Теперь совместим найденные направления главных напряжений с направлениями кольцевых напряжений (аналогично тому, как в сопротивлении материалов это производится при изгибе балки [18]):
Как видно из рисунка, направления главных напряжений не совпадают с направлениями кольцевых напряжений. И кольцевые напряжения не являются главными напряжениями.
__
В теории упругости поднимается вопрос о нахождении напряжений по любым площадкам внутри кубического элемента. Площадку с кольцевым напряжением в качестве такой произвольной площадки под произвольным углом рассматривать нельзя.
Против приведенных данных возражение на основании [22,с.96] не выдерживает критики. В этой работе в рассмотрении условий пластичности для плоского напряженного состояния (а стенка не в плоском напряженном состоянии по третьей теории прочности) написано следующее:
«… главные оси тензора напряжений для плоского напряженного состояния обозначим через ξ и η.» и далее «… напряжения и будут отождествляться с , или .».
Эта запись означает, что оси ξ и η являются главными осями – осями главного тензора напряжений. А для главного тензора напряжений, главные напряжения в теории упругости в зависимости от величины обозначаются , или . И действительно, будет тождество на том основании, что те же самые оси и те же самые напряжения, на с другим обозначением.
__
В точку ни сегмент, ни кубически элемент не стягивается. Так как эти два твердых тела имеют минимальные размеры, но такие, чтобы обеспечивалось условие сплошности среды, то есть надмолекулярные размеры. Оппонировать с введением пределов «lim» и приравниванием главных напряжений к кольцевым является некорректным.
Также отметим, что кубический элемент сплошной среды находится в равновесии так как касательные напряжения по граням создают относительно ребер куба равные крутящие моменты. Равенство моментов происходит за счет равенства площадей граней куба. А у сегмента площади верхних сторон и боковых отличаются. Следовательно, сегмент в отличии от куба не может находится в равновесном состоянии.
Оценка прочности МКЭ имеет большее теоретическое обоснование.
__
Приведенные данные по определению направлений главных напряжений имеют второе значение по сравнению с ошибкой в осесимметричной задачи теории упругости. Эта ошибка будет показана ниже.
4.4 Выводы. Обоснование приоритета МКЭ
1. Теория упругости имеет большее обоснование по сравнению с выведенной из неё теорией тонких оболочек и расчет аппаратов необходимо проводить в рамках теории упругости.
2. Пространственная задача теории упругости на сегодняшний момент времени выглядит обоснованнее осесимметричной задачи теории упругости.
3. Поэтому расчеты МКЭ необходимо выполнять с пространственными конечными элементами с математическим аппаратом трехмерной задачи теории упругости. Корпус аппарата должен рассматриваться как трехмерное тело.
4. МКЭ в сравнении с нормативной методикой позволяет получить более точные и обоснованные результаты для оценки конструкции аппарата.
5. Представление данных результатов по МКЭ в виде цветной диаграммы детализировано показывает напряженное состояние во всех частях конструкции и является в настоящий момент наиболее наглядным инструментом.
6. По МКЭ можно выполнять расчет на прочность, жесткость, колебания аппарата, т.е. на все виды нормативных нагрузок, а также расчет ползучести металла.
5 Расчет МКЭ по теории упругости и теории оболочек, расчет колебаний
Уравнения в решение по методу конечных элементов могут быть заложены на основе теории тонких оболочек и на основе уравнений теории упругости.
Проблема сравнения конечных элементов имеет два аспекта:
1. сравнение самих теорий по точности и адекватности описания,
2. сравнение конечных элементов на основе двух теорий по точности результатов расчета конкретных задач и эффективности вычислений.
__
Для решения первого аспекта сравнение теорий выполнено в главе 4.
Для решения второго аспекта приведем литературные данные по применению конечных элементов по двум теориям.
__
5.1 Решение осесимметричной задачи теории упругости по МКЭ
В работах [32,с.230], [33,с.89] при рассмотрении решения МКЭ осесимметричной задачи теории упругости (т.е. расчета оболочек вращения) приведена классическая для теории упругости схема выделенного из стенки сегмента с отсутствием касательных напряжений по боковым граням:
По данным [32,с.229], [33,с.89] для решения осесимметричной задачи может быть использован подход плоской задачи. В этом случае треугольный симплекс-элемент вращением образует треугольный тор [32,с.229]. Такой тор показан на рисунке в работе О. Зенкевича [33,с.87]:
Объемное тело 3D-модели представляет собой объем, по которому берется интеграл таких треугольных элементов. Отличие осесимметрричной задачи от плоской состоит в том, что при деформации оболочки в радиальном направлении вызывает деформацию в окружном направлении. И в рассмотрение должна быть введена четвертая компонента деформации и напряжения по сравнению со случаем плоской задачи [33,с.88]. В плоской задаче компоненты напряжения в направлении, перпендикулярном к координатной плоскости, равны нулю.
Трехмерный симплекс-элемент рассматривается аналогично двумерному конечному элементу [32,с.226].
Векторы напряжений и деформаций и матрица упругости по данным [32,с.229]:
Вектор начальной деформации от теплового воздействия [32,с.230]:
Напряжения вычисляются по закону Гука [32,с.233]:
или через узловые перемещения после подстановки
([В] – матрица градиента, {U} – перемещение узлов.
__
О. Зенкевич приводит подход [33,с.259] о применении одномерных элементов для осесимметричных оболочек к осесимметричной нагрузкой. В этом случае используется метод перемещений и поверхность оболочки разбивается на ряд усеченных конусов [33,с.259]:
Изгибные и мембранные напряжения в оболочке корпуса аппарата однозначно определяются величинами обобщенными деформациями (искривления и растяжения срединной поверхности) [33,с.259]. Перемещения каждой точки срединной поверхности известны. Так, перемещения срединной поверхности оболочки под действием осесимметричной нагрузки однозначно определяются компонентами u и w по касательной к нормали поверхности.
О. Зенкович [33,с.259] приводит следующую запись матриц перемещений {ε}, напряжений {σ} и упругости [D] в соответствии с четырьмя результирующими напряжениями на рисунке при φ = const (верхняя часть матриц соответствует мембранным усилиям, нижняя часть матриц соответствует изгибным жесткостям, сдвиговые части матриц не показаны):
5.2 Решение пространственной (трехмерной) задачи теории упругости по МКЭ
В решении трехмерной задачи теории упругости оболочка рассматривается как объемное тело и для построения расчетной сетки применяются трехмерные конечные элементы. Самым простым из трехмерных элементов является элемент тетраэдрической формы.
Тетраэдральные конечные элементы приведены в [34,с.309]. Галагер отмечает [34,с.314], что правильное расположение тетраэдров без пустот по объемному телу вызывает затруднения и поэтому программа комбинирует элементы из пяти тетраэдров:
Перемещения тетраэдрического элемента определяется перемещением 12 компонентами перемещений его узлов [33,с.107]:
(вектор перемещений точки, определяемый компонентами u, v, w )
Матрица деформаций [33,с.108]:
Матрица тепловых деформаций [33,с.109] (θε – средняя температура элемента):
Матрица упругости [33,с.109]:
Матрица напряжений [33,с.109] ({σ0 – аддитивный член}):
Объединяя тетраэдрические элементы можно разбивать пространство на «кирпичики». В этом случае повышается наглядность разбиения.
О. Зенкевич сообщает [33,с.115] о расчете сосуда высокого давления МКЭ с использованием конечных элементов в виде «кирпичиков». В приводимом примере расчета выполнялся для 10000 степеней свободы. И Зенкевич указывает на то, что при применении более сложных конечных элементов расчет упрощается за счет уменьшения степеней свободы. Но использование сложных элементов не даст преимуществ в сокращении времени подготовки расчета, если процесс разбиения автоматизирован [33,с.169]. В настоящее время в программных пакетах МКЭ используется автоматизированное построение расчетной сетки. При этом при применении сложных элементов сокращается время вычислений, однако ширина матрицы увеличивается и сокращение времени может не происходить. Увеличение размеров конечных элементов приводит к ухудшению аппроксимации конструкции.
5.3 Расчет колебаний аппаратов по МКЭ
Для решения задач колебаний колонных аппаратов необходимо учитывать зависимость изменения рассчитываемых параметров во времени.
Используется эквивалентная статическая задача, в которой каждый момент времени дискретизируется. Распределенная сила может быть заменена эквивалентной.
Для оболочек, как отмечает Зенкевич [33,с.352], записывается матрица масс конечных элементов (для плоских и изгибных напряжений), по которой находится общая матрица масс. Матрица масс строится аналогично матрице жесткости. Зенкевич на этом основании заключает, что решение задачи о колебаниях оболочек не вызывает затруднений.
В работе [38,с.176] Зенкевич отмечает, что введение инерционных членов в статическую задачу не усложняет решения. После вычисления матрицы масс элементов, задача принимает вид стандартной системы с конечным числом степеней свободы.
Для оболочки, совершающей перемещения (движение) динамическая задачи переводится в статическую задачу приложением сил от ускорения (по принципу д’Аламбера).
5.3.1 Колебания без затухания
Зенкевичем и Чангом показано [38,с.176] расчет упругой конструкции в условиях статической нагрузки описывается уравнением:
В этом уравнении [K] – матрица жесткости объединенной конструкции, {δ} – матрица всех узловых смещений, {Р} – матрица всех узловых нагрузок.
{F}p – силы в узлах от распределенных нагрузок, см. [38,с.176],
{F}ε0 – силы в узлах от начальной деформации, см. [38,с.21].
Матрица динамических сил в узлах [38,с.176]:
Матрица распределенной нагрузки [38,с.177]:
Распределенная нагрузка выражается в виде эквивалентных узловых сил [38,с.177]:
После подстановки в первоначальное уравнение [38,с.177]:
Матрица внешних масс, прикладываемых к узлам сетки [38,с.177]:
Матрица масс, объединяющая матрицы масс конечных элементов [38,с.177]:
5.3.2 Колебания с затуханием
При колебаниях с затуханием первоначальное уравнение записывается в виде [38,с.186] ([С] – матрица затухания колебаний):
Матрица затухания колебаний [С] находится аналогично матрице масс [М].
Для внешней силы можно записать [38,с.186]:
C учетом этой записи получается форма решения в виде [38,с.186]:
Первоначальное уравнение, решенное относительно {δ0} [38,с.186]:
Из последнего уравнения записывается система двух уравнений [38,с.187]:
с учетом записи {δ0} является комплексным и [38,с.186]:
Реакция конструкции с затуханием колебаний на периодическое воздействие силы с угловой частотой ω находится решением системы уравнений [38,с.187].
Получение n собственных величин и {δ’0}I собственных форм колебаний получается решением уравнения [38,с.178]:
5.3.3 Свободные колебания
В случае свободных колебаний, уравнение, указанное для колебаний без затухания записывается в виде [38,с.178]:
Колеблющаяся конструкция представляет собой систему с конечным числом степеней свободы. Каждая точка конструкции движется в заданной фазе [38,с.178]:
Уравнение для задач на собственные колебания [38,с.178]:
Для угловой частоты ω получится n значений при размерах матриц [K] и [M] nxn.
Каждая частота свободных колебаний ω связана со своей модой {δ0}. В модах установлены соотношения узловых смещений, но отсутствуют их значения [38,с.178].
Задача на собственные значения записывается в виде [38,с.178]:
Так как – по данным [38,с.179]
-
по данным
[38,с.179]
Определяются значения λ для основных периодов и по ним находятся формы колебаний {Z}, а затем формы мод {δ0} [38,с.179].