301. Начертите эллипс. Я думаю, что многие читатели знакомы со способом построения эллипса, о котором сейчас пойдет речь. Он весьма полезен, если вы хотите сделать рамку для портрета или разбить овальную клумбу. Вы вбиваете два гвоздя или две булавки (а если делаете клумбу — два колышка) и надеваете на них кольцо из нитки или веревки, как показано на рисунке (булавки прикреплены в точках А и В, а кончик карандаша С натягивает петлю из нитки). Если, не ослабляя нитки, вы обведете карандашом вокруг булавок, возвратив его в исходное положение, то кончик карандаша начертит правильный овал.
Некоторые считают, что этот метод не слишком удачен, поскольку начертить эллипс нужного размера удается после нескольких попыток. Однако это заблуждение, и небольшая головоломка состоит в том, чтобы выяснить, чему должны равняться расстояние между булавками и длина нити, чтобы получился эллипс, ну скажем, 12 см в длину и 8 см в ширину.
Не сумеете ли вы найти соответствующее простое правило, позволяющее строить эллипс заранее заданных размеров?
302. Задача каменщика. Некий владелец поместья договорился о строительстве каменной стены. Обнаружилось, что она частично шла по ровному месту, а частично по холму, как показано на рисунке, откуда видно, что расстояние от А до В совпадает с расстоянием от В до С. Подрядчик требовал, чтобы за ту часть стены, которая шла по холму, ему заплатили больше, чем за ту, что проходила по ровному месту, поскольку (так он во всяком случае считал) материалов на нее пошло больше. А заказчик, напротив, считал, что за эту часть стены следует заплатить меньше. Дискуссия была столь оживленной, что дело едва не дошло до суда.
Кто же из них был прав?
303. Ширина реки. Путник подошел к реке в точке А и захотел измерить расстояние до точки В. Как ему проще всего узнать ширину реки, не переплывая ее?
304. Пэт и его свинья. Вы видите на рисунке квадратное поле размером 100 × 100 м. Пэт и свинья, которую он хочет поймать, находятся в противоположных углах на расстоянии 100 м друг от друга. Свинья бежит прямо к калитке в левом верхнем углу. Так как Пэт бегает вдвое быстрее свиньи, то вы, вероятно, решите, что он первым успеет добежать до калитки, чтобы закрыть ее. Но надо знать Пэта: он все время бежит прямо на свинью, описывая при этом кривую линию.
Успеет убежать свинья или Пэт схватит ее? А если схватит, то какое расстояние она пробежит к тому времени?
305. Лестница. Однажды, только зашел разговор о лестнице, которая требовалась для каких-то домашних нужд, как профессор Рэкбрейн внезапно прервал дискуссию, предложив ее участникам маленькую головоломку:
— Лестница стоит вертикально у высокой стены дома. Кто-то оттаскивает ее за нижний конец на 4 м от стены. Оказывается, что верхний конец лестницы опустился на ⅕ её длины.
Чему равна длина лестницы?
306. Громоотвод. Порывом сильного ветра сломало шест громоотвода, так что его верхушка ударилась о землю на расстоянии 20 м от основания шеста. Шест починили, но он вновь сломался под порывом ветра на 5 м ниже, чем раньше, и ударился верхушкой о землю на расстоянии 30 м от основания.
Какова высота шеста? В обоих случаях сломанная часть шеста не отрывалась полностью от остальной его части.
307. Веревка. Веревка спускается с потолка, касаясь пола. Если, сохраняя веревку в натянутом состоянии, коснуться ею стены, конец веревки окажется на расстоянии 3 см от пола. Расстояние же от свободно свисающей веревки до стены 48 см.
Какова длина веревки?
308. Гонец. Гонец (см. рисунок) как можно скорее должен доставить депешу в место, отмеченное палаткой. Расстояния указаны. Известно, что по мягкому торфу (заштрихованная часть) гонец скачет в два раза быстрее, чем по песку.
Не могли бы вы указать гонцу правильный путь? Это как раз одна из тех практических задач, с которыми постоянно сталкиваются в армейской обстановке. От того, какой путь выберет гонец, может зависеть очень многое.
Как бы вы поступили на его месте? Разумеется, торфяник и участок с песчаным грунтом везде имеют одинаковую ширину, так что в этой головоломке нет подвоха.
309. Шесть подводных лодок. Читатели, быть может, помнят головоломку, в которой требовалось расположить 5 одинаковых монет так, чтобы каждая касалась всех остальных. Один читатель предположил, что то же можно сделать и с шестью монетами, если мы расположим их так, как показано на рисунке, то есть с А, В и С в форме треугольника и с D, Е и F поверх А, В и С. Он считал, что если рассечь монеты по линии XY (см. нижнюю часть рисунка), то Е и С, а также В и F сойдутся в «математической точке» и, следовательно, коснутся друг друга. Но он не прав, так как если Е касается С, то они тем самым образуют барьер между В и F. Если же В касается F, то Е не может коснуться С.
Думаю, что это небольшое заблуждение заинтересует многих читателей. Когда мы говорим, что несколько предметов соединяются друг с другом в некоторой точке (как спицы колеса), то всего лишь три из них могут касаться друг друга (каждый каждого), находясь в одной плоскости.
Это навело меня на мысль предложить следующую «задачу о касании». Если 5 подводных лодок затонуло в один день в одном и том же месте, где до них затонула еще одна лодка, как они могут лечь на дно, чтобы каждая из шести лодок касалась всех остальных? Дабы упростить задачу, мы вместо лодок возьмем 6 спичек и расположим их так, чтобы каждая спичка касалась всех остальных. Спички нельзя ни сгибать, ни ломать.
310. Короткая веревка. Одна леди оказалась в затруднительном положении: ей хотелось отправить посылку сыну, а веревки у нее было всего 3 м 60 см, если не считать узлов! Веревка должна один раз охватывать посылку вдоль и два раза поперек (см. рисунок).
Какую наибольшую посылку в форме прямоугольного параллелепипеда она сможет отправить при таких условиях?
311. Гранитный пьедестал. При сооружении квадратного фундамента и кубического пьедестала для памятника были использованы гранитные кубические блоки размером 1 × 1 м. На пьедестал пошло ровно столько блоков, сколько и на квадратный фундамент, в центре которого он стоял, причем все блоки использовались целиком, нераспиленными.
Взгляните на рисунок и попытайтесь определить общее число использованных блоков. Фундамент имеет толщину в один блок.
312. Парадокс с кубом. У меня было два сплошных свинцовых куба, причем один из них чуть-чуть больше другого (см. рисунок). В одном кубе я проделал дырку таким образом, чтобы второй куб мог в нее пройти. Взвесив затем оба куба, я обнаружил, что больший куб все еще тяжелее меньшего! Как это могло получиться?
313. Картонная коробка. Читатель, наверное, замечал, что есть много задач и вопросов, ответ на которые, казалось бы, должен быть известен уже многим поколениям до нас, но которые, однако, никогда, по-видимому, даже и не рассматривались. Вот один пример такой задачи, пришедший мне на ум.
Допустим, у меня имеется закрытая картонная коробка в форме куба. Разрезав ее бритвой вдоль 7 из 12 ребер (их обязательно должно быть 7), я сумею развернуть коробку на плоскость, причем развертка может принять разные формы. Так, если я проведу бритвой вдоль ребер, показанных на рисунке жирной линией, и по невидимому ребру, обозначенному пунктиром, то получу развертку А. Разрезав коробку иначе, можно получить развертку В или С. Нетрудно заметить, что развертка D есть просто перевернутая развертка С, поэтому такие две развертки мы считаем тождественными.
Сколько всего различных разверток можно получить таким образом?
314. Венский крендель. На рисунке изображен фигурный венский крендель. Узел, похожий на свернутые свиные хвостики, служит только украшением. Этот крендель обречен на то, что его либо разрежут, либо разломят; но вот интересно, на сколько частей?
Допустим, перед вами на столе лежит этот крендель. На какое максимальное число частей вы. сможете его разрезать одним прямым взмахом ножа? В каком направлении следует провести этот разрез?
315. Разрежьте сыр. Вот один простой вопрос, на который можно получить правильный ответ, подумав всего лишь несколько секунд. У меня есть кусок сыра в форме куба. Как мне следует провести один прямой разрез ножом, чтобы две новые грани оказались правильными шестиугольниками?
Разумеется, если мы разрежем сыр в направлении пунктирной линии на рисунке, то получим два квадрата. Попробуйте получить шестиугольники.
316. Путешествие мухи. Муха, отправляясь из точки А, может обойти четыре стороны основания куба за 4 мин. За какое время она доберется из А в противоположную вершину В?
317. Головоломка с баком. Площадь дна бака равна 6 м2, глубина воды в нем 75 см.
1. На сколько поднимется уровень воды, если в бак поместить куб с ребром 1 м?
2. На сколько еще поднимется уровень воды, если рядом с первым поместить второй такой же куб?
318. Головоломка с нугой. Кусок нуги имеет в длину 16 см, в ширину 8 и в толщину 7½ см.
Какое наибольшее число кусков размером 5 × 3 × 2½ см можно из него вырезать?
319. Задача с пасхальными яйцами. Однажды профессор Рэкбрейн спросил:
— Если у меня имеется одно пасхальное яйцо длиной ровно 3 дюйма и три других яйца, содержимое которых вместе равно содержимому большего яйца, то какова длина каждого из трех меньших яиц?
320. Головоломка с подставкой. Один эксцентричный человек попросил мастера выточить из деревянного бруса размером 30 × 10 × 10 см подставку. При этом рассчитываться он предпочел за каждый удаленный кубический сантиметр дерева. Сообразительный мастер взвесил брус и обнаружил, что тот весит 3 кг. После того как подставка была готова, он ее тоже взвесил и нашел, что она весит 2 кг. Поскольку в первоначальном брусе было 3 дм