Этот образ пленил Уинфри. Действительно ли существуют такие «кольца из свитка»? В 1973 г. ему удалось доказать, что такие «кольца из свитка» действительно существуют. Поставленный им эксперимент был весьма остроумным. Вместо использование обычной мензурки, заполненной жидкой BZ-реакцией, он приготовил высокую стопку фильтровальной бумаги из пористой нитроцеллюлозы, пропитанной теми же химическими веществами. После создания подходящих условий, которые требовались, по его мнению, для воспроизведения «кольца из свитка», он предоставил возможность реакции начаться, а затем внезапно затормозил ее химическим способом, зафиксировав характерный рисунок «кольца из свитка» в состоянии приостановленной анимации. Пытаясь проанализировать полученный образец, он разделил эту стопку фильтровальной бумаги на тонкие слои, подобно экспериментатору, подготавливающему для исследования под микроскопом срезы какого-нибудь экзотического организма, а затем реконструировал его, срез за срезом, на листах неотражающего стекла. Образец оказался именно таким, как ожидалось: волна в форме бублика с поперечным сечением в виде спирали.
Но Уинфри хотел понять, существуют ли другие виды «колец из свитка»[216]. Возможно ли скручивание свиткообразных волн на целое число оборотов, прежде чем они замкнутся сами на себя? Пояс можно скрутить таким способом; почему же это невозможно в случае «колец из свитка»? Или их можно завязывать в узлы? Можно ли связывать между собой кольца друг через друга, подобно браслетам или кольчуге? Изучая весь этот спектр бесконечного множества «колец из свитка», связанных между собой, скрученных и соединенных с помощью узлов самыми разнообразными способами, Уинфри вскоре обнаружил, что один из гипотетических элементов этого множества находится под запретом.
Используя одну из теорем топологии, Уинфри доказал невозможность скрученного кольца из свитка, по крайней мере в виде отдельно взятого объекта. Его структура заключала в себе внутреннее противоречие. Если бы такое кольцо было скрученным, оно автоматически должно было бы переплетаться с какой-то другой сингулярной нитью, а это означало бы, что исходное кольцо не было одиночным. Эта топологическая теорема указала на существование второго свитка, непредвиденного, но обязательно связанного посредством первого. В результате дальнейшего анализа Уинфри смог показать, что, хотя отдельно взятое скрученное кольцо из свитка существовать не может, существованию взаимно связанной пары ничто не препятствует. Такая структура представлялась идеально жизнеспособной.
Из этого следовал весьма впечатляющий вывод: геометрия «колец из свитка» была вполне законной. Некоторые конфигурации были допустимыми, тогда как другие – нет. Соответствующие правила еще предстояло выяснить.
Делом первостепенной важности было представить, как выглядят скрученные кольца из свитка. Абстрактная топологическая аргументация Уинфри предполагала, что скрученное кольцо из свитка должно быть переплетено с какой-то другой сингулярной нитью, но ни Уинфри, ни я не могли представить, как складывается воедино такая структура в целом: скрученный свиток плюс дополнительная сингулярность переплетения. Вообще говоря, когда за несколько лет до описываемого мною времени Уинфри попытался изобразить такую структуру, у него получилась фантастическая картинка в стиле Маурица Корнелиса Эшера[217], представителя так называемого имп-арта, который исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трехмерных объектов.
Но теперь все должно было быть по-другому. На дворе был 1982 г., а в нашем распоряжении были компьютеры Apple. Компьютер мог изобразить поверхность за нас; от нас требовалось лишь рассказать ему, что он должен изобразить. Моя задача заключалась в том, чтобы написать компьютерную программу, которая вычисляла бы эту поверхность что называется «в лоб». Идея была проста: скрученный свиток – это лишь окружность из ребер спирали, каждое из которых слегка повернуто по отношению к своим соседям. Таким образом, я попросил компьютер вычислить некоторую совокупность точек на спирали, затем скопировать и повернуть всю спираль на один шаг по окружности – и одновременно с этим скрутить ее на один шаг. Эту последовательность действий нужно было повторять снова и снова, пока спираль не вернется в свое исходное положение, совершив один полный оборот по окружности и одно полное скручивание. Невыясненным оставался лишь один вопрос: какой должна быть длина каждого ребра спирали? То есть сколько витков должно быть в ней? Ответ в этом случае дает нам химия: спиральная волна движется до тех пор, пока не столкнется с другой спиральной волной. Части столкнувшихся спиралей, оказавшиеся за этой границей, нужно стереть, поскольку они взаимно уничтожили друг друга (подобно тому, что происходит со столкнувшимися волнами в возбудимой среде).
Как и требовалось, Apple II распечатал таблицу с несколькими сотнями чисел, представляющих точки на поверхности скрученного свитка. Теперь все, что нам оставалось сделать, это ввести полученные таким образом числа в графическую программу, результаты работы которой раскроют наконец загадку скрученного свитка. Я запустил на выполнение графическую программу Bill Budge 3D Graphics System, приобретенную Уинфри, и мы, затаив дыхание, стали ждать завершения ее работы. Хм-м-м… Картинка получилась слишком грубой: количества заданных мною точек оказалось явно недостаточным. К сожалению, программа Bill Budge 3D Graphics System оказалась не в состоянии обработать большее количество точек – она с огромным трудом справилась даже с тем, которое я ей задал. Итак, наши надежды на компьютер не вполне оправдались, поэтому нам пришлось достраивать поверхность от руки. Мы распечатали грубую картинку, полученную с помощью Bill Budge 3D Graphics System, и, вооружившись цветными карандашами, начали «украшать» распечатку, надеясь увидеть нечто более вразумительное. Увы! Мы поняли, что с разгадкой придется подождать.
Тем временем мы с Уинфри приступили к рассмотрению более теоретических вопросов, пытаясь найти правила для топологии свиткообразной волны. Не имея четкого представления о том, в каком именно направлении следует двигаться, мы решили положиться на интуицию. В лаборатории Уинфри хранились изрядные запасы красного и зеленого стоматологического воска, а также оранжевой формовочной глины и превеликое множество ершиков для прочистки трубок. Все это были совершенно необходимые вещи для изготовления моделей узлов, связей и скрученных поверхностей.
Наша работа была организована следующим образом. Пока я сидел за компьютером или за рабочим столом в лаборатории, вылепливая те или иные фигуры из стоматологического воска и пытаясь визуализировать невиданные ранее формы, Уинфри пытался изображать картины свиткообразной волны в блокноте для рисования. Особено понравившиеся ему варианты он вырезал с помощью лезвия для безопасной бритвы (не забывая при этом вскрикнуть «Вжжжик!») и вклеивал их в лабораторный журнал. Шел час за часом. Время от времени один из нас, когда ему в голову приходила интересная мысль, нарушал молчание. После этого мы пытались совместно обсудить эту мысль, прояснить ее и проверить ее рациональность, каждый раз с трудом подбирая нужные слова, поскольку трехмерная геометрия – вообще говоря, весьма труднопередаваемая и неуловимая материя. Но в конечном счете нам всегда удавалось понять друг друга, после чего мы пытались совместными усилиями втиснуть эти новые идеи в рамки какой-то теории. Эти математические обсуждения были весьма бурными, но доброжелательными. Мне вообще казалось, что у меня появился еще один мозг – правда, гораздо лучший, чем мой первый мозг. Так проходили дни, один за другим. Обычно мы обедали вместе, а в солнечные дни мы предпочитали сидеть у фонтана возле его дома: он делал наброски в своем блокноте, а я рисовал разные варианты поверхности в своем воображении. К десяти часам вечера у кого-нибудь из нас начинала раскалываться голова, после чего мы расставались до следующего утра.
К августу мы выяснили правила для всех возможных конфигураций связанных и скрученных колец. С узлами возникли проблемы[218]. Нам не удалось выяснить ни одного правила относительно узлов. Поэтому мы решили начать с простейшего случая: отдельно взятого кольца из свитка, в котором завязан узел в виде трилистника. (Чтобы завязать узел в виде трилистника, возьмите шнурок для ботинок, завяжите на нем узел «клеверный лист», как если бы вы завязывали узел на шнурках своих ботинок, а затем соедините вместе концы шнурка. Результирующая кривая представляет собой петлю с узлом, которая напоминает своим видом клевер-трехлистник.)
Нас интересовало, имеет ли какой-либо математический и химический смысл кольцо из свитка в форме трилистника. А если бы такое кольцо в действительности присутствовало в мензурке BZ-реакции, то должно ли оно всегда быть связано с другими кольцами или оно может существовать само по себе? А если да, то какой должна быть надлежащая степень скручивания? И как должны были бы выглядеть волны, исходящие от него?
Чтобы сделать эти абстракции более осязаемыми, я скатал из стоматологического воска длинные шнуры, а затем согнул их и слепил их концы между собой таким образом, чтобы получилось некое подобие трилистника. Полученная геометрическая фигура должна была представлять собою сингулярную нить – источник и внутренний край свиткообразной волны. Затем мне предстояло изготовить восковую модель самой поверхности свиткообразной волны. Если сингулярная нить похожа на длинный тонкий деревянный штырь свитка, то сама волна похожа на пергамент, который раскручивается с этого штыря. Она представляет собой поверхность, которая начинается и заканчивается на таких штырях, в то же время плотно наворачиваясь на них. К счастью, это наворачивание было для нас в математическом смысле несущественно: