном деле, выйдя за пределы физики элементарных частиц. Энтропия — идеальный пример того, как идея шлифуется и становится все более абстрактной, пока ее действие не распространяется на гораздо более широкую сферу, чем это было вначале.
Глава 5Порядок из хаоса
Большинство газов, изучаемых в лаборатории, представляют собой совокупность равномерно распределенных молекул, макроскопические свойства которых не меняются со временем. Благодаря этому для их описания можно использовать математические инструменты, такие как статистика и вероятность.
Но в реальной жизни газы, окружающие нас и образующие воздух, которым мы дышим, имеют разную температуру и давление на разной высоте и движутся, образуя малопрогнозируемые потоки. В противоположность лабораторной изолированной системе при постоянной температуре мы имеем Землю — тело, которое получает энергию Солнца и вращается вокруг своей оси, при этом температура его поверхности периодически меняется. Модель газа с постоянным давлением и неизменной температурой в этих условиях неприменима, поскольку все термодинамические переменные измеряются в зависимости от положения и времени. Изучение реальных газов, образующих в движении ветер, намного сложнее, чем это предполагает математический аппарат Больцмана.