516. Запутанные ножницы. Вот одна старая головоломка, которую многие читатели, забывшие, как надевается веревка, будут рады увидеть вновь. Если вы начнете с нижней петли (см. рисунок), то сумеете легко надеть веревку так, как нужно. Головоломка, разумеется, состоит в том, чтобы, дав кому-нибудь подержать свободные концы, освободить ножницы. Чтобы вам было легче манипулировать, возьмите веревку подлиннее. Мы посоветовали бы также взять ножницы побольше, а веревку потолще, чтобы она лучше скользила.
517. Психологические тесты. В наше время повсюду в школах ученикам предлагают «психологические тесты». Вот один из них.
Английский офицер, вернувшийся после боксерского восстания из Китая, заснул в церкви во время службы. Ему приснилось, что к нему приближается палач, дабы отрубить голову, и в тот самый момент, как сабля опускалась на шею несчастного офицера, его жена, желая разбудить заснувшего, слегка дотронулась до его шеи веером. Потрясение было столь велико, что офицер тут же упал замертво. В этой истории что-то неладно.
Что же именно?
Еще один хороший вопрос для школьника, знакомого с математикой, звучит так.
Если бы мы продавали яблоки кубическими сантиметрами, то как бы мы смогли узнать, сколько кубических сантиметров содержится, скажем, в дюжине дюжин яблок?
518. На вершине горы. Профессор Рэкбрейн рассказал за завтраком, что когда он был в Италии, то участвовал в восхождении на вершину горы, где его внимание обратили на то обстоятельство, что кружка вмещает на вершине горы жидкости меньше, чем у подножия.
— Не могли бы вы сказать, — спросил профессор, — что это была за гора с таким странным свойством?
519. Арифметика Купидона. Однажды утром Дора Крэкхэм показала присутствующим листок бумаги с мешаниной цифр и знаков на нем, изображенный на рисунке. Она утверждала, что невеста одного из молодых математиков преподнесла такой листок своему суженому, когда была в игривом настроении.
— Что я должен с ним сделать? — спросил Джордж.
— Просто отгадай, что на нем написано, — ответила Дора. — Если на него посмотреть должным образом, то расшифровать надпись будет нетрудно.
520. Танграмы. Читателям, быть может, будет приятно получить коллекцию поразительно реалистичных фигур и картинок, которые представляют собой комбинации из удивительных кусочков — танграмов. Вы видите квадрат, разрезанный на 7 кусков. Если вы отметите точку В посредине между А и С на стороне произвольного квадрата, a D посредине между С и Е на прилежащей стороне, то направление разрезов станет очевидным. В случаях, приведенных на помещенных здесь рисунках, использовано два полных комплекта по 7 кусочков в каждом.
В случае 2 изображен велосипедист, 3 представляет собой человека, толкающего тачку, 4 — мальчика на ослике, 5 — машину, 6 — дом, 7 — собаку, 8 — лошадь, 9 — британского льва.
Как нетрудно заметить, возможности таких двух комплектов безграничны, и с их помощью удается с успехом изобразить много интересных предметов.
Ответы
1. Чек был выписан на сумму 31 доллар 63 цента. Человек получил 63 доллара 31 цент. После утери пятицентовой монетки осталось 63 доллара 26 центов, что в два раза превышает сумму, указанную в чеке.
2. Когда человек вошел в магазин, у него было с собой 99 долларов 98 центов.
3. Наибольшая сумма равна 1 доллару 19 центам и составлена из одной монеты в полдоллара, одной монеты в четверть доллара, четырех монет по 10 центов и четырех монет по 1 центу.
4. Сначала просителей было 20 человек и каждый получил по 6 долларов. Пятнадцать человек (на 5 человек меньше) получили бы по 8 долларов каждый. Но их стало 24 (возросло на четыре человека), и каждый получил только по 5 долларов. Сумма еженедельного пожертвования составляет, таким образом, 120 долларов.
5. Группа детей состояла из трех мальчиков и трех девочек. Каждый ребенок получил по две булочки третьего сорта и по одной булочке второго сорта, общая стоимость всех булочек и составляет 7 центов.
6. Вилли-Лежебока проработал 16⅔ дня и прогулял 13⅛ дня. Сумма, которую он получил за проработанное время (из расчета 8 долларов в день), точно совпадает с той суммой, которую он выплатил за прогулы (из расчета 10 долларов в день).
7. Десять мешков должны содержать соответственно 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 и 489 однодолларовых купюр. Первые девять чисел составляют геометрическую прогрессию. Если сумму этой прогрессии вычесть из 1000, то получится содержимое десятого мешка.
8. У игроков А, В, С, D, E, F и G перед началом игры было соответственно 4 доллара 49 центов, 2 доллара 25 центов, 1 доллар 13 центов, 57 центов, 29 центов, 15 центов и 8 центов. Ответ можно получить, двигаясь от конца задачи к началу, однако более простой способ таков: 7 + 1 = 8; 2 × 7 + 1 = 15; 4 × 7 + 1 = 29 и т. д. (первые сомножители представляют собой последовательные степени двойки, то есть числа 2, 4, 8, 16, 32 и 64).
9. Абрахам (А) должен получить треть всей суммы, а Бенджамин (Б) — две трети. Пусть, например, Б может выкопать канаву за 2 ч и выбросить весь грунт за 4 ч. Тогда А выкапывает канаву за 4 ч и выбрасывает весь грунт за 8 ч. Следовательно, при рытье канавы их силы относятся, как 2 к 4, а при выбрасывании грунта — как 4 к 8 (то есть отношение сил остается неизменным). При этом А может выкопать канаву за то же время, за которое Б может выбросить весь грунт (4 ч), а Б может выкопать канаву за четвертую часть того времени, которое А тратит на выбрасывание грунта. Любые другие конкретные числа, удовлетворяющие условиям задачи, приведут к двум аналогичным отношениям сил обоих землекопов. Следовательно, Абрахаму причитается треть всей суммы, а Бенджамину — в два раза больше, то есть две трети.
10. Кэтрин, Джейн и Мери получили соответственно 122, 132 и 142 доллара, что как раз вместе и составляет общую сумму их доли наследства 396 долларов. По условию задачи Джон Смит получает столько же, сколько и его жена Кэтрин (122 доллара), Генри Снукс — в полтора раза больше своей жены Джейн (198 долларов), а Том Кроу — в два раза больше своей жены Мери (284 доллара), поэтому общая сумма наследства равна 1000 долларов. Следовательно, имена жен указаны верно.
11. Фермер купил 19 коров за 950 долларов, 1 овцу за 10 долларов и 80 кроликов за 40 долларов, что составляет в совокупности 100 голов общей стоимостью в 1000 долларов. Арифметически задачу нетрудно решить с помощью метода средних: средняя стоимость одной головы скота та же, что и стоимость одной овцы.
Алгебраически задачу можно решить следующим образом. Поскольку x + y + z = 100, то ½x + ½y + ½z = 50.
| 50x + 10y + ½z | = | 1000 |
| - | ||
| ½x + ½y + ½z | = | 50 |
| 49½ + 9½y | = | 950 |
(цены даются в долларах), или 99x + 19y = 1900. Итак, задача сводится к решению неопределенного уравнения. Единственный[28] набор x и y, удовлетворяющий этому уравнению, имеет вид x = 19, y = 1. Чтобы общее число голов равнялось 100, z должно быть равно 80.
12. Все семь торговок продавали яблоки по 1 центу за 7 штук: в тех случаях, когда оставшихся яблок оказывалось менее семи, их придавали по 3 цента за штуку. Таким образом, каждая торговка выручила по 20 центов. Не оспаривая ни в коей мере остроумия этой задачи, я всегда считал ее решение неудовлетворительным из-за его неопределенности, даже если допустить, что при таком эксцентричном способе торговли можно в полном смысле слова говорить о единой «цене» на яблоки. С тем же успехом мы могли бы считать, что торговки продают яблоки по одной цене, но с разными скидками; продают яблоки разных сортов по разным ценам; продают по одной цене за корзину, продают на вес, в то время как яблоки имеют разную величину, сбавляют цену с менее свежих яблок и т. д.
В общем случае можно сказать, что п торговок, у которых имеется соответственно na + (n - 1), n(a + b) + (n- 2), n(a + 2b) + (n- 3), ..., n[a + b(n- 1)] яблок, могут продавать их кучками по n штук на 1 цент, а оставшиеся яблоки — по b центов за штуку, причем каждая из торговок получит выручку в a + b(n - 1) центов. В случае нашей задачи a = 2, b = 3, n = 7.
13. Старший сын получил в наследство 55 долларов, средний — 275, младший — 385 и госпиталю была завещана сумма 605 долларов, что вместе составляет 1320 долларов.
14. В наследство оставлено 1464 доллара (немного меньше чем 1500). Доли каждого из пяти детей равны соответственно 1296, 72, 38, 34 и 18 долларам. Гонорар нотариуса составляет 6 долларов.
15. Доли Альфреда и Бенджамина равны соответственно 24 и 76 долларам. Действительно, если 8 (одна треть от 24) вычесть из 19 (одна четверть от 76), то останется 11.
16. Сумма 2500 долларов, которую внес в дело Роджерс, очевидно, составляет третью часть всего капитала, который, таким образом, до его вступления в долю равнялся 7500 долларам. Следовательно, пай Смага составлял 4500 долларов (в 1½ раза больше, чем пай Вильямсона), а пай Вильямсона — 3000 долларов. Поскольку их паи должны стать одинаковыми, Смаг получит из взноса Роджерса 2000 долларов, а Вильямсон — 500 долларов.
17. У Томкинса, когда он вышел из дому, было с собой 2 доллара 10 центов.
18. Наименьшая сумма (в центах), которая могла быть у одного из участников вечера, должна на единицу превышать число участников. Суммы, принадлежащие остальным участникам, можно найти последовательным удвоением и вычитанием 1. Следовательно, мы получим 10, 19, 37, 73, 145, 289, 577, 1153 и 2305 центов. Пусть тот, у кого больше всего денег, начинает первым. Тогда в конце у каждого участника останется по 2