. Таким образом, нам достаточно вычесть 2 из 997. Получается, что среднее расстояние между простыми числами от 1 до 1000 равно
Это в два с лишним раза больше, чем в случае, когда мы брали числовой ряд от 1 до 20.
Введем обозначение agap(N) для среднего расстояния между простыми числами от 1 до N. Тогда наши предыдущие расчеты могут быть записаны в таком виде:
Вычислим среднее расстояние между простыми числами от 1 до N, когда N равно 100, 1000, 10 000 и так далее до 1 000 000 000. И округлим результат до тысячных:
Легко заметить: когда N становится больше в десять раз, agap(N) возрастает примерно на 2,3.
Мы можем проиллюстрировать эту закономерность на графике. Будем отмечать число N по оси абсцисс и agap(N) по оси ординат. Масштаб по оси ординат оставим обычным, а по оси абсцисс разница между делениями пусть постоянно возрастает в 10 раз (это называется логарифмическая шкала):
Обратите внимание: звездочки выстроились почти в прямую линию. Если присмотреться, левый нижний конец нашей кривой слегка загибается вверх.
Если бы звездочки на графике в точности выстроились в линию, мы получили бы следующую формулу, включающую число Эйлера:
N = ea+ 1. (C)
Здесь а=agap(N) Скажем, если N = 1012, то agap(N) ≈ 26,59. Для выполнения (C) необходимо, чтобы a ≈ 26,63, и наш результат близок к этому числу.
Три главы были посвящены трем важным числам: π, i, e. Хотите верьте, хотите нет, но все они встречаются в одной формуле (которую вывел Эйлер):
eiπ+ 1 = 0.
Формула поражает невероятным изяществом и простотой, однако как можно возводить число в мнимую степень?!
Мы знаем, как возвести e в целую положительную степень. Например, e³ = e × e × e. Отрицательная степень – это произведение дробей: Дробные степени могут быть выражены через квадратные корни, кубические корни и т. д.: Можно посчитать даже такую жутковатую величину, как
Но eiπ не вписывается в эти стандарты. Нам нужен иной принцип[78].
Мы знаем, что e представляет собой сумму бесконечного ряда:
Для любого x значение ex будет:
Скажем, в случае x = –1 мы получим знакомый по казусу со шляпами ряд (B):
Чтобы узнать, чему равно eiπ, подставим iπ вместо x:
Чему равны числители дробей в этой сумме?
(iπ) ² = (iπ) × (iπ) = i² × π² = – π².
(iπ) ³ = i × i × i × π³ = –1 × i × π³ = –iπ³.
(iπ) ⁴ = i⁴ × π⁴ = π⁴.
(iπ) ⁵ = –iπ⁵.
(iπ) ⁶ = –π⁶.
(iπ) ⁷ = –iπ⁷.
(iπ) ⁸ = π⁸.
Элементы ряда поочередно оказываются то действительными, то мнимыми. Сгруппируем эти две категории элементов:
Оказывается, что выражение между первыми двумя скобками представляет собой в точности cos(π), то есть –1, а выражение между вторыми скобками равно sin(π), то есть 0. Таким образом,
eiπ = cos(π) + i sin(π) = –1 + 0i = –1.
Теперь мы понимаем, как возникла чудесная формула Эйлера.
Глава 8∞
«В бесконечность и дальше!» – таков был лозунг Базза Лайтера, бесстрашного космического рейнджера из мультфильма «История игрушек». Эта фраза вызывает смех, ибо абсурдна: куда уж дальше бесконечности? Если что-то бесконечно велико, то может ли существовать что-то большее? Такие вопросы кажутся безумными, и математики до поры до времени предпочитали их не задавать. Но в конце XIX века Георг Кантор[79] набрался смелости и стал искать ответ[80]. Интуиция подсказывает, что нет ничего больше бесконечности.
Оказывается, здесь интуиция нас подводит.
В математике все сложное объяснимо через простое. Если быть достаточно скрупулезным, то комплексные числа можно определить с помощью действительных, действительные – с помощью рациональных, рациональные – с помощью целых и т. д. Все здание математики покоится на фундаментальной концепции множества.
Множество – это просто набор объектов. Например, {1, 2, 5} – множество, состоящее из трех чисел[81]. Оно совпадает с множеством {1, 5, 2}, потому что порядок чисел в данном случае не важен. Кроме того, объект либо входит, либо не входит во множество. Входить во множество два раза нельзя. Множество {1, 1, 2, 5} совпадает с множеством {1, 2, 5}, второе появление числа 1 избыточно.
Если элемент входит в некоторое множество, математики используют значок ∈. Например, выражение 2∈ {1, 2, 5} следует понимать так: «Число 2 входит во множество, состоящие из чисел 1, 2, 5». Перечеркнутый значок показывает, что элемент не входит во множество; например: 3∉ {1, 2, 5}.
Число элементов, входящих во множество A, мы обозначаем |A|. Например, |{1, 2, 5}| = 3. Число |A| называют мощностью множества A.
Мощность такого рода множеств, как {1, 2, 5}, конечна. Однако мощность множества ℤ (все целые числа) бесконечна, как и мощность множества ℝ (все действительные числа).
Как сравнить размеры двух множеств? Простейший способ – пересчитать их элементы. Например, и у множества {1, 2, 5}, и у множества {3, 8, 11} мощность равна 3, стало быть, они равновелики.
Другой способ установить, что мощность множеств совпадает, – построить взаимно однозначное соответствие между их элементами[82]. Иными словами, нам не обязательно перебирать все элементы, достаточно ввести правило, по которому мы сопоставляем элемент из одного множества с каким-либо элементом из второго. Вот взаимно однозначное соответствие между множествами {1, 2, 5} и {3, 8, 11}:
1 ↔ 3,
2 ↔ 8,
5 ↔ 11.
Впрочем, когда элементов мало, поиски взаимно однозначного соответствия обременительны и не приносят большой пользы.
Разберем более запутанный пример. Представьте себе, что в некоторый клуб входит семь человек (для удобства будем называть их по номерам: 1, 2, 3, …, 7).
Клубу разрешили послать трех членов на ежегодную национальную конференцию. Есть много способов выбрать трех человек из семи. Пусть A – множество всех возможных групп по три человека:
A = {123, 124, 125, …, 567}.
Здесь мы под «123» подразумеваем, что на конференцию поедут члены клуба под номерами 1, 2 и 3.
На следующий год членов клуба оповещают, что они могут отправить на конференцию четырех человек. Пусть B – множество всех групп по четыре человека:
B = {1234, 1235, 1236, …, 4567}.
Итак, A – множество групп по три человека, B – множество групп по четыре человека.
Совпадают ли их мощности?
Если внимательно пересчитать все элементы, выяснится, что мощности этих множеств совпадают. Но выписывать все возможности одну за одной – нудная и не застрахованная от ошибок работа[83].
Гораздо проще показать, что эти множества равновелики, если найти взаимно однозначное соответствие между их элементами. В голову приходит следующая мысль. Допустим, члены клуба решают, что на вторую конференцию больше не поедут те, кто побывал там в первый год. Тогда каждую группу по три человека из первого множества можно сопоставить с другой группой по четыре человека из второго множества. Например, если 1, 4 и 5 поехали на конференцию в первый год, то на следующий год поедут 2, 3, 6 и 7. Или: 145 ↔ 2367.
Выпишем все возможности:
123 ↔ 4567
124 ↔ 3567
125 ↔ 3467
…
356 ↔ 1257
…
567 ↔ 1234
Это взаимно однозначное соответствие показывает, что A и B равновелики.
Вы можете выписать все элементы множеств полностью и убедиться, что их количество совпадает (хотя взаимно однозначное соответствие избавляет нас от этой нудной работы). Перечень всех элементов вы найдете в конце главы.
Подытожим: у нас есть два способа доказать, что конечные множества имеют равные мощности: пересчитать их элементы или найти между ними взаимно однозначное соответствие. Однако, если множество содержит бесконечно много элементов, первый метод перестает работать: ни одно число не подходит на роль мощности ℝ (множество действительных чисел). Таким образом, нам остается лишь найти взаимно однозначное соответствие, чтобы показать, что мощности двух бесконечных множеств совпадают. Вот пример.
Как мы помним, буквой ℤ обозначается множество целых чисел:
ℤ = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.
Введем обозначение ℤ+ для множества положительных целых чисел[84]:
ℤ+ = {1, 2, 3, 4, …}.
Совпадают ли мощности ℤ и ℤ+?
Есть искушение сказать, что ℤ содержит вдвое больше элементов, чем ℤ+ и потому «в два раза более бесконечно». Однако мощности данных множеств совпадают. Почему? Мы покажем это с помощью взаимно однозначного соответствия.
Составим два перечня. Первый будет включать все положительные целые числа, а второй – вообще все целые числа, и положительные, и отрицательные, но в необычном порядке. Сопоставляя числа в первом и втором перечне, мы выстроим взаимно однозначное соответствие. Это показано в таблице