Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теории множеств. М., 1965. С. 343.
17 В частности, свой вариант решения «парадоксов» теории множеств Лосев дал в большой работе «Диалектические основы математики» (1930-е гг.).
18 См.: Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966. С. 229.
19Кантор Г. Основы общего учения о многообразиях. С. 75.
20 Прямая демонстрация эквивалентности бесконечного множества своей (правильной) части действительно удалась только Кантору. На интуитивном уровне об этом свойстве бесконечностей догадывались, к примеру, еще Г. Галилей и Б. Больцано, а много раньше и, может быть, глубже всех – Прокл. См. комментарии Лосева относительно прокловской категории «причастности» в общем учении о едином и многом: Прокл. Первоосновы теологии. Гимны. М., 1993. С. 224 – 228.
21 К примеру: Кантор Г. К учению о трансфинитном. С. 275.
22Флоренский П.А. О символах бесконечности. С. 226.
23Кантор Г. Основы общего учения о многообразиях. С. 79.
24 Все приведенные примеры взяты из работы: Кантор Г. К учению о трансфинитном. С. 298, 307 – 308.
25Кантор Г. Основы общего учения о многообразиях. С. 66, 91 – 94. Здесь упоминается также третий принцип, принцип «стеснения», который требует своеобразной непрерывности на шкале бесконечностей.
26Кантор Г. К учению о трансфинитном. С. 288 – 289. Заметим, что только с введением операций с пределами (т.е. с определенным моментом конечности) идея потенциальной бесконечности сыграла действительно важную роль в создании дифференциального и интегрального исчисления.
27Клини С. Математическая логика. М., 1973. С. 220.
28Флоренский П.А. О символах бесконечности. С. 109; Кантор Г. К учению о трансфинитном. С. 293.
29Флоренский П.А. О символах бесконечности. С. 126. См. афоризм 72 из «Опытов» Б. Паскаля.
30 См.: Кантор Г. К учению о трансфинитном. С. 292. Кантор хорошо понимает, что Absolutum уже не входит в названные ряды, это Бытие «превосходит человеческое разумение и недоступно, в частности, математическому определению» (там же. С. 293).
31 Вероятно, именно архимандрит Серапион Машкин (1854 – 1905), который независимо от Кантора пришел к идее актуальной бесконечности и ее месте в фундаменте антроподицеи, оказал существенное влияние на интересы П.А. Флоренского.
32Муравьев В.Н. Внутренний путь // Вопросы философии. 1992. № 1. С. 108.
33 Есть только подозрение, что множество всех функций (как непрерывных, так и разрывных) одного или многих переменных может иметь мощность «третьего числового класса». Однако определенного результата (а подозрение, конечно, первым посетило голову Кантора) до сих пор не получено.
34 В конечной области, напомним, ординальные и кардинальные числа совпадают, тогда как в области бесконечных множеств на один кардинал может приходиться бесконечное число ординалов.
35 «Господи Вседержителю… заключивый бездну и запечатствовавый ю Страшным и Славным Именем Твоим». Для примера укажем на использования этой выразительной фразы в докладе Муравьева «Имяславие» от 26 сентября 1921 года (ОР РГБ, ф. 189, п. 13, е.х. 24а, л. 3 об) и в докладе Лосева «Философия имени у Платона» от 1 ноября 1922 года (хранится в архиве Лосева, недавно опубликовано в журнале: Символ. 1993. № 29. С. 136).
36 Об истории выбора «алефа» см.: Даубен Д. Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств // В мире науки. 1983. № 8. С. 86.
37Кантор Г. Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел. С. 19. Заимствование термина «мощность» у Я. Штейнера специально указано в работе: Кантор Г. О бесконечных линейных точечных многообразиях. С. 51 – 52.
38Кантор Г. Принципы теории порядковых типов. С. 249.
39 «Исследование застывших моделей – сущность математического метода», – см. характерную констатацию в работе: Подниекс К.М. Платонизм, интуиция и природа математики // Семиотика и информатика. 1990. Вып. 31. С. 157.
1 Письмо А.Ф. Лосева к В.М. Лосевой от 12 декабря 1931 года. Обмолвка «под хорошим руководством» показательна – в «потоках» ГУЛАГовских «университетов» можно было изучать едва ли всё в размахе от генетики до шумерской клинописи.
2 Работа впервые издана в журнале «Вопросы философии». 1994. № 11. С. 82 – 134.
3 Цифрами в скобках здесь и далее указываются страницы издания: Лосев А.Ф. Хаос и структура. М., 1997.
4 Точнее, по обыкновению тех лет интересующий нас заголовок многоярусен: «В траншеях ленинской диалектики // Идеологические бои. – „Вольные стрелки“ из ГАХН. – Психология во власти идеалистов. – Физика в тупике. – В чем ошибка „механистов“? – Только на основе диалектического материализма // На конференции марксистских научно-исследовательских учреждений // (Доклад тов. А.М. Деборина)». Заметка не подписана, но можно предположить, учитывая примыкающие публикации, что ее автор – А. Кут.
5М. Хагемайстер (Начала. 1994. № 4. С. 150) ошибается, задавая такой отсчет годом позже, с доклада X. Гарбера «Против воинствующего мистицизма А.Ф. Лосева» (Вестник Коммунистической Академии. 1930. № 37 – 38).
6 Вестник Коммунистической Академии. 1929. № 32 (2). С. 4 – 5.
7Франк С. Новая русская философская система // Путь (Париж). 1928. № 9. С. 89, 90. Нам встречался экземпляр указанного издания (фонд «Русское Зарубежье» в РГБ), где заголовок еще и таков: «Новая русская религиозная система».
8Брушлинский В. Отклики на философскую дискуссию 1930 г. в иностранной прессе // Под знаменем марксизма. 1936. № 1. С. 189 – 191.
9Волков К. Диалог о диалектике // Научное слово. 1930. № 7 – 8. С. 44, 56.
10Богомолов А.Н., Роженко Н.М. Опыт «внедрения» диалектики в математику в конце 20-х – начале 30-х гг. // Вопросы философии. 1991. № 9. С. 37.
11 См.: Charles Ford Е. Dmitrii Egorov: Mathematics and Religion in Moscow // The Mathematical Intelligencer. 1991. Vol. 13. № 2. Статья в основном обобщает сведения, полученные в результате поисков С.С. Демидова и С.М. Половинкина.
12 Яркий тому пример – «Манифест» московских имяславцев (около 1922 года), составленный рукою Лосева и подписанный Д.Ф. Егоровым, среди прочих – первым. Копия этого документа была передана А.А. Тахо-Годи из Центрального архива ФСБ РФ в 1995 году, он частично опубликован в ее книге «Лосев» (серия «Жизнь замечательных людей». М., 1997. С. 111 – 113).
13 Письмо Н.Н. Лузина П.А.Флоренскому от 4.08.1915 г. // Историко-математические исследования. М., 1989. Вып. 31. С. 178.
14 Это драматическое признание зафиксировано: Письмо Н.Н. Лузина А.Н. Крылову от 7.12.1934 г. // Там же. С. 243, 244.
15Лосев Алексей. Из воспоминаний // Студенческий меридиан. 1990. № 5. С. 31.
16Флоренский П.А. Природа // Детям моим. Воспоминанья прошлых дней. М., 1992. С. 78.
17 Несколько подробнее об этом сопоставлении см.: Троицкий В.П. «Античный космос и современная наука» и современная наука // Лосев А.Ф. Бытие – Имя – Космос. М., 1993. С. 887 – 890; имеется в наст. изд.
18Флоренский Павел. Письма с Соловков // Наше наследие. 1988. № 4. С. 128; здесь же воспроизведены некоторые рисунки о. Павла – потрясающие документы духовной биографии мыслителя.
19 В фонде В.Н. Муравьева в Рукописном отделе РГБ хранятся, к примеру, рукописи с такими характерными названиями: «Диалектическое построение множественности» (ф. 189, п. 10, е.х. 11), «Основной элемент ряда чисел» (п. 11, е.х. 5), «Пифагорейское учение о числах и современные проблемы» (п. 13, е.х. 1), «Имяславие» (п. 13, е.х. 24).
20Муравьев В.Н. [Имяславие. Тезисы] // ОР РГБ, ф. 189, п. 13, е.х. 24 а, л. 2; е.х. 24 б, л. 7.
21 Обоснованно нелестные оценки этим попыткам и распространенному пониманию антиномичности «множеств» даны еще около 1925 года в книге «Античный космос и современная наука» (Лосев А.Ф. Бытие – Имя – Космос. С. 413 – 414).
22 Теорема Гёделя (о неполноте) довольно быстро вошла в круг тем, обсуждавшихся советскими философами; см.: Кольман Э. Предмет и методы современной математики. М., 1936 (особенно с. 261 – 268).
23 Работы переизданы в кн.: Лосев А.Ф. Миф – Число – Сущность. М., 1994. С. 527 – 876; здесь же помещен наш комментарий к ним – «О смысле чисел» (см. также в наст. изд.).
24Клини С. Математическая логика. М., 1973. С. 232, 233.
25 Один из свежих примеров: в обзорном докладе А.Г. Драгалина «Состояние работ по основаниям математики» на Смирновских чтениях в Институте философии РАН (18 марта 1997 года) предложено не менее восьми (!) способов изживания «грехов абстракции», связанных с математическими суждениями и объектами, и все восемь – посредством новых абстракций.