Для начала: все не так с треугольниками. На евклидовой плоскости сумма углов треугольника равна 180° (мы доказали это обстоятельство в главе 13, однако опирались на постулат о параллельных прямых). На гиперболической плоскости сумма углов треугольника меньше 180°.
На евклидовой плоскости площадь треугольника может быть настолько большой, насколько мы того хотим. На гиперболической плоскости максимальная площадь треугольника не может превышать некоторой величины, и есть простая формула для подсчета площади. Если сумма углов треугольника равна s, площадь треугольника равна K × (180 – s), где K – определенное число[195]. В соответствии с этой формулой два разных треугольника с равными углами имеют равную площадь. В евклидовой геометрии это не так: скажем, треугольники с углами 35°, 60° и 80° имеют одну и ту же форму (другими словами, подобны), но не обязательно совпадают по размеру. На гиперболической плоскости два треугольника с углами 35°, 60° и 80° не просто совпадают по площади – они конгруэнтны!
Квадрат – это четырехугольник, в котором все углы равны 90°. Вот интересный факт о квадратах на гиперболической плоскости: их попросту не существует! На рисунке изображена фигура на гиперболической плоскости, у которой три угла равны 90°, а четвертый меньше 90°.
Почему прямоугольников здесь нет? Подумаем о четырехугольнике R на гиперболической плоскости. Рассечем его на две части по линии, соединяющей два противоположных угла. Получатся два треугольника. Сумма углов в каждом меньше 180°, поэтому сумма углов образованного ими четырехугольника меньше 360°. Следовательно, все четыре угла не могут быть равны 90°.
Можно замостить евклидову плоскость равносторонними треугольниками или шестиугольниками[196]. Однако нельзя замостить ее правильными пятиугольниками. Почему? Углы правильного пятиугольника равны 108°. Углы при общей вершине трех правильных пятиугольников дают в сумме 324°, что меньше полного угла. Остается зазор. Четыре правильных пятиугольника не могут иметь общую вершину, в противном случае углы при ней давали бы в сумме 432°, что превышает 360°.
В то же время углы правильного n-угольника на гиперболической плоскости зависят не только от n. Мы можем построить правильный пятиугольник, все углы которого равны 90° (посмотрите на иллюстрацию).
Углы при общей вершине четырех таких пятиугольников дают в сумме ровно 360°. Таким образом, ими можно замостить всю гиперболическую плоскость, как показано на рисунке.
Все пятиугольники на рисунке совпадают по размеру и по форме. Они выглядят все меньше и меньше, приближаясь к границе, но это всего лишь особенность изображения гиперболической плоскости. На самом деле все «паркетины» на иллюстрации абсолютно идентичны. Это правильные многоугольники с пятью углами по 90° каждый, и их можно плотно пригнать друг к другу[197].
Вот еще два примера замощения гиперболической плоскости для услаждения ваших глаз.
Часть IIIНеопределенность
Глава 19Нетранзитивные игральные кости[198]
Мир одержим выстраиванием рейтингов. Мы составляем рейтинги атлетов, спортивных команд, больниц, ресторанов, фильмов, поп-музыки, студентов, коллег, городов, работы, машин, и т. д., и т. д. Нам нравится знать «самое-самое» – то, что входит в «первую десятку».
Это все чепуха, забавная чепуха, но тем не менее. Среди прочего чепуха происходит от того, насколько субъективна методология оценки. Если определенный ресторан в вашем городе признан лучшим, это не обязательно ваш любимый ресторан. Ваши предпочтения могут отличаться от суждений ресторанных критиков, а их взгляды на один и тот же вопрос зачастую прямо противоположны.
Можно выбрать объективную систему оценивания и все равно получать ничтожные результаты: например, оценивать фильмы по сумме выручки от их проката – это объективно и поддается подсчету. Можно аргументировано доказать: чем лучше фильм, тем больше людей жаждут заплатить за то, чтобы увидеть его. Но бывает такое, что фильм, сорвавший кассу, навевает на вас скуку, а малобюджетный инди-фильм[199] западает в душу. Выручка от проката обычно говорит скорее о маркетинге, а не качестве картины.
Но, предположим, мы преодолели субъективность и достигли всеобщего соглашения относительно того, как сравнивать конкурентов. Попробуем выпарить идею ранжирования до ее математической сути. Улетучится ли тогда вся чепуха?
Сыграем в простую игру. Каждый бросит кубик, и у кого выпадет больше очков, тот выиграет. Если мы возьмем два обыкновенных кубика, где грани пронумерованы от одного до шести, то нет смысла говорить, что одна чем-то лучше другой. Они одинаковые.
Теперь сменим числа на гранях. Назовем наши игральные кости A и B.
Какая из них лучше, A или B? Какую вы предпочтете?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим все вероятности: как могут выпасть игральные кости? Если игральная кость A выпала числом 2 вверх, то для сравнения есть шесть вариантов того, как может выпасть игральная кость B. Если выпало число 3, вариантов для сравнения опять-таки шесть. Таким образом, есть 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 × 6 = 36 возможностей, и все они равновероятны. Иногда побеждает обладатель игральной кости A, иногда – обладатель игральной кости B (все числа на гранях разные, поэтому нет варианта сыграть раунд вничью). Кто выигрывает чаще?
Составим схему, включающую все 36 возможных комбинаций, где отмечено, кто выигрывает в каждом отдельном случае, A или B.
Становится очевидно, что игральная кость B лучше. В борьбе один на один B одолевает A чаще, чем наоборот. На схеме видно, что A побеждает в 15 случаях из 36, в то время как B – в 21 случае из 36.
Профессиональные игроки скажут, что шансы на победу A равны 15 против 21, а шансы на победу B равны 21 против 15. Вероятность того, что выиграет A, равна 15/36 (или 42 %), вероятность того, что выиграет B, равна 21/36 (или 58 %).
Как ни назови это преимущество, но B явно лучше A.
Добавим еще одну игральную кость. Внимание, появился новый соперник! Пусть на грани C нанесены числа, указанные на схеме.
C рьяно вызывает на бой B. Кости кидают, и побеждает та, где выпало наибольшее число. Какая из них лучше, B или C? Как и раньше, начертим схему и посмотрим, какая игральная кость имеет больше шансов на победу.
Мы видим, что C выигрывает гораздо чаще, чем B. Вероятность победы C равна 25/36 (около 69 %), в то время как B побеждает с вероятностью 11/36 (около 31 %).
В схватке один на один C лучше B, а B лучше A.
Значит, C лучше всех, верно?
Казалось бы, среди трех игральных костей A слабее всех, а C сильнее всех. Что будет, если C сразится с A? Разумеется, C победит?
Начертим снова схему всех возможностей:
Посмотрите! A лучше C. Игральная кость A выигрывает с вероятностью 21/36 (около 58 %), а C – с вероятностью 15/36 (около 42 %).
Мы пришли к трем ошарашивающим выводам:
– B лучше A;
– C лучше B;
– A лучше C.
Ни одну из игральных костей нельзя назвать «лучшей», и ранжировать их бессмысленно.
Сколько еще рейтингов в нашей жизни лишены смысла?
Вот еще несколько игральных костей для изучения; эту задачу придумал Брэдли Эфрон, профессор статистики в Стэнфорде.
Сравним четыре игральные кости. Проработайте варианты, когда № 1 противостоит № 2, № 2 противостоит № 3, № 3 противостоит № 4, и № 4 противостоит № 1. Какая игральная кость лучше в каждой схватке? Как вы их проранжируете?
Ответы – в конце главы.
Вы играете в покер? Говоря точнее, вы играете в техасский холдем[200]? Допустим, два человека играют в техасский холдем, и вы украдкой заглянули в их «карманные» карты. Пусть у первого на руках A♠K♥, а у второго 10♦9♦. У кого выше вероятность выиграть? У первого игрока карты большего достоинства, зато у второго игрока больше шансов на стрит[201] и флэш[202].
Нам необходима дополнительная информация о пяти общих картах, лежащих рубашкой вниз. В колоде осталось 48 карт из 52. Нам придется перебрать все варианты, какими могут быть перетасованы эти карты, чтобы выяснить, какие пять карт окажутся на столе и кто из двух игроков победит (или же оба сыграют вничью). Есть около двух миллионов комбинаций по 5 карт из 48 карт[203]. Нам не под силу провести все расчеты самостоятельно, поэтому прибегнем к помощи компьютера. Забейте в поисковик словосочетание «покерный калькулятор», и вы найдете уйму сайтов, где можно провести необходимые вычисления.
С помощью покерного калькулятора мы выясним, что игрок с «карманными» картами A♠K♥ побеждает с вероятностью 58,6 %, игрок с «карманными» картами 10♦9♦ побеждает в 41 % случаев, а 0,4 % остается на ничью.
Вывод: лучше иметь «карманные» карты A♠K♥, чем 10♦9♦.