А квадрат 30 (900) плюс квадрат 40 (1600) равен квадрату 50 (2500); то же верно и в случаях В, С. Легко проверить, что у данных трех треугольников одинаковые периметры. Сумма длин всех сторон равна в каждом случае 120.
Можете ли вы найти 6 рациональных прямоугольных треугольников с одинаковым (наименьшим из возможных) периметром? Эта задача не столь трудна, как головоломка «Четыре принца» из моей книги «Кентерберийские головоломки»[11], где требовалось найти четыре таких треугольника равной площади.
173. Потомство коровы. «Допустим, — сказал мой приятель фермер Ходж, — что моя корова в двухлетнем возрасте даст в приплод телку. Допустим также, что она будет приносить по телке каждый год и что каждая из телок, достигнув двухлетнего возраста, последует примеру матери и будет ежегодно приносить по телке и т. д. Скажи-ка теперь, каково будет потомство этой коровы через 25 лет?»
Из пояснений Ходжа явствовало, что время он отсчитывал со дня рождения самой первой коровы и что за все 25 лет у него не будет ни своей говядины, ни своей телятины.
174. Сумма, равная произведению.
— Подумать только, — сказал мне один человек, — существуют два числа, сумма которых равна их произведению; то есть получится одно и то же, сложите ли вы их или перемножите между собой. Это 2 и 2, так как их сумма и произведение равны 4.
Далее он допустил грубую ошибку, сказав:
— Я обнаружил, что это единственные два числа, обладающие таким свойством.
Я попросил его написать любое число, сколь угодно большое, и сказал, что немедленно укажу другое число так, чтобы их сумма и произведение совпадали. Ему понравилось 987 654 321, и я быстро написал второе число.
Какое именно?
Оказывается, для любого наперед заданного числа существует другое число, вместе с которым оно обладает указанной особенностью. Если читателю об этом не известно, то, быть может, данная задача его заинтересует и он сам попытается найти соответствующую закономерность.
175. Квадраты и кубы. Можете ли вы найти два числа, разность квадратов которых представляет собой куб, а разность кубов — квадрат? Каковы два наименьших числа, обладающих этим свойством?
176. Интересный куб. Чему равна (в метрах) длина ребра куба, у которого:
1) полная поверхность и объем выражаются одним и тем же числом;
2) полная поверхность равна квадрату объема;
3) квадрат полной поверхности равен объему?
177. «Общий делитель». Вот одна головоломка, которую часто задают мне читатели (разумеется, конкретные числа в ней приводятся разные). Корреспондент одной провинциальной газеты сообщил, что многие учителя подорвали свое здоровье в тщетных попытках ее решить! Наверное, он немного преувеличил, потому что вопрос на самом деле простой, правда, если догадаться, с какой стороны к нему подойти.
Он заключается в следующем. Найти число, при делении на которое три числа 480 608, 508 811 и 723 217 давали бы один и тот же остаток.
178. Странное умножение. Меня часто просили объяснить следующий факт, который, несомненно, заинтересует многих читателей, не знавших о нем ранее. Если некто правильно выполняет сложение, но не умеет ни умножать, ни делить на числа, большие 2, то, оказывается, он сможет получить произведение любых двух чисел следующим странным способом. Предположим, например, что требуется умножить 97 на 23. Составляем 2 столбца чисел:
Мы последовательно делим на 2 числа первого столбца, отбрасывая остаток, пока не получим 1, а числа второго столбца столько же раз умножаем на 2. Если вычеркнуть те произведения, которые стоят против четных чисел левого столбца (мы заключили их в скобки), и сложить оставшиеся, то получится правильный ответ: 2231.
Почему?
179. Забракованная пушка. Эту нехитрую головоломку из области артиллерийской техники вы, вероятно, решите не задумываясь. Она настолько проста, что понять ее может даже ребенок. Никаких сведений из области артиллерии для решения головоломки не требуется. Тем не менее кое-кому из моих читателей придется поразмыслить над ней минут пять.
Один изобретатель предложил новое большое орудие комитету, в задачу которого входило рассмотрение подобных вопросов. Изобретатель заявил, что, зарядив пушку один раз, можно сделать из нее 60 выстрелов со скоростью 1 выстрел в минуту. Провели испытания и обнаружили, что пушка делает 60 выстрелов в час. Однако изобретение было отклонено «ввиду несоответствия техническим данным, указанным в заявке».
— Какая нелепость! — возмутился изобретатель. — Вы же видели, что скорострельность пушки была именно такой, как я обещал.
— Ничего подобного, — возразили эксперты, — скорострельность была иной.
Не могли бы вы объяснить, в чем таинственная причина разногласий? Кто был прав, изобретатель или эксперты?
180. Двадцать вопросов. Я вспомнил одну старую игру, в которую часто играл еще в юности. Кто-нибудь загадывает что-нибудь определенное, например Большей Бен, молоток на парадной двери, бой часов в соседней комнате, верхнюю пуговицу на пиджаке приятеля или трубку мистера Болдуина. Вы должны установить, что было загадано, задав не более 20 вопросов, на каждый из которых можно отвечать лишь «да» или «нет».
Задавать вопросы следует осмотрительно, так как, спросив, например: «Это животное, растение или минерал?», вы можете получить неудовлетворительный ответ «да» и тем самым затратите один вопрос впустую. Опытный игрок в «20 вопросов» ошибается редко; мне известны чрезвычайно трудные случаи, когда решение все же удавалось найти именно при таком условии.
Недавно мне предложили один новый вариант этой игры, в котором требуется некоторая изобретательность, причем разные люди могут подойти к решению по-разному. Состоит игра в следующем. Я задумываю шестизначное число. Можно ли угадать его, задав лишь 20 вопросов, на которые я отвечу только «да» или «нет»? После двадцатого вопроса вы должны назвать это число.
181. Карточный фокус. Возьмите обычную колоду карт (всех валетов, дам и королей на этот раз будем считать десятками). Взглянув на верхнюю карту (пусть, к примеру, это будет семерка), положите ее на стол вверх рубашкой, после чего, продолжая считать вслух по порядку: «Восемь, девять, десять...» — и т. д. до 12, вы выкладываете поверх нее другие карты из колоды. Поскольку нижняя карта — семерка, на столе образуется стопка из 6 карт.
Взгляните еще раз на верхнюю карту оставшейся части колоды (пусть, например, это будет «бывшая королева» — теперь десятка), положите ее на стол вверх рубашкой и, продолжая считать по порядку до 12, выкладывайте при каждом счете на стол по одной карте из колоды. На Этот раз в стопке окажется 3 карты (10, 11, 12). Действуйте так до тех пор, пока вы не исчерпаете всю колоду. Если в конце раскладки карт в колоде для полной стопки (до счета 12) окажется недостаточно, отложите недостроенную стопку в сторону.
Сообщите теперь мне, сколько у вас получилось стопок и сколько карт вы отложили в сторону, и я тотчас же сообщу вам сумму значений нижних карт во всех стопках. Для этого я просто умножу на 13 число стопок, уменьшенное на 4, и прибавлю число отложенных в сторону карт. Например, если окажется 6 стопок и 5 лишних карт, то 13, умноженное на 2 (6 минус 4), плюс 5 равно 31, сумме нижних карт.
Почему так получается?
182. Драчливые дети. Один человек женился на вдове, и у каждого из них были дети от первого брака. Через 10 лет разыгралась битва, в которой приняли участие все дети (к тому времени их стало 12). Мать прибежала к отцу с криком:
— Иди скорее! Твои и мои дети бьют наших детей!
У каждого теперь было по 9 собственных детей.
Сколько детей родилось за эти 10 лет?
183. Дележ яблок. Пока Крэкхэмы заправляли свой автомобиль в одной живописной деревушке, 8 детей, направлявшихся в школу, остановились и стали наблюдать за ними. В корзине у детей было 32 яблока, которые они собирались продать. Тетушка Гертруда по доброте душевной купила все яблоки и сказала, что дети могут разделить их между собой.
Дора спросила у каждого, как его зовут, и вечером того же дня сказала (правда, кое-что усложнив): «Энн получила 1 яблоко, Мэри 2, Джейн 3 и Кэт 4. Нед Смит получил столько же яблок, сколько и его сестра, Том Браун получил яблок в 2 раза больше своей сестры, Бил Джонс — в 3 раза больше своей сестры и Джек Робинсон — в 4 раза больше своей сестры».
Ну-ка, кто из вас сумеет назвать фамилию каждой девочки?
184. Покупая резинку. Вот головоломка, которая по виду весьма напоминает некоторые старые головоломки, но требует совершенно иного подхода. Автор ее не известен.
Четыре матери (каждая со своей дочерью) пошли в магазин купить резинку. Каждая мать купила в 2 раза больше метров резинки, чем ее дочь, и каждая из них купила столько метров, сколько центов она платила за метр. Миссис Джонс истратила на 76 центов больше, чем миссис Уайт; Нора купила на 3 метра меньше резинки, чем миссис Браун; Глэдис купила на 2 метра больше резинки, чем Хильда, которая истратила на 48 центов меньше, чем миссис Смит.
Как зовут мать Мэри?
185. Квадраты и треугольные числа. Какое третье по величине число (наименьшее число считается первым) является одновременно и треугольным числом[12], и квадратом? Разумеется, первые два числа, обладающие указанным свойством, — это 1 и 36. Чему равно следующее число?
186. Точные квадраты. Найдите четыре числа, сумма каждой пары которых и сумма которых представляли бы собой точные квадраты.
187. Элементарная арифметика. Вот один вопрос, похожий на те, что были так популярны в Венеции (да и не только в ней) в середине XVI в. Своим появлением они во многом были обязаны Николе Фонтана, больше известному под именем Тарталья (заика).
Если бы четверть от двадцати равнялась четырем, то чему равнялась бы треть от десяти?