Но, употребляя главным образом понятия “задача” и “условия задачи”, Карно открывал метафизике путь, выходящий за рамки его теории. Уже Лейбниц показал, что вычисление — инструмент комбинаторики, то есть оно выражает задачи, которые не могли раньше решить и даже, и в особенности, поставить (трансцендентные задачи). Вспомним, в частности, роль регулярных и особых точек, входящих в полное определение некоторой кривой. Без сомнения, спецификация особых точек (например, переходов, узлов, фокусов, центров) осуществляется лишь в виде интегральных кривых, отсылающих к решениям дифференциального уравнения. Но есть, тем не менее, полное определение, касающееся существования и распределения этих точек, зависящее от совсем другой инстанции, а именно, от поля векторов, определенного самим этим уравнением. Дополнительность двух аспектов не снимает их сущностного различия, напротив. И если спецификация точек уже показывает необходимую имманентность решаемой задачи, вовлеченность в перекрывающее ее решение, то существование и размещение точек свидетельствуют о трансцендентности задачи и ее ведущей роли в организации самих решений. Короче, полное определение задачи совпадает с существованием, числом, распределением определяющих точек, которые как раз и создают для нее условия (особая точка способствует двум условным уравнениям)83. Но тогда все труднее говорить о погрешностях или о компенсации погрешностей. Условные уравнения — не просто вспомогательные, не несовершенные уравнения, как говорил Карно. Они учреждают задачу и ее синтез. Ошибочность в понимании объективной идейной природ ы проблемного приводит к их сведению к погрешностям, даже полезным, или к фикциям, даже обоснованным, то есть так или иначе к субъективному моменту несовершенного, приблизительного или ошибочного знания. Мы называем “проблемной” совокупность задачи и ее условий. Дифференциалы исчезают в результате в той мере, в какой инстанция-задача сущностно отличается от инстанции-решения, в движении, в ходе которого решения необходимо перекрывают задачу, в том смысле, в каком условия задачи являются объектом синтеза Идеи, не выражающимся в анализе предположительных концептов, составляющих случаи решения. Так что первая альтернатива — реальное или фиктивное? — отпадает. Не реальный и не фиктивный дифференциал выражает сущность проблемного как такового, его объективную консистенцию и субъективную автономию.
Возможно, отпадает и вторая альтернатива, альтернатива бесконечного и конечного представления. Мы видели, что бесконечное или конечное, действительно, являются характерными чертами представления, поскольку содержащееся в нем понятие раскрывает весь свой объем или, напротив, блокирует его. В любом случае представление о различии отсылает к тождественности понятия как к принципу. Можно также рассматривать представления как предположения сознания, означающие случаи решения относительно понятия, взятого в общем виде. Но элемент проблемного в представлении в силу своего вне-предположительного характера не отпадает. Не будучи ни частным, ни общим, ни конечным, ни бесконечным, он является объектом Идеи как универсальный. Этот дифференциальный элемент — игра различия как такового, не опосредуемый представлением, не подчиненный тождественности понятия. Антиномия конечного и бесконечного возникает именно тогда, когда Кант в силу особого характера своей космологии считает себя обязанным наполнить представление содержанием, соответствующим Идее мира. По его мнению, антиномия разрешается, когда он, с одной стороны, открывает в представлении элемент, одновременно не сводимый ни к конечному, ни к бесконечному (регрессия), и когда, с другой стороны, он присоединяет к этому элементу чистое мышление другого элемента, сущностно отличающегося от представления (ноумен). Но в той мере, в какой это чистое мышление остается неопределенным — не определено как дифференциальное — представление со своей стороны реально не преодолено, как и предположения сознания, составляющие суть и частности антиномий. Однако современная математика сохраняет антиномию другим путем, поскольку предлагаемая ею строгая конечная интерпретация вычисления, тем не менее, предполагает аксиому бесконечного в обосновывающей ее теории множеств, хотя эта аксиома и не проиллюстрирована в вычислении. От нас всегда ускользает внепредположительный или надреп-резинтативный элемент, выраженный в Идее дифференциалом, именно в виде задачи.
Следует говорить скорее о диалектике вычисления, чем о его метафизике. Под диалектикой мы ни в коей мере не подразумеваем некую циркуляцию противоположных представлений, приводящую их к тождественности понятия, но элемент задачи, отличный от собственно математического элемента решений. Согласно общим тезисам Лотмана, задача имеет три аспекта: ее сущностное отличие отрешения; ее трансцендентность относительно решений, порожденных ею исходя из собственных определяющих условий; имманентность задачи перекрывающим ее решениям, так как задача бывает решена тем лучше, чем лучше она определяется. Таким образом, идеальные связи, образующие проблемную (диалектическую) Идею, воплощаются здесь в реальных отношениях, установленных математическими теориями и данных как решения задач. Мы видели, как все эти аспекты, три аспекта присутствуют в дифференциальном исчислении; решения являются здесь дискретными, соотносимыми с дифференциальными уравнениями, они рождаются из мыслительной непрерывности, связанной с условиями задачи. Однако следует уточнить важный момент. Дифференциальное исчисление, несомненно, принадлежит математике, это полностью математический инструмент. Трудно увидеть в нем платоновское свидетельство диалектики, превосходящей математику. По крайней мере, это было бы трудно, если бы аспект имманентности задачи не давал нам верного объяснения. Задачи всегда диалектичны, диалектика не имеет другого смысла, как не имеют его и задачи. Математическими (или физическими, биологическими, психическими, социологическими) являются решения. Но, действительно, с одной стороны, сущность решений отсылает к различным порядкам задач в самой диалектике; а с другой стороны, задачи, в силу их сущностной трансцендентной имманентности, технически выражаются в той области решений, которые они порождают в силу диалектического характера. Как прямая и окружность продублированы линейкой и компасом, каждая диалектическая проблема продублирована тем символическим полем, в котором выражается. Поэтому следует сказать, что есть задачи математические, физические, биологические, психические, социологические, хотя любая задача сущностно диалектична и нет иной проблемы, кроме диалектической. Итак, в математике содержится не только решение задач; в ней содержится также выражение задач относительно определяемого им поля решаемости; они определяют его в силу самого своего диалектического характера. Вот почему дифференциальное исчисление полностью относится к математике и одновременно обретает смысл в открытии диалектики, превосходящей математику.
Нельзя считать, что даже технически дифференциальное исчисление является единственным математическим выражением задач как таковых. В очень разных областях эту роль играли методы исчерпывания, а также аналитическая геометрия. Позднее эту роль лучше выполняли другие приемы. Действительно, можно вспомнить круг, в котором бьется теория задач: задача решаема только в той мере, в которой она “верна”, но у нас всегда есть тенденция определять верность задачи ее решаемостью. Вместо того чтобы основывать внешний критерий решаемости на внутреннем характере задачи (Идеи), мы ставим внутренний характер в зависимость от простого внешнего критерия. Но если этот круг и был разорван, то прежде всего математиком Абелем; он вырабатывает метод, согласно которому решаемость должна вытекать из формы задачи. Вместо того чтобы наугад искать, решаемо ли уравнение вообще, следует определить условия задачи, постепенно специфицирующие поля решаемости таким образом, что “условие задачи содержит зародыш решения”. В этом состоит радикальный переворот в отношениях решение-задача, революция более значительная, чем коперниковская. Можно сказать, что таким образом Абель открывал новую Критику чистого разума, которая превосходила именно кантовское внешнее определение (extrinsecisme). То же суждение подтверждается применительно к трудам Галуа: исходя из основного “тела” (R), последовательные присоединения к этому телу (R', R", R"'...) позволяют все более и более точно различить корни уравнения путем возрастающего ограничения возможных подстановок. Таким образом, существует целый каскад “частичных резольвент” или пересечение “групп”, благодаря которым решение вытекает из самих условий задачи: например, если уравнение нерешаемо алгебраически, это открывается теперь не в результате эмпирического поиска или наугад, а исходя из признаков групп или частичных резольвент, образующих синтез задачи и ее условий (уравнение решаемо алгебраически, то есть посредством корней, только в том случае, когда частичные резольвенты являются биномными уравнениями, а индикаторы групп — простыми числами). Теория задач полностью преобразована, наконец-то обоснована, поскольку мы больше не находимся в классическом положении учителя и ученика, когда ученик понимает задачу и следит за ходом ее решения лишь в той мере, в которой учитель знает ее решение и делает, следовательно, необходимые замещения. Ибо, как замечает Жорж Веррье, группа уравнений в какой-то момент характеризует не то, что мы знаем о корнях, а объективность того, что мы о них не знаем84. Наоборот, это незнание уже не является недостатком, недостаточностью, но правилом, обучением, чему соответствует фундаментальное измерение объекта. Это новый Менон; преобразовано педагогическое отношение в целом, а с ним и многое другое — познание и достаточное основание. “Постепенная различимость” у Галуа единым непрерывным движением объединяет процесс взаимодетерминации и полной детерминации (пары корней и различение корней внутри пары). Она создает целостный облик достаточного основания и вводит в него время. Благодаря Абелю и Галуа теория задач математически в состоянии отвечать всем собственно диалектическим требованиям и разорвать ограничивавший ее круг.