Некоторые динамические системы демонстрируют поведение, которое кажется стихийным, но это справедливо не всегда. Например, камень, брошенный ребенком, описывает параболическую траекторию, и его движение представляет собой динамическую систему, которая при этом полностью предсказуема. Даже динамические системы высокой сложности могут порождать очень простые модели. В целом хаотичное или нехаотичное поведение системы задано как законами, управляющими ею, так и начальными условиями движения.
Теория хаоса изучает динамические системы, поведение которых непредсказуемо, причем хаотичное поведение могут демонстрировать даже простые системы.
Рассмотрим функцию под названием логистическое отображение, которое описывает движение только в одном измерении, с единственной координатой х. Предположим, что мы начинаем с некоторого числа х: логистическое отображение дает нам правило для получения следующего х с помощью простых умножений и вычитаний.
Математическая формула для его нахождения следующая:
xn + 1 = r·xn·(1 — xn),
где r — некий параметр, который мы можем произвольно изменить.
Предположим, что мы берем r = 4 и начинаем с х1= 0,5. Тогда х2 равно:
х2 = 4·0,5·(1 – 0,5) = 1.
Следуя тому же правилу, х3 равно:
х3 = 4·1·(1 – 1) = 0.
И так далее.
Оказывается, что если выбирать значения r от 3,56995 до 4, то поведение логистического отображения оказывается непредсказуемым: малейшие изменения первого значения х порождают абсолютно разные значения последующих значений х. Это хаотическое поведение можно проиллюстрировать бифуркационной диаграммой, изображенной ниже, которая показывает возможные конечные значения х для каждого значения r. На диаграмме видно, как диапазон возможных значений х становится огромным при некотором значении r, а это признак хаотического поведения.
Изучение хаотических систем стало возможным благодаря прогрессу в вычислениях в последние десятилетия. Компьютерное моделирование позволило классифицировать все траектории системы и, следовательно, сделать качественный прогноз их поведения. Возможно, если бы в конце XIX века уже существовали компьютеры, изучение газовой динамики пошло бы по пути, сильно отличающемуся от того, который привел к развитию статистической механики. Однако ограниченные вычислительные возможности заставили физиков и математиков искать другие способы прогнозирования для объектов высокой сложности.
Изучение динамических систем — крайне актуальная область, необходимая для решения множества проблем, начиная от создания искусственного интеллекта до решения биологических задач. Идея состоит в том, чтобы смоделировать систему, развитие которой в абстрактном пространстве задано рядом правил. Затем изучаются различные возможные траектории развития и выводятся их общие характеристики.
Любой газ можно считать динамической системой. Его положение в фазовом пространстве определяется положениями и импульсами всех его частиц, а изменение его состояния определяется уравнениями Гамильтона. Теория динамических систем может быть применена для вывода некоторых общих характеристик поведения газов, к которым затем можно будет применить другие инструменты, такие как вероятность или статистика. При изучении газовой динамики нужно различать два режима газа: в состоянии равновесия или вне него. Анализировать газ в состоянии равновесия, то есть газ, состояние которого не меняется, относительно просто, и эта задача была решена Людвигом Больцманом (1844–1906) в конце XIX века без применения инструментов, связанных с динамическими системами. Его работу подробнее мы рассмотрим в главе 3. Проблема газа вне равновесия намного сложнее и до сих пор полностью не решена, хотя начиная с 70-х годов прошлого века в ее решении произошел значительный прогресс именно благодаря применению теории динамических систем. Более подробно об этом мы расскажем в главе 5.
Помимо изучения газов, динамические системы имеют очень широкое применение. Так, их можно использовать для описания заражения инфекционными заболеваниями. Используя координаты зараженной области в качестве точки фазового пространства и характеристики изучаемого вируса в качестве правил изменения, можно смоделировать следствия и, соответственно, предусмотреть некоторые профилактические меры. Различные траектории динамической системы показывают различные варианты развития заболеваемости, что позволяет выработать оптимальную стратегию преодоления инфекции.
Другой способ применения динамических систем связан с нейробиологией, где нелинейная природа процессов в нашем мозге превращает эти системы в инструмент, необходимый для изучения как индивидуального поведения нейронов, так и общей структуры мозга. Эти модели можно применять для построения новых моделей, что, в свою очередь, ведет к прогрессу в области создания искусственного интеллекта. Действительно, нейронные сети, используемые такими программами, как Siri или распознавание голоса от Google, могут рассматриваться как тип динамической системы. Более подробно они будут рассмотрены в главе 5.
Молекулярная биология также воспользовалась преимуществами, которые дают динамические системы при моделировании взаимодействия между протеинами или механизмов клеточной пролиферации. Очень интересный способ применения — это использование динамических систем для прогноза роста опухолей, что позволяет более точно определять размер и расположение новообразований, повысить эффективность лечения и избежать неприцельного использования рентгенотерапии. Также очень большую роль динамические системы сыграли в экологии, где они используются для описания поведения пищевых цепочек различных видов и для прогнозирования изобилия в определенных областях, а также для изучения эффекта введения в экосистему определенного числа хищников. Анализируя траектории изменения системы, можно установить сферу наименьшего поражения в каком-либо регионе или даже определить стратегии, позволяющие избежать вымирания вида и решить другие проблемы, связанные с окружающей средой.
В социальных науках особую пользу из теории динамических систем извлекает экономика. Бенуа Мандельброт (1924–2010) открыл, что цены на хлопок колеблются, следуя хаотической структуре, сходной на всех уровнях: то есть вне зависимости от периода времени, который берется в расчет, от десяти минут до десяти лет, цены на хлопок показывали один и тот же тип колебаний. Это типичная характеристика хаотических систем, что делает их подходящими для изучения подобных ситуаций.
Так же, как и в физике, многие математические инструменты, используемые для анализа развития экономики, связаны с состоянием равновесия — условием, необходимым для формулирования математически управляемой теории. Использование динамических систем позволяет ослабить это условие и работать с системами, меняющимися со временем.
Наконец, некоторым авторам, таким как Кэтрин Эннис, профессор кинезиологии в Мэрилендском университете, удалось использовать инструменты, основанные на динамических системах, для моделирования образовательного процесса.
Динамические системы применяются очень широко и постоянно появляются новые области их применения, особенно в сферах, традиционно мало связанных с математикой (например, в биологии). Во многих дисциплинах этот мощный инструмент сделал возможными количественные исследования там, где раньше существовало только качественное понимание. Наверняка в следующие десятилетия использование динамических систем еще более расширится, особенно в таких науках, как социология.
Динамические системы — идеальный пример того, как развивается математика: от описания физической системы она приходит к более абстрактной и общей формулировке, которая затем распространяется на большее количество областей, совсем не связанных с первоначальной сферой. Как мы увидим, история повторится и с остальными инструментами, необходимыми для изучения такого явления, как поведение газов.
Глава 3Как предсказать непредсказуемое
Газ — это агрегатное состояние, представляющее собой тысячи миллионов молекул, которые движутся хаотично. Поскольку каждая молекула подчиняется законам Ньютона и, соответственно, уравнениям Гамильтона, можно было бы рассчитать траекторию каждой из них. Но на практике это не так. Более того, в таких вычислениях нет необходимости, потому что при наблюдении газа невозможно увидеть отдельные молекулы. Что действительно можно измерить, так это его давление, температуру и объем. Следовательно, математическая теория, описывающая изменение этих трех характеристик, смогла бы с достаточной степенью точности описать и поведение газа.
Такая теория была разработана австрийским физиком Людвигом Больцманом в конце XIX века, когда он доказал, что макроскопические характеристики газа можно вывести исходя из распределения скоростей его молекул. То есть достаточно знать процент молекул газа с каждой возможной скоростью, чтобы предсказать его поведение. Работа Больцмана была направлена на то, чтобы найти это распределение скоростей для газа в состоянии равновесия, то есть газов, макроскопические свойства которых ощутимым образом не изменяются. Ученый открыл, что скорости молекул в газе распределяются следующим образом.
Газ с большим пиком слева соответствует большим температурам.
Чтобы сделать это, ему пришлось воспользоваться несколькими математическими теориями. Одни из них, такие как механика Гамильтона, были хорошо приняты в физическом сообществе, но другие, такие как вероятность и статистика, были совершенно новыми. Ниже мы опишем путь, который привел Больцмана к его закону и математическому обоснованию предыдущего графика.