Если часы были запущены в шесть часов, как показано на рисунке, и если часовая стрелка двигалась в двенадцать раз быстрее минутной, то когда часы в первый раз покажут правильное время?
99
Смит служил клерком в страховой компании и был так напичкан всякого рода датами и цифрами, что мало о чем другом мог говорить или думать. Он всегда торопился домой, чтобы в кругу семьи предложить какую-нибудь статистическую задачу. Особое удовольствие доставляло ему поставить в тупик свою жену, о математических способностях которой он отзывался не без пренебрежения. Однако жене удалось как-то посрамить своего супруга, а возможно, и вылечить от дурной привычки третировать семью своими задачами.
Однажды этот глава семейства хвастливо заявил, что если его дражайшая половина сумеет задать ему такую задачу о датах и возрастах, которую он не сумеет решить за десять минут, то до следующего такого же дня он не предложит больше ни одной задачи. Вероятно, он имел в виду тот же день через год, но разговор происходил 29 февраля 1896 года, так что у женщины соблазн заставить мужа замолчать до следующего високосного года был очень велик.
Задача, которой супруга сумела сразить своего «головоломного» спутника жизни, выглядела так:
– Допустим, Том, что ты был втрое старше меня, когда мы впервые встретились, и что мне сейчас столько же лет, сколько тебе было тогда, и что, когда я буду втрое старше, чем сейчас, наш суммарный возраст составит сто лет. Скажи-ка мне, сколько в таком случае тебе будет лет ближайшего 29 февраля?
100
Картинка говорит сама за себя, и не надо быть Шерлоком Холмсом, дабы понять, что ребята нашли на чердаке старый ящик с инструментом, а их мать ушла по своим делам. Труднее представить себе, как Таузер сможет выбраться из будки через маленькую дверцу, когда ребята приколотят к конуре последнюю стенку. Однако предоставим Таузера самому себе и не будем тратить времени на несущественные для нас бытовые подробности.
Как лучше всего разрезать на минимальное число частей квадратную крышку кухонного стола, чтобы из них можно было сколотить недостающую стенку конуры?
101
«Лечение болезни концентрированным усилием воли, – писал один известный в свое время медик, – связано с самовнушением, а оно может быть весьма велико. Известны случаи, когда альпийские пастухи с наслаждением жевали свою краюху кислого хлеба, воображая, будто то кусок лунного серпа из зеленого сыра!».
Эти слова навели меня на мысль, связанную со следующей головоломкой.
Отнесемся снисходительно к глупым фантазиям людей, изображенных на рисунке, и представим себе, что предстоит разрезать лунный серп пятью прямыми взмахами ножа на предельно большее количество кусков. Достаточно ли вы умелы, чтобы им помочь?
С помощью карандаша и линейки проведите на изображенном здесь серпе пять прямых линий и посмотрите, сколько кусков вам удастся получить.
102
Тудлис получила в подарок пряник в виде собачьей головы и решила разделить его поровну со своим младшим братом. Желая быть справедливой, она хотела бы знать, каким образом это сделать, чтобы обе части были одинаковых размеров и формы.
103
В добрые старые времена ни один сельский праздник не обходился без картофельных состязаний, а кое-где они и поныне популярны среди молодежи. Сотню картофелин выкладывают по одной вдоль прямой на расстоянии 10 футов друг от друга. В 10 футах от первой картофелины помещается корзина. Двое соперников стартуют у корзины и бегут к первой картофелине. Тот, кому удается ее схватить, несет картофелину к корзине, а второй участник бежит к следующей картофелине. Таким образом картофелины по одной переносятся в корзину, а тот, кто сумеет первым положить в корзину 50 картофелин, выигрывает.
Первый наш вопрос состоит в следующем: какое расстояние необходимо пробежать, если стартовать от корзины и перенести в нее по одной все 100 картофелин.
Наша вторая и гораздо более трудная задача касается соревнований между Томом и Гарри. Поскольку Том бегает на 2,04 % быстрее Гарри, он разрешает Гарри выбрать одну картофелину и положить ее в корзину до начала соревнований. Другими словами, чтобы выиграть, Том должен собрать 50 картофелин прежде, чем Гарри сумеет собрать свои оставшиеся 49. На рисунке вы видите, как Гарри кладет выбранную картофелину в корзину. Результат соревнований в значительной мере будет зависеть от того, какую именно картофелину выберет Гарри. Вам предлагается определить, какую картофелину следует выбрать Гарри, чтобы максимально увеличить свои шансы на выигрыш, и каков будет результат соревнований, если сделать правильный выбор.
104
105
Дабы показать, насколько трудно бывает неискушенному человеку при решении простой задачи покинуть проторенный путь, я предлагаю вам бросить взгляд на привычную нам десятичную систему счисления. Обычно большинство людей пользуются ею не задумываясь. Они знают, что при сложении столбиком каждую колонку можно заполнять вплоть до 9, а если сумма получается больше 9, то следует перейти в колонку слева. Однако все это далеко не так просто.
Первобытный человек, подобно каждому из нас, учился считать на пальцах обеих рук – вот отсюда и возникла десятичная система счисления. Не исключено, что если бы человек произошел от обезьяны с четырехпалыми конечностями, то нам пришлось бы пользоваться «восьмеричной» системой. С математической точки зрения десятичная система не столь уж и совершенна, для некоторых целей, например, лучше подходит «семеричная» система, где в каждом разряде может стоять любая из семи цифр от 0 до 6. В этой системе 66 означает 6 семерок и 6 единиц, так что если к данному числу прибавить 1, то получится 100, или 49 в десятичной системе.
Дело в том, что, прибавив 1 к 6, мы получили бы 7. Поэтому мы пишем в младшем разряде 0, а в следующий разряд добавляем 1 и получаем там снова 7; так что во втором разряде мы опять записываем 0, а в третьем разряде пишем 1. В результате и получается число 100, которое в десятичной системе записывается как 49. Аналогичным образом 222 в десятичной системе запишется как 114: две единицы, две семерки и дважды по 49.
Представьте, что нашими предками были четырехпалые обезьяны и наши предтечи считали до восьми и ничего не знали о девятках и десятках; как бы мы тогда в восьмеричной системе записали 1906 год? Эта задача поможет вам понять некоторые элементарные принципы, лежащие в основе перехода от одной системы счисления к другой.
106
Компания отправилась на большой ежегодный пикник. В каждом экипаже находилось одинаковое число пассажиров. На полпути вышли из строя 10 экипажей, так что в каждый оставшийся экипаж пришлось пересесть по одному лишнему пассажиру.
На обратном пути из строя вышло еще 15 экипажей; теперь в каждом экипаже ехало на 3 пассажира больше, чем их было, когда компания поутру тронулась в путь. Сколько человек участвовало в ежегодном пикнике?
107
Задачу о монахинях из монастыря Монте-Маладетта можно встретить почти во всех старых сборниках головоломок, но она очень примитивна. Я помню, что в свое время ее ответ просто разочаровал меня. Говорили об испанском происхождении этой головоломки, якобы она основана на историческом эпизоде. Недавно мне в руки попал сборник старых испанских сказаний, в одном из которых я нашел краткое упоминание о монастыре Монте-Маладетта, расположенном в горном массиве Пиренеев, носящем то же название. Речь там шла о захвате этой части страны французами, которые в конце концов были изгнаны.
Прямое отношение к головоломке имела, однако, та часть текста, где говорилось: «Многих монахинь франки увели с собой, видно, отсюда и пошла известная задача о монахинях монастыря Монте-Маладетта». Поскольку никаких письменных свидетельств о головоломке не сохранилось, а ее популярный вариант весьма сомнителен из-за двойственности решения, я беру на себя смелость представить ее в форме, сохраняющей дух задачи, но свободной от неоднозначности решения.
Монастырь, как это показано на рисунке, представлял собой квадратное трехэтажное здание с шестью окнами на каждой стороне верхних этажей. Ясно, что на каждом из верхних этажей было по 8 комнат, что вполне согласуется со старой историей. По преданию, верхние этажи использовались под кельи. В кельях самого верхнего этажа кроватей было больше, чем в кельях второго этажа, так что на нем и монахинь помещалось вдвое больше.
Мать-настоятельница следила за тем, чтобы каждая келья непременно была занята. Причем на третьем этаже должно жить вдвое больше монахинь, чем на втором, а в шести комнатах, выходящих на каждую из четырех сторон здания, их должно проживать ровно по 11. Задача относится только к двум верхним этажам, нижний этаж занимала трапезная.
Ну, так вот, после отступления французских войск через ближайшее ущелье обнаружилось, что исчезло 9 самых молодых и хорошеньких монахинь. Очевидно, их во всех смыслах пленили французские солдаты. Однако, дабы не огорчать случившимся мать-настоятельницу, монахини скрыли потерю, по-новому переселившись в своих кельях.
Монахини умудрились расселиться таким образом, что во время своего ежевечернего обхода мать-настоятельница не заметила никаких изменений: все кельи были заняты, на каждой стороне проживало по 11 монахинь и на третьем этаже монахинь было вдвое больше, чем на втором. И все же 9 монахинь отсутствовало! Сколько монахинь проживало в монастыре и как они размещались по кельям?