Анри Пуанкаре (1854–1912) в конце XIX века, легло в основу такого понятия, как детерминированный хаос. Детерминированный хаос был открыт благодаря физике, но сегодня это отрасль математики, которая используется для изучения любого типа явлений. Как видите, тактическая проблема вычислений в физике вызвала к жизни математические разработки, каждая из которых пошла своим путем.
На первый взгляд в проблеме трех тел нет ничего особенного. Можно взять, например, Солнце, Землю и Луну — три тела с взаимным гравитационным притяжением. Мы знаем, что Земля вращается вокруг Солнца, а Луна, в свою очередь, — вокруг Земли. Решение кажется элементарным. Однако наше описание очень сильно упрощено по сравнению с тем, что происходит в действительности. Луна притягивается не только Землей, но и Солнцем; кроме того, сила солнечного притяжения меняется в зависимости от положения тел.
Земля, в свою очередь, испытывает притяжение не только Солнца, но и Луны. Хотя при первом приближении можно считать влияние Луны незначительным, но если мы хотим найти точные траектории движения, этого делать нельзя.
* * *
АНРИ ПУАНКАРЕ (1854–1912)
Этот французский физик и математик внес огромный вклад в обе науки. Кроме того, что он был первооткрывателем детерминированного хаоса, Пуанкаре первым изучил свойства уравнений Гамильтона в качественном виде, получив огромное количество данных о поведении их решений.
Пуанкаре также был ключевой фигурой в развитии топологии, изучающей характеристики форм и пространств, которые остаются постоянными после деформации. Выдвинутая им гипотеза о свойствах сферы была доказана всего лишь десять лет назад. Кроме работ в области математики, Пуанкаре был одним из авторов специальной теории относительности и получил верные преобразования пространственно-временных координат еще до того, как Эйнштейн сформулировал свою теорию. Поэтому наиболее общие преобразования координат в релятивизме называются преобразованиями Пуанкаре.
Ученый не ограничивался математикой, а был еще и горным инженером и в течение жизни работал над различными инженерными проектами, такими как развитие сети французских железных дорог.
* * *
В 1860 году, в честь дня рождения короля Швеции и НорвегииОскара II (1829–1907), был проведен конкурс, посвященный решению проблемы трех тел. Победившая статья должна была быть напечатана в математическом журнале под патронатом самого короля.
Пуанкаре, который уже тогда был известным математиком, представил статью с возможным решением и выиграл конкурс. Однако незадолго до публикации в его математических рассуждениях обнаружилась важная ошибка, и Пуанкаре вынужден был исправить ее, добавив сотню страниц к оригиналу. И все же конечный результат, хотя и содержал революционное открытие, не решал проблему. Пуанкаре удалось доказать, что невозможно найти ее аналитическое решение, то есть можно решить проблему трех тел с помощью компьютера, используя приближения, но не существует точной математической формулировки, чтобы это решение описать.
Ученый изучал различные возможные орбиты в фазовом пространстве и сделал важнейшее открытие: минимальные различия в начальном положении трех тел дают огромные расхождения в их конечном положении. То есть похожие начальные условия порождают абсолютно разные орбиты. При одной и той же отправной точке может получиться так, что одно из тел отлетит вдаль или будет описывать непериодические случайные орбиты. При данных начальных положениях и импульсах спрогнозировать последующее поведение трех тел невозможно. Сегодня это называется чувствительностью к начальным условиям и является одним из необходимых условий хаоса.
Чувствительность к начальным условиям могла объяснить явления, которые, как казалось до последнего времени, противоречат ньютоновой механике. Если Вселенная представляет собой отлаженный механизм, в ней нет места случайным фактам: когда мы подбрасываем игральный кубик, результат предопределен и может быть предсказан с помощью уравнений Гамильтона. Однако кубик — это система, чувствительная к начальным условиям, так что наименьшее отклонение от начальной скорости и положения ведет к совершенно другому результату. При таком подходе случайность — это только проявление этого свойства, общего для сложных систем, в которых больше одной частицы, как в случае с газами.
Открытие Пуанкаре, с одной стороны, радует, потому что объясняет такое явление, как случайность, в рамках законов физики, но с другой стороны — обескураживает: чувствительность к начальным условиям делает поведение некоторых систем непредсказуемым. Это крайне неудобно, особенно если учесть, что любая физическая система состоит из большого числа взаимно притягивающихся и взаимно отталкивающихся тел, таких как атомы или электроны, и, следовательно, любая система превращается в потенциально непредсказуемую.
Конечно, ситуация не так безнадежна, как может показаться на первый взгляд, но для того, чтобы осознать это, необходимы новые математические инструменты, которые позволили бы изучать нелинейные системы, то есть системы с хаотическими элементами.
Несмотря на то что открытие Пуанкаре произошло в конце XIX века, изучение нелинейных систем не продвинулось до 60-х годов прошлого века, пока метеоролог Эдвард Лоренц (1917–2008), неудовлетворенный математическим аппаратом, которым тогда пользовались в его сфере деятельности, не расширил работу Пуанкаре, сформулировав теорию хаоса.
Открытие к Лоренцу пришло случайно: в его распоряжении был компьютер, с помощью которого ученый мог смоделировать погоду на неделю. При данном метеорологическом состоянии в определенный момент времени компьютер вычислял давление и температуру на следующую неделю. Однажды Лоренц решил сэкономить время и начал моделирование, пользуясь лишь частью данных, полученных за предыдущий день. К его удивлению, оказалось, что при вводе одних и тех же начальных величин компьютер делает абсолютно разные прогнозы. Каким-то образом одни и те же алгоритмы, примененные почти к одним и тем же начальным условиям, давали другие результаты.
Лоренц пришел к выводу, что система настолько чувствительна к начальным условиям, что даже небольшие различия в двоичном представлении чисел заставляют сделать абсолютно разные прогнозы. Сегодня известно, что предсказать погоду более чем за две недели невозможно, какой бы мощный компьютер мы ни использовали. Это явление будет подробнее рассмотрено в главе 5.
Изучение хаотических систем, как и проблема трех тел с взаимным притяжением, требует введения нового понятия — динамической системы. Введение динамических систем следует из уравнений Гамильтона, но эти системы могут использоваться в самых разных областях, от метеорологии до социологии. Динамические системы применяются в физике, но представляют собой не физическую теорию, а отрасль математики. Понять, как работают динамические системы, очень важно для возможности прогнозировать поведение газа, как будет видно в следующей главе.
Идея динамической системы появляется, если с новой точки зрения посмотреть на гамильтониан. Вспомним, что уравнения Гамильтона говорят нам, как изменяются импульсы и положения во времени, то есть при заданных начальных положении и импульсе мы можем сделать вывод о движении частицы для любого момента в будущем.
Возьмем очень маленький промежуток времени. Если мы знаем положение и импульс нашей частицы в определенный момент, то уравнения Гамильтона дадут нам положение и импульс этой частицы в последующий момент. Как только мы узнаем эти положение и импульс, мы снова можем применить уравнения Гамильтона, и так далее. То есть эти уравнения можно понимать как ряд инструкций для поиска клада: исходные положение и импульс показывают нам, где мы должны начинать искать.
На карте сказано: «Два шага вправо», — и мы двигаемся туда. В случае с частицей именно уравнения Гамильтона указывают нам, куда двигаться. Затем мы снова смотрим инструкции: «Два шага вперед», — и получаем наше новое положение, и так далее.
Это можно проиллюстрировать следующим образом.
Итак, уравнения Гамильтона — это серия инструкций для поиска следующей точки траектории при заданном начальном положении, только траектории живут не в привычном пространстве, а в фазовом, которое, как мы помним, включает в себя как положения, так и импульсы. Таким образом, уравнения Гамильтона — это просто правило для описания изменения определенной системы в каждый промежуток времени, если заданы начальные условия.
Теперь пойдем немного дальше. У нас есть два элемента: положение частицы в абстрактном пространстве из N измерений и правило для нахождения ее следующего положения. В нашем случае пространство — это пространство положений и импульсов, а правило задано уравнениями Гамильтона. Что произошло бы, если бы мы воспользовались другим правилом? И другим пространством? Мы бы получили другую систему, более общую, которая называется динамической системой.
Итак, динамическая система — это некое абстрактное пространство, также известное как фазовое пространство, и правило для получения следующего положения исходя из начального. Любая система, которую можно описать таким образом, — динамическая. Это необязательно должны быть физические системы: любой объект, развивающийся во времени, может быть описан как динамическая система. Все выводы, которые мы сможем сделать о динамических системах, будут справедливы для любой системы, которую можно выразить таким же образом. Поскольку количество проявлений, которые можно выразить как динамическую систему, огромно, мы получим мощную теорию с удивительно большим количеством видов применения. Даже человеческий мозг может быть смоделирован подобным образом: состояние каждого нейрона определяет положение в абстрактном пространстве, а правила взаимодействия между нейронами представляют изменение системы. Практически любой процесс, который подразумевает изменение во времени, может быть рассмотрен как динамическая система.