мы можем рассматривать логарифм как количество нолей в числе. Если Вы должны умножить массу мыши на миллион, чтобы получить массу слона, это значит, что Вы должны добавить шесть нолей к массе мыши: Вы должны добавить шесть к логарифму первого, чтобы получить логарифм второго. На полпути между ними – в логарифмическом масштабе три ноля – находится животное, которое весит в тысячу раз больше, чем мышь, или одну тысячную веса слона: возможно, человек. Использование круглых чисел, таких как тысяча и миллион, должно сделать интерпретацию легкой. «Три с половиной ноля» лежат где-то между тысячей и десятью тысяч. Заметьте, что «на полпути между», когда мы считаем ноли, совсем не одно и то же, что «на полпути между», когда мы считаем граммы. Это все делается автоматически благодаря отысканию логарифмов чисел. Логарифмические величины служат для различного рода интерпретаций простых арифметических величин, которые полезны для различных целей.
Есть, по крайней мере, три серьезных основания для того, чтобы использовать логарифмический масштаб. Во-первых, это позволяет отобразить карликовую землеройку, лошадь и голубого кита на одном и том же графике, не нуждаясь в ста ярдах бумаги. Во-вторых, это помогает отмечать мультипликативные признаки, что иногда мы и делаем. Мы не просто хотим знать, насколько большой у нас мозг, а каков он по отношению к размерам нашего тела. Нам интересно узнать, что наш мозг, скажем, в шесть раз больше, чем он должен быть. Такие мультипликативные суждения могут быть вынесены при непосредственном прочтении логарифмического графика: таковы логарифмические средства. Третья причина для предпочтения логарифмических величин требует немного больше времени для объяснения. Один подход состоит в том, чтобы отобразить разброс наших значений вдоль прямых линий вместо кривых, но есть кое-что еще. Позвольте мне попытаться объяснить это моему собрату, неспециалисту в числах.
Предположите, что Вы берете объект, такой как сфера или куб, или действительно мозг, и раздуваете его равномерно таким образом, чтобы это была все та же форма, но в десять раз больше. В случае сферы это означает увеличение диаметра в десять раз. В случае куба или мозга это означает десятикратную ширину (и высоту, и длину). Во всех этих случаях пропорционального увеличения, что случится с объемом? Он не будет в десять раз большим – он будет в тысячу раз большим! Вы можете доказать это для куба, если представите себе укладывание кубиков сахара. То же самое относится к равномерному увеличению любой формы, которую Вы захотите. Умножьте длину на десять и, если форма не изменяется, Вы автоматически умножаете объем в тысячу раз. В частном случае десятикратного увеличения это эквивалентно добавлению трех нолей. В общем, объем пропорционален третьей степени длины и ее логарифму, умноженному на три.
Мы можем сделать те же вычисления для площади поверхности. Но площадь увеличивается пропорционально второй степени длины, а не третьей. Недаром возведение во вторую степень называется квадратом, в то время как возведение в третью – кубом. Объем куска сахара определяет его количество и сколько он стоит. Но то, как быстро он растворится, будет зависеть от площади его поверхности (не простое вычисление, потому что когда он растворяется, площадь поверхности будет сокращаться медленнее, чем объем оставшегося сахара). Когда Вы увеличиваете объем объекта, удваивая его длину (ширину, и т.д.), Вы умножаете площадь поверхности на 2 ? 2 = 4. Умножьте его длину на десять, и Вы умножите площадь поверхности на 10 ? 10 = 100 или добавите два ноля к числу. Логарифм площади увеличивается как двойной логарифм длины, в то время как логарифм объема увеличивается как тройной логарифм длины. Двухсантиметровый кусок сахара будет содержать в восемь раз больше сахара, чем односантиметровый кусок, но он будет передавать этот сахар в чай только в четыре раза быстрей (по крайней мере, первоначально), потому что это зависит от поверхности куска, которая реагирует с чаем.
Теперь представьте, что для кусков сахара с широким диапазоном размеров мы составляем график зависимости массы куска (пропорционального объему) по горизонтальной оси от (начальной) скорости растворения (пропорциональной площади) по вертикальной оси графика. На нелогарифмическом графике отметки расположатся вдоль кривой линии, которая будет весьма трудно интерпретируема и не очень полезна. Но если мы представим логарифм массы против логарифма начальной скорости растворения, то увидим кое-что намного более информативное. Для каждого утроенного логарифма приращения массы мы будем видеть удвоенный логарифм площади поверхности. В таком двойном логарифмическом масштабе отметки не будут ложиться вдоль кривой, они лягут вдоль прямой линии. Более того, наклон прямой будет выражать нечто весьма определенное. Это будет наклон два к трем: для каждых двух шагов вдоль оси площади прямая делает три шага вдоль оси объема. Для каждого удвоения логарифма площади утраивается логарифм объема. Две трети – не единственный информативный наклон прямой, которую мы могли бы видеть на двойном логарифмическом графике. Графики подобного рода информативны, потому что наклон прямой дает нам интуитивное чувство того, что происходит в отношении таких вещей как объемы и площади. И объемы, и площади, и сложные отношения между ними чрезвычайно важны в понимании живых тел и их частей.
Я не являюсь особым знатоком математики (это мягко сказано), но даже я могу видеть в этом очарование. И еще больше мне нравится, что тот же самый принцип работает для любых тел, не только для таких аккуратных, как кубы и сферы, но и для тел сложной формы: животных и частей животных, таких как почки и мозг. Все, что требуется – чтобы изменение размера сопровождалось простым увеличением или сжатием, без изменения формы. Это дает нам своего рода нереальные перспективы сравнивать реальные размеры. Когда один вид животных в 10 раз длинней другого, то их масса будет в 1 000 раз большей, но только если их форма одинакова. Фактически же формы, весьма вероятно, эволюционировали, становясь систематически различными, если двигаться от маленьких животных к большим, и мы можем теперь понять, почему.
Большие и малые животные должны иметь различную форму, если учитывать правила масштабирования площади/объема, которые мы только что рассмотрели. Если бы Вы превратили землеройку в слона, только равномерно увеличивая ее, сохраняя ту же самую форму, то она бы не выжила. Поскольку она теперь была бы приблизительно в миллион раз тяжелее, возникло бы много новых проблем. Некоторые из проблем животных зависят от объема (массы). Другие зависят от площади поверхности. Еще другие зависят от некоторой сложной функции этих двух величин или нескольких различных факторов вместе. Как скорость растворения куска сахара, скорость потери тепла животного или потери воды через кожу будет пропорциональна поверхности, которую оно представляет внешнему миру. Но его скорость выработки тепла, вероятно, сильнее связана с числом клеток в теле, которое является функцией объема.
У землеройки, приведенной к масштабу слона, были бы веретенообразные ноги, которые сломались бы под весом, и ее тонкие мышцы были бы слишком слабы, чтобы работать. Сила мышцы пропорциональна не ее объему, а площади ее поперечного сечения. Это справедливо потому, что мускульное движение – суммарное движение миллионов молекулярных волокон, скользящих друг мимо друга параллельно. Число волокон, которые Вы можете упаковать в мышцу, зависит от площади ее поперечного сечения (вторая степень линейного размера). Но задача, которую мышца должна выполнять – поддержка слона – пропорциональна массе слона (третья степень линейного размера). Так слон нуждается в пропорционально большем количестве мышечных волокон, чем землеройка, чтобы поддержать свою массу. Поэтому поперечное сечение мышц слона должно быть большим, чем Вы ожидали бы при простом масштабировании, и объем мышц слона также должен быть больше, чем Вы ожидали бы при простом масштабировании. По различным специфическим причинам подобное заключение справедливо и для костей. По этой причине большие животные, вроде слонов, имеют массивные ноги, подобные стволам деревьев. Галилей был одним из первых, кто понял это, хотя его диаграмма преувеличивает истинный результат.
Галилей был одним из первых, кто понял это.
Иллюстрации Галилея сравнительных размеров кости, из «Бесед и математических доказательств двух новых наук», изданных в 1638 году.
Предположим, что животное размером со слона в 100 раз больше животного размером с землеройку. Без изменения формы площадь поверхности его кожи была бы в 10 000 раз большей, чем у землеройки, и его объем и масса были бы в миллион раз большими. Если сенсорно-тактильные клетки будут одинаково располагаться на коже, то слону их будет необходимо в 10 000 раз больше, и область мозга, обслуживающая их, возможно, должна быть пропорционально увеличена. Общее количество клеток в теле слона будет в миллион раз большим, чем у землеройки, и они все должны быть обслужены капиллярными кровеносными сосудами. Как это отразится на количестве миль кровеносных сосудов, которое мы ожидаем у большого животного, в отличие от маленького? Это – сложное вычисление, и к нему мы возвратимся в более позднем рассказе. В настоящий момент этого нам достаточно, чтобы понять, что когда мы производим эти расчеты, мы не можем игнорировать правила вычисления для объемов и площадей поверхности. И логарифмический график – хороший метод для того, чтобы получить интуитивные ключи к разгадке подобных вещей. Главный вывод состоит в том, что, поскольку животные становятся большими или меньшими в ходе эволюции, мы, безусловно, ожидаем, что их форма изменится в предсказуемых направлениях.
Мы пришли к этому, размышляя о размере мозга. Нельзя просто сравнить свой мозг с таковыми у Homo habilis, Australopithecus или любого другого вида, не делая поправку на размер тела. Мы нуждаемся в некотором индексе размера мозга, который делает поправку на размер тела. Мы не можем разделить размер мозга на размер тела, хотя это было бы лучше, чем простое сравнение абсолютных размеров мозга. Лучший метод состоит в том, чтобы использовать логарифмические графики, которые мы только что обсуждали. Представьте графически зависимость логарифма массы мозга от логарифма массы