412. Дорожная инспекция. Отправляясь из города А, инспектор должен проверить состояние всех дорог между населенными пунктами, обозначенными на схеме буквами. Длина каждой из этих дорог равна 13, 12 и 5 км, как показано на схеме.
Каким наикратчайшим путем следует двигаться инспектору, если он может закончить путь в любой заранее выбранной точке?
413. Железнодорожные маршруты. На рисунке показана упрощенная схема железнодорожных путей. Мы хотим узнать, сколькими различными путями можно проехать от А до Е, не проезжая дважды по одному и тому же участку при любом маршруте.
Вопрос очень прост. Однако ответить на него практически невозможно, пока вы не придумаете некий метод, позволяющий записывать все маршруты. Дело в том, что существует слишком много маршрутов, от короткого ABDE, содержащего одну большую дугу, до длинного ABCDBCDBCDE, включающего каждый участок нашей системы и допускающего разнообразные вариации.
Сколько всего существует различных маршрутов?
414. Путь автомобиля. Автомобилист отправляется из города А и хочет проехать по каждой из дорог, показанных на рисунке, один и только один раз.
Сколько существует различных маршрутов, на которых он может остановить свой выбор? Тут есть над чем поломать голову, пока вы не изобретете какой-нибудь остроумный метод. Каждый маршрут должен закончиться в городе А, из которого вы стартовали, и ехать вы должны из одного города в другой прямо, не сворачивая на перекрестках дорог.
415. Путешествие миссис Симпер. На рисунке изображена упрощенная схема маршрута, по которому моя приятельница миссис Симпер собирается путешествовать следующей осенью. Можно заметить, что на схеме представлено 20 городов, соединенных между собой железнодорожными линиями. Миссис Симпер живет в городе A и хочет посетить все остальные города только по одному разу, возвратившись в конце домой.
Читателю, наверное, будет небезынтересно узнать, что миссис Симпер может выбрать любой из 60 маршрутов, если считать разными маршруты, отличающиеся лишь направлением. Между N и О, а также между R и S дорога проходит через тоннель, но, как истая леди, миссис Симпер категорически против езды по тоннелям. Ей хотелось бы также отложить свой визит в D на возможно более поздний срок, чтобы иметь удовольствие встретиться со своей старой приятельницей, живущей в этом городе.
Головоломка состоит в том, чтобы при данных обстоятельствах указать миссис Симпер наилучший маршрут.
416. Шестнадцать прямолинейных участков. Один торговый агент отправился на своем автомобиле из точки, указанной на рисунке, решив проделать путь 76 км, который состоит из 16 прямолинейных участков, ни разу не проехав при этом по одному и тому же участку дважды. Точки обозначают населенные пункты, расположенные через 1 км друг от друга, линии — избранный нашим агентом маршрут. Агент выполнил задуманное, но при этом 6 населенных пунктов остались в стороне от его пути.
Не могли бы вы указать лучший маршрут, при котором, проделав путь 76 км, состоящий из 16 прямых участков, агент посетил бы все пункты, кроме трех?
417. Составьте маршруты. На рисунке изображена схема (весьма упрощенная, разумеется) некоторого района. Кружочками обозначены населенные пункты, а прямыми — соединяющие их дороги.
Не могли бы вы указать, каким образом 5 автомобилистов могут проехать соответственно из А в А, из В в В, из С в С, из D в D и из Е в Е таким образом, чтобы их пути не содержали общих участков и даже не пересекались между собой?
Возьмите карандаш и нарисуйте 5 искомых маршрутов; при этом вам, вероятно, придется немного поломать голову. Разумеется, не важно, в каком из двух городов, обозначенных одинаковыми буквами, начинается, а в каком заканчивается данный маршрут, так как нас интересует лишь вопрос, по каким дорогам он пролегает. Обратите внимание, что если вы отправитесь из А в А, следуя по вертикали вниз, то загородите дорогу всем остальным автомобилям, кроме идущего из В в В, поскольку, конечно, все автомобили обязаны двигаться лишь по тем дорогам, которые изображены на схеме.
418. Мадам. Сколькими различными способами можно прочитать на нашем рисунке слово MADAM? Вы можете двигаться, как вам заблагорассудится, — вверх и вниз, вперед и назад по любой из открытых дорожек. Однако каждая следующая буква должна находиться рядом с предыдущей. Перескакивать через букву запрещается.
419. Треугольники в круге. Вот одна небольшая головоломка, которая потребует от вас терпения и решимости довести дело до конца. Вам предлагается нарисовать круг и треугольники, изображенные на рисунке, с помощью наименьшего числа росчерков[22] карандаша. При этом разрешается дважды проходить по одной и той же линии, а также в любом месте начинать и заканчивать рисунок.
420. Сиамская змея. Условия этой головоломки чрезвычайно просты.
Нарисуйте возможно больший «кусок змеи» (см. рисунок) одной непрерывной линией. Начинайте и кончайте, где хотите, следите лишь за тем, чтобы карандаш не отрывался от бумаги и не проходил дважды по одной и той же линии.
Возможно, какой-нибудь искушенный читатель захочет обойти наши условия, сказав, что один раз он проводит карандаш по данному месту, чертя линию в полширины, а второй раз еще в полширины; но ему следует напомнить, что линия ширины не имеет.
421. Виноградная гроздь. Перед вами довольно грубое изображение виноградной грозди. Головоломка состоит в том, чтобы повторить этот рисунок, не отрывая карандаша от бумаги и не проходя по одному и тому же участку дважды. Возможно, вам придется сделать ряд проб, прежде чем вы натолкнетесь на идею общего метода.
422. «Классики». Мы часто видим, как дети играют в древнюю и повсюду популярную игру «классики». При одной из разновидностей этой игры на земле рисуется изображенная здесь фигура. Мы хотим узнать, можно ли ее нарисовать с помощью одной непрерывной линии. Оказывается, что это возможно.
Сумеет ли читатель нарисовать такую фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и не проходя дважды по одной и той же линии? Кривая линия обычно не используется в игре, но мы ее добавили, чтобы сделать головоломку интереснее.
423. Коварная головоломка. Один неразборчивый в средствах делец предложил 100 долларов за правильное решение следующей головоломки. Узник, приговоренный к пожизненному заключению, обратился к королю с просьбой о помиловании. Не желая оказать ему эту милость, но и не ответив отказом, король предложил помиловать узника, если тот, отправляясь из камеры А, побывает в каждой камере тюрьмы и возвратится опять в А, не заходя дважды ни в одну из камер. Сам делец либо не располагал решением головоломки, либо намеревался выйти из положения с помощью какого-нибудь трюка.
Какой наилучший ответ мог бы предложить читатель, чтобы выполнить условия головоломки как можно точнее?
424. Посадка деревьев. Один человек посадил 13 деревьев так, как показано на рисунке. В результате у него получилось 8 рядов, по 4 дерева в каждом. Однако ему не нравилось, как посажено второе дерево в горизонтальном ряду. Свои чувства по этому поводу он сформулировал довольно туманно, сказав, что «оно отлынивает там от работы и вообще ведет себя как изрядный лентяй». Второе дерево в горизонтальном ряду действительно было «из ряда вон выходящим», поскольку его единственное назначение состояло в том, чтобы заполнить второй ряд. Поэтому человек решил пересадить деревья получше и через некоторое время обнаружил, что сможет посадить их в 9 рядов, по 4 дерева в каждом.
Может ли читатель показать, как это делается?
425. Двадцать монет. Если 16 одинаковых монет расположить в виде квадрата, то в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух больших диагоналей будет находиться одинаковое число монет.
Нельзя ли сделать то же самое с 20 монетами?
426. Пересадка деревьев. У одного человека была плантация из 22 деревьев, посаженных так, как показано на рисунке.
Каким образом ему следовало пересадить 6 из них, чтобы они образовали 20 рядов по 4 дерева в каждом?
427. Головоломка с колышками. На рисунке изображена квадратная доска из красного дерева с 49 отверстиями. В 10 отверстий вставлено 10 колышков.
Головоломка состоит в том, чтобы переставить 10 колышков в другие отверстия так, чтобы всего получилось 5 рядов колышков по 4 колышка в каждом.
Какие 3 колышка следует переместить и куда?
428. Пять прямых с четырьмя фишками. На рисунке показано, как можно расположить 10 фишек в точках пересечения сплошных линий, чтобы они при этом оказались лежащими на 5 прямых (отмеченных пунктиром) по 4 фишки на каждой.
Можете ли вы найти второе решение?
Разумеется, решение, которое можно получить из данного при отражении, не считается отличным от исходного. Требуется найти совершенно новую схему расстановки фишек и, разумеется, не увеличивать размеры «клетчатого участка».
429. Порядок боевых кораблей. Боевые корабли встали на якорь, как показано на рисунке. Головоломка состоит в том, чтобы передвинуть 4 корабля на новые позиции (оставив остальные там, где они стоят) так, чтобы все 10 кораблей образовали 5 прямых по 4 корабля на каждой.
Как должен поступить адмирал?
430. Головоломка с созвездием. Группу звезд, изображенную на рисунке, очень трудно обнаружить в самую ясную ночь по той простой причине, что она... невидима. 21 звезда этого созвездия образует 7 прямых по 5 звезд на каждой.
Не могли бы вы изменить расположение звезд так, чтобы они образовали 11 прямых по 5 звезд на каждой? Существует много решений этой головоломки. Попытайтесь найти симметричное.