ованием наглядно демонстрирует теоретико-множественную специфику. Это – одноэлементное множество, т.е. такое множество M = {m}, которое состоит точно из одного элемента m и рассматривается как сущность, неравная этому элементу, иными словами, здесь ложно утверждение {m} = m. Так встретились две различные реальности, реальность элемента и реальность множества, причем их принципиальная разница нисколько не утрачивается от того, что элемент и одноэлементное множество часто могут носить одно и то же наименование. Как видим, в теории множеств (и это она – наивная?!) заложены возможности для тончайших различений, казалось бы, чрезвычайно близких объектов, но на самом деле объектов разной «породы». Здесь невольно напрашиваются параллели к имяславской формуле, утверждающей нечто важное об одном уникальном «одноэлементном множестве»: «Имя Божие есть Бог, но Сам Бог не есть Имя Божие».
И укажем еще одну параллель, ненадолго покинув область «наивной» теории множеств. К этому подталкивает присутствие связки «есть» в только что приведенной формуле. Данная связка занимает ключевое место в интересной логической системе польского математика Станислава Лесьневского, – она нередко упоминается (но что хорошо известна, не скажешь) под названием мереологии. В рамках мереологии связка «есть» фактически заменяет понятие принадлежности элемента множеству, а сами множества понимаются не в разделительном, а в собирательном смысле. Кроме того, тут вводится жесткое ограничение на содержание утверждений со связкой (она употребляется только для непустых единичных имен объектов) и при этом условии специально рассматриваются отношения целого и части. В итоге же мереология, по мнению ряда исследователей, выступает не как улучшенный вариант теории множеств, но как ее мощный конкурент 18. Судя по всему, эта до сих пор мало изученная и чрезвычайно утонченная математическая теория представляет большую перспективу для новых философских прочтений, причем не в последнюю очередь – прочтений феноменологических и в особенности прочтений с точки зрения имяславия. Но поскольку московские имяславцы 20-х годов не были знакомы с изысканиями Лесьневского, мы можем коснуться этой темы разве что в порядке резервирования на будущее.
Впрочем, при упоминании мереологии вновь фигурировали отношения части и целого; к более подробному рассмотрению этих отношений и пришла пора перейти. Сразу отметим, что и в этом пункте нас ожидает вполне нетривиальный результат. Если, как выяснилось, к отношениям элемента и множества теория Кантора дает весьма тонкий аппарат для (выразимся кратко) «различений близкого», то в теоретико-множественных отношениях целого и части выявляется не менее интересная возможность «сближений далекого». При этом и в первом, и во втором случае обыденная интуиция если и не вовсе пасует, то оказывается по меньшей мере малополезной. Действительно, если говорить о части и целом, то привычки обычной языковой практики готовы засвидетельствовать здесь только одно: часть есть ущерб целого и, лишь разрастаясь до крайних размеров (т.е. переставая быть именно собой, частью), она становится тождественной целому, совпадает с ним. Заслуга Кантора состояла в строгом доказательстве возможности совсем иного отношения части и целого, справедливого для особого класса множеств. Именно для бесконечных множеств всегда (подчеркнем – всегда) справедливо то, что для конечной области возможно лишь в вырожденном случае, – эквивалентность бесконечного множества (целого) своему бесконечному подмножеству (части). Если воспользоваться известным крылатым выражением, то фундаментальная особенность области бесконечного можно выразить так: «лев» здесь не только «узнается по когтям», но «когтями» же и полностью представлен. Процедура установления эквивалентности множеств, которую нашел Кантор, оказалась настолько простой и убедительной (это, напомним, попарное сочетание элементов сравниваемых множеств и демонстрация того, что ни в одном множестве не остается непарных элементов), что она фактически стала конструктивным методом распознавания бесконечных множеств. Для выяснения того, каким является данное множество, конечным или бесконечным, необходимо и достаточно проверить отношение его как целого к собственной части: неэквивалентность целого и части сигнализирует о конечности, эквивалентность – о бесконечности множеств.
Все эти специфические и, может быть, скучные «технические» подробности приходится излагать только ради возможности прийти к вопросу, для нашей темы важнейшему, к вопросу о соприкосновении бесконечности и Бесконечности. Имяславцы давали на него собственный ответ, а в арсенал своих аргументов они вполне могли бы включить следующее высказывание Кантора:
«Как ни ограничена в действительности человеческая природа, к ней все-таки прилипло очень многое от бесконечного, и я думаю даже, что если бы она не была сама во многих отношениях бесконечной, то нельзя было бы объяснить твердой убежденности и уверенности в бытии абсолютного» 19.
Отнесение «человеческой природы» в область бесконечного вместе с прямым доказательством своего рода «соразмерности» – в этой области – объемлемого (а если это человек?) и объемлющего (а если это Бог?) дает право решать вопрос о «соприкосновении» в каком-то смысле положительно. Но тут же встает иная проблема. Как ни называть отношение, в строгом ли смысле эквивалентностью множества и подмножества 20, в нестрогом ли смысле «соразмерностью» или «соприкосновением» (а то и вовсе сказать – «прилипло»), сомнение возникает одно и то же: если это отношение предполагается между тварью (пусть – бесконечностью) и Творцом (пусть – Бесконечностью), то построения теории множеств, выходит, смыкаются с пантеизмом. В трудах самого Кантора засвидетельствовано, что упреки в пантеизме он действительно получал 21, а в свою очередь Флоренский прямо так и объяснял «десятилетнее» (возможен, отметим, и другой подсчет) молчание математика, первоначально таившего свое новое понимание бесконечности, – он действительно обдумывал и проверял, «нет ли в его идеях ошибок и неувязок, не ведет ли его учение к пантеизму» 22. Поэтому не нужно удивляться, когда где-нибудь в сугубо математическом тексте создателя теории множеств вдруг встретится явно не математическое, явно с «онтологическим привкусом» утверждение о том, что всякое множество обладает «большей реальностью», чем подмножество. Да, он постоянно помнил о грозной опасности.
Однако Кантор долго отмалчивался недаром, ибо его теория явилась перед ученым сообществом во всеоружии новых и, главное, фундаментальных понятий, на которых строится не какое-то фрагментарное, пусть и блестящее умозаключение, но вполне законченное здание цельного мировоззрения. Вместе со счастливо найденной общей идеей множества (уже ее запасов хватает, чтобы на протяжении почти века определять то, что называется теоретико-множественным стилем мышления) громадную роль несущих конструкций играют канторовские понятия мощности и порядкового типа множеств, а также понятие актуальной бесконечности. Мы будем говорить о них по необходимости кратко.
Представления о мощности (или кардинальном числе, кардинале) и типе (порядковом типе, или ординальном числе, ординале) произвольного множества появились у Кантора на пути дальнейшего совершенствования аппарата сравнения множеств и установления их эквивалентности. В области конечного такое сравнение легко делается посредством оценки количества элементов множеств (больше то множество, у которого большее количество элементов), но «когда мы поднимаемся в область бесконечного», говорил Кантор, понятие количества «как бы раскалывается» надвое – на понятие мощности и порядкового типа 23. Разница между ними лежит в степени отвлечения от характера элементов множества. Точнее, если в общем случае не принимается во внимание качественное наполнение множеств, природа их элементов, но важен приданный множествам порядок, то множества будут сравниваться по порядковому типу; если же отвлечение произведено и от порядка элементов (и тем самым уже не оставляется ни малейших следов качественности), то множества будут сравниваться по мощности. Два множества считаются эквивалентными, если они имеют одинаковую мощность, т.е. между их элементами устанавливается взаимно-однозначное соответствие без соблюдения порядка сравниваемых элементов. Так, эквивалентны множество цветов радуги и множество музыкальных тонов или – пример из списка первых математических подвигов Кантора – эквивалентны множество натурального ряда чисел и множество положительных рациональных чисел. Два множества считаются подобными, если они имеют одинаковый порядковый тип, т.е. при установлении однозначного соответствия множеств сохранен также порядок расположения их элементов. Так, подобны множество всех точек живописной картины и множество всех точек ее копии 24.
Как уже было сказано, кардиналы и ординалы в конечной области совпадают, поглощенные единым понятием количества, они присутствуют здесь как бы в потенции, в полную силу разворачиваясь лишь в области бесконечного. Они, выходит, перенесены из бесконечных сфер в область конечного для достижения идейной однородности, для демонстрации слитости общего устройства мира чисел. Кантор сделал еще один чрезвычайно важный перенос, теперь уже распространяя навыки работы с конечными множествами на поприще бесконечного. Он постулировал принципы порождения чисел, одинаково справедливые и в конечном и в бесконечном: с одной стороны, к уже образованному числу всегда можно добавить очередную единицу и, следовательно, можно продолжить ряд чисел по возрастанию; с другой стороны, всякому такому ряду можно выставить некий предел в виде такого числа, которое определяется как первое большее всех чисел данного ряда 25. Со вторым принципом порождения тесно связано еще одно фундаментальное понятие из лосевского перечня –