Доходность ценных бумаг вычисляется по формуле:
где CJ — будущая стоимость ценных бумаг;
РV — текущая стоимость ценной бумаги и цена покупки.
В том случае, если портфель состоит из определенного числа разных по стоимости ценных бумаг, доходность определяется по формуле:где rp — среднеожидаемая доходность портфеля;
хi — количество ценных бумаг i вида;
ri — ожидаемая доходность ценной бумаги i вида;
N — количество ценных бумаг в портфеле (I = 1,2, 3, ... N).
В 1 952 г. американский экономист, лауреат Нобелевской премии в области экономики Гарри-Марковиц опубликовал работу об инвестировании с точки зрения теории формирования портфеля ценных бумаг. Согласно теории Марковица для принятия решения о вложении средств инвестору не нужно проводить оценку всех портфелей, а достаточно рассмотреть лишь так называемое эффективное множество портфелей. Теорема об эффективном множестве гласит: инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых обеспечивает:
1) максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска;
2) минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.
При этом Марковиц утверждает, что при обосновании портфеля инвестор должен руководствоваться ожидаемой доходностью и стандартным отклонением:
1) ожидаемая доходность является мерой потенциального вознаграждения, связанной с конкретным портфелем;
2) стандартное отклонение является мерой риска, связанной с данным портфелем.82. Статистические методы определения доходности инвестиционного портфеля
Существуют 2 метода определения доходности инвестиционного портфеля — это ковариация и корреляция.
Ковариация — это статистическая мера взаимодействия 2 случайных переменных, в качестве которых в нашем случае выступают доходности 2 ценных бумаг /и у.
Экономический смысл положительного взаимодействия состоит в том, что рост ожидаемой доходности одной ценной бумаги влечет за собой увеличение доходности другой.
Отрицательная ковариация показывает, что доходности 2 ценных бумаг связаны между собой в противоположных направлениях. Так, рост ожидаемой доходности одной ценной бумаги сопровождается снижением ожидаемой доходности другой.
Положительная ковариация получается, если портфель сформирован из акций компаний разных отраслей.
Ковариация используется при расчете стандартного отклонения портфеля. Стандартное отклонение портфеля, состоящего из 2 ценных бумаг / и у, рассчитывается по формуле:где N — количество ценных бумаг в портфеле;
Gij — ковариация доходности ценных бумаг i и j ;
Gp — стандартное отклонение.
Ковариация весьма близка по смыслу к корреляции.
Корреляция — это взаимосвязь случайных переменных. Для измерения корреляции используется коэффициент корреляции, который всегда находится в интервале - 1 и + 1. Если он равен - 1, то это означает полную отрицательную корреляцию, если + 1 — полную положительную корреляцию.
Коэффициент корреляции нормирует ковариацию для облегчения сравнения с другими парами переменных. Ковариация 2 случайных переменных равна корреляции между ними, умноженной на произведение их стандартных отклонений:
Gij = Pij х GiGj
где р — коэффициент корреляции;GiGj — стандартное отклонение соответственно i и j ценной бумаги.
С помощью данного уравнения можно показать, что коэффициент корреляции между 2 ценными бумагами i и j равен:
При анализе стандартного отклонения производится двойное суммирование. Двойное суммирование представляет собой анализ произведения весов 2 ценных бумаг Хi Хj и ковариации этих 2 ценных бумаг в определенной последовательности. Следует отметить, что любой ковариационной матрице соответствует корреляционная матрица, которая может быть определена по данным ковариационной матрица и уравнению корреляции.
83. Выбор состава оптимального портфеля ценных бумаг
Портфель, в состав которого входят несколько видов ценных бумаг, выбрать нетрудно. Но когда формируется портфель, состоящий из сотен, а порой из тысячи ценных бумаг, то возникает проблема выбора из эффективного множества портфелей, представляющих собой оптимальную комбинацию доходности и стандартного отклонения, а также предпочтений инвестора относительно риска и доходности.
Существует несколько моделей, используемых для формирования портфелей ценных бумаг.
Если доходность обыкновенной акции за данный период времени связана с индексом РТС, то с ростом рыночного индекса, вероятно, будет расти и цена акции, а с падением рыночного индекса, вероятно, будет падать и цена акции. Эту взаимосвязь отражает рыночная модель (market model):
ri = αij+ βij + εij
где ri — доходность ценной бумаги i за данный период;rj — доходность на рыночный индекс j за этот же период;
αij — коэффициент смещения;
βij — коэффициент наклона;
εij — случайная погрешность.Как следует из данного уравнения, чем выше доходность на рыночный индекс, тем выше будет доходность ценной бумаги, а е ij . = 0.
Разность между действительным и ожидаемым значениями объясняется случайной погрешностью.
Поэтому лишь только в ряде маловероятных случаев е ij . = 0.
Коэффициент наклона в рыночной модели называют бета-коэффициентом.
Он показывает отношение ценной бумаги к ее доходности. Коэффициент рассчитывается по формуле:где у ij — ковариация между доходностью акции i и доходностью акции рыночного индекса;
уJ— дисперсия доходности индекса или риск ценной бумаги.
Если ценные бумаги будут иметь бета-коэффициент больше 1, т.е. они обладают большей изменчивостью, чем рыночный индекс, то их называют агрессивными. И наоборот, ценные бумаги с коэффициентом меньше 1 называют оборонительными.84. Определение риска портфеля ценных бумаг
Общей риск ценной бумаги и общий риск портфеля ценных бумаг измеряется с помощью дисперсии.
Общий риск ценной бумаги
(у J ), измеряемый ее дисперсией (у2J), состоит из 2 частей: рыночного (или систематического) риска и собственного (или несистематического) риска.
Следовательно, у2 J , можно выразить:
σ2J =β2ij σ2J +σεiгде у2J — дисперсия доходности рыночного индекса;
β2ijу2J — рыночный риск i ценной бумаги;
у εi — собственный риск i ценной бумаги, мерой которого является дисперсия случайной погрешности (εij ).
Зная о весе каждой дисконтированной ценной бумаги в портфеле и рыночном индексе, а также о долях инвестирования в каждую бумагу, доходность портфеля можно рассчитать по формуле:где Х = 1,2, 3, ..., N. Подставив значение г, в указанное уравнение, получим:
где
Общий риск портфеля, измеряемый дисперсией его доходности (у2 p ), можно определить по формуле:
σn=β2nj σ2J +σεn
гдеЕсли же случайные отклонения доходности ценных бумаг являются некоррелируемыми, т.е. не связанными между собой, то получим:
Следовательно, общий риск портфеля состоит из общего риска отдельных ценных бумаг, включающего в себя собственный риск [у2 εn ), которого, по утверждению Г. Марковица, нельзя избежать, и рыночный риск (β2nj y 2J). Собственный риск портфеля (или несистематический риск) связан с тем, что находящиеся в портфеле некоторые ценные бумаги могут как возрасти в цене, так и упасть. Следовательно, практически в любом портфеле будут иметь место ценные бумаги, которые могут одинаково влиять на его доходность.
85. Метод Г. Марковица
Г. Марковиц, лауреат Нобелевской премии в области экономики, сформулировал теорию формирования портфеля. Согласно этой теории инвестор при выборе инвестиционного портфеля должен руководствоваться ожидаемой доходностью и стандартным отклонением. Каждый из показателей характеризует предпочтения инвесторов при принятии решения о включении в портфель тех или иных ценных бумаг.
С помощью предложенного Г. Марковицем метода можно сформировать большое количество портфелей ценных бумаг, часть из которых будет относиться к эффективному множеству. Для выделения оптимальных портфелей, т.е. набора относительных долей акций и облигаций, которые могут принести их владельцу максимальный доход, Г. Марковиц использовал алгоритм квадратического программирования (метод критических линий).
Нахождение оптимального портфеля с помощью указанного алгоритма включает в себя ряд процедур:
1) рассмотрение портфелей, доступных инвестору;
2) нахождение структуры ценных бумаг каждого из бесконечного множества портфелей;
3) оценку вектора ожидаемых доходностей и ковариационной матрицы;
4) определение количества угловых портфелей. Под угловым портфелем понимается портфель, обладающий такими свойствами, что любая комбинация 2 смежных угловых портфелей представляет из себя третий портфель, лежащий в эффективном множестве между этими 2 угловыми портфелями;
5) выбор оптимального портфеля.
Если ожидаемую доходность оптимального портфеля обозначим как г* и ожидаемые доходности 2 ближайших угловых портфелей обозначим как га и гb соответственно, то состав оптимального портфеля может быть рассчитан по следующей формуле:Оптимальный портфель будет состоять из доли Y, инвестированной в ближайший угловой портфель, находящийся выше оптимального и доли, равной 1 - Y, инвестированной в ближайший угловой портфель, расположенный ниже оптимального.
Следовательно, предложенный выше