Мы с Куртом хотели понять, является ли столь парадоксальное поведение результатом изучения нами лишь двух переходов. Возможно, когда мы приступим к изучению большего числа переходов, система, так сказать, расправит свои крылья и продемонстрирует более представительный диапазон поведения. Я располагал рядом старых компьютерных программ, которыми пользовался при выполнении своей предыдущей работы по биологическим осцилляторам для имитации моделей Уинфри и Курамото, с сотнями цветных точек, бегущих по окружности, а также компьютерной программой для модели клеток сердца, разработанной Пескином; напомню, что тогда нам здорово помогло стробирование системы каждый раз, когда срабатывал один из ее осцилляторов. Все эти программы можно было легко адаптировать к уравнениям, описывающим поведение массива Джозефсона. После того как Курт вернулся к работе в Технологическом институте штата Джорджия, а я – в МТИ, имело смысл разделить наши усилия. Курт вместе со своим аспирантом по имени Куок Цанг занялся математическим анализом в случае, когда число переходов больше двух, а я приступил к компьютерному моделированию[167].
Для начала мы решили рассмотреть случай с десятью переходами. Такое количество переходов представлялось нам вполне обозримым, однако визуализировать случай со столь большим количеством переходов было очень непростым делом: вместо потока на квадрате или на поверхности тора траектории теперь пролегали в 10-мерном пространстве. Мои компьютерные программы неустрашимо ринулись в бой, продираясь сквозь нелинейные уравнения для 10-мерного пространства, продвигаясь к цели буквально крошечными шагами и отображая изменяющиеся фазы переходов в виде 10 точек, бегущих по окружности. Полученные изображения потрясли меня своей запутанностью и невразумительностью. Точки кружились и завихрялись, оставляя ошеломительное впечатление бесконечного хоровода, на основании которого, однако, невозможно было прийти к какому-то определенному заключению. Особенно трудно было проследить какие-либо постепенные изменения в относительном позиционировании. Немного легче стало после того, как я решил прибегнуть к испытанному приему со стробированием. Когда какой-то заранее выбранный переход достигал определенной фазы, происходила воображаемая вспышка, которая высвечивала фазы остальных девяти переходов. Это, конечно, помогло справиться с кружением огромного количества точек, однако оставались 9 точек, которые нужно было отслеживать одновременно. Необходимость отслеживания 9 точек означала необходимость визуализировать 9-мерное пространство.
Человеческий мозг не в состоянии легко визуализировать более трех измерений, а плоский экран компьютера вообще ограничивал картинку лишь двумя измерениями. Мне нужно было каким-то образом расширить свое сознание, попытаться представить, что происходит в этом странном 9-мерном мире. Немного поэкспериментировав, я остановился на мультипанельном формате, характерном для фильмов 1960-х годов, где на разных участках экрана («панелях») демонстрировались изображения разных актеров, причем каждому актеру отводился свой участок экрана. На одной панели отображалась фаза перехода № 2 в функции фазы перехода № 3, причем на одной оси были представлены значения фазы перехода № 2, а на другой – значения фазы перехода № 3. На других панелях отображались аналогичные зависимости между фазами переходов 3 и 4, 5 и 6 и т. д. Переход № 1 предназначался для запуска строба: когда он пересекал некую исходную линию (определенная фаза в его цикле), компьютер отображал соответствующую точку на каждой панели, представляя одновременные фазы в данный момент. В результате компьютерный экран заполняли панели, регулярно обновляемые после каждой стробоскопической вспышки.
Прежде чем взглянуть на систему из десяти переходов этими новыми теоретическими глазами, мне нужно было подготовиться к тому, что я мог увидеть. В наихудшем случае, если решения соответствующих нелинейных уравнений окажутся невероятно сложными, точки на каждой панели будут появляться то здесь, то там, постепенно заполняя собою некое аморфное тело. Если они будут заключать в себе некое подобие структуры, то это тело может быть похоже на кружево, испещренное бороздками. Или, если все окажется таким же на удивление простым, как в случае с двумя переходами, каждая очередная точка будет долбить в одно и то же место экрана (может, даже просверлит в нем дырку), никогда не покидая пределов пиксела, в котором она изначально появилась. Это беспрестанное повторение сигнализировало бы о том, что все траектории по-прежнему являются периодическими (поскольку в случае периодического решения каждый раз, когда переход № 1, пересекая исходную линию, запускает вспышку, переходы № 2 и № 3 всегда оказываются на своих местах – и так на любой другой панели).
Я включил компьютер и уставился на экран. Спустя какое-то время на каждой из панелей одновременно появилось по одной точке; это означало, что переход № 1 завершил один «круг» и зажег свой строб. Затем еще один круг, и еще один. На каждой из панелей точки «приземлялись» вблизи мест, где появилась первая точка, но не строго поверх первой точки. Что ж, это уже интересно! Эти неточные попадания означали, что траектории для 10 переходов не являются периодическими, а это, в свою очередь, подтверждало наши подозрения о том, что случай с двумя переходами является особым случаем, который не может служить надежным указанием на то, чего нам следует ожидать в случае большего количества переходов.
В ходе дальнейшего моделирования ситуации с 10 переходами начала вырисовываться несколько иная картина. Точки начали складываться в некую кривую, а вовсе не в ожидаемое мною аморфное тело, причем их движение казалось очень тщательно выверенным, прочерчивая траекторию, тонкую, как лезвие бритвы, удлиняя ее и заполняя в ней пустоты. Все панели показывали разные версии одной и той же базовой структуры: контур с несколько искаженной треугольной формой и скругленными углами. Я засомневался, не выбрал ли я ненароком слишком уж нехарактерную исходную точку. Поэтому я испытал много разных начальных условий. Когда я увидел результаты, моему удивлению не было границ. Каждая исходная точка приводила к появлению ее собственного треугольника со скругленными углами, причем все отдельные треугольники точно укладывались друг в друга, подобно русской матрешке.
Это была поистине невероятная структура. Она означала, что в уравнениях заключена некая тайная симметрия, скрытая регулярность, которая должна быть причиной этого порядка. Мне еще никогда не приходилось видеть чего-либо подобного. Каждая траектория предоставляла для исследования невообразимо обширный, 10-мерный ландшафт, по которому можно было перемещаться вверх и вниз, влево и вправо, а также еще в семи измерениях, для обозначения которых нам даже не хватает слов, но которые, тем не менее, существовали. Это было так же невероятно, как ходить до бесконечности по натянутому канату, никогда не рискуя упасть. Было что-то такое, что сводило эти решения к некоему срезу всех возможностей. Я мог сколь угодно наращивать количество переходов в массиве – 20, 50, 100 – это не имело никакого значения. В любом случае получалась одна и та же картина русской матрешки: вложенные друг в друга треугольники. Когда я сообщил Курту эту новость, он был изумлен не меньше моего. Либо компьютер нехорошо пошутил над нами, либо мы столкнулись с беспрецедентной ситуацией в математике массивов Джозефсона.
В течение следующих четырех лет многие из нас буквально помешались на этих чудесах. Курт вместе со своим аспирантом Стивом Николсом выполнили компьютерное моделирование более широкого класса массивов, обнаруживая каждый раз одни и те же признаки удивительного порядка. Джим Свифт, математик из университета Северной Аризоны и приятель Курта по аспирантуре, придумал весьма остроумный способ аппроксимации уравнений[168], которые описывали динамику таким массивов, заменив их так называемыми усредненными уравнениями, которые было гораздо легче анализировать, но в которых, тем не менее, сохранялась суть исходных уравнений. (Подобно всем любителям решать загадки, математики зачастую пользуются аппроксимациями, когда рассматриваемая ими задача кажется чересчур сложной, чтобы ее можно было решить «в лоб», – по крайней мере на начальном этапе.) Упростив решение нашей задачи, Джим обеспечил возможность ее математического анализа. Следуя его примеру, мой аспирант Синья Ватанабе обнаружил признаки структуры «русской матрешки» в решениях усредненных уравнений Джима[169]; затем, проявив свое аналитическое мастерство, он смог доказать, что примерно такая же структура скрывается в исходных, не усредненных уравнениях цепи. Венцом всей этой истории стало открытие новой «интегрируемой системы», что является большой редкостью в математике. У нее нет каких-либо конкретных применений – по крайней мере из того, что нам известно на сегодня. Это открытие Ватанабе скорее похоже на находку какой-то красивой раковины на берегу моря.
Одной из самых замечательных особенностей исследований, проводимых исключительно из любопытства, – помимо, конечно, удовольствия, которое они доставляют самому исследователю, – является то, что нередко они приводят к неожиданным побочным результатам. Методы, разработанные Свифтом и Ватанабе, позволили нам впервые исследовать динамику массивов Джозефсона в более реалистичном случае, когда переходы не идентичны. Инженерам никогда не удавалось проанализировать неупорядоченные массивы, хотя им было хорошо известно о том, что электрические характеристики реальных переходов всегда отличаются друг от друга хотя бы на несколько процентов и что современные технологии производства переходов не позволяют обеспечить их полную идентичность. Такая вариабельность переходов ограничивает возможность их использования в массивах, поскольку она препятствует когерентному функционированию, которая является необходимым условием нормальной работы массивов Джозефсона. Когда такими массивами управляют внешние токи, поведение эих массивов отличается непостоянством: при токах ниже определенного порога они остаются некогерентными (все переходы осциллируют с произвольными фазами, что приводит к деструктивному взаимовлиянию напряжений на переходах и их взаимной компенсации), но после превышения этого порога массив самопроизвольно синхронизируется.