Трехчлен x² − 55х + 250 вначале стоял под знаком квадратного корня, а потому должен был быть неотрицательным. После возведения неравенства (4) в квадрат это ограничение исчезло; теперь ничто не мешает трехчлену стать отрицательным. Даже наоборот, в этом случае неравенство x² − 55х + 250 < (x − 14)² удовлетворяется наверняка, так как справа стоит величина, которая не может стать меньше нуля.
Чтобы подкоренное выражение оставалось неотрицательным, мы должны добавить к полученному после возведения в квадрат неравенству требование x² − 55x + 250 ≥ 0, т. е. x ≤ 5, x ≥ 50. Из полупрямой x> 2 оказались выделенными две ее части: 2 <x ≤ 5, x ≥ 50.
Но и теперь еще не все. Достаточно подставить в исходное неравенство значение x = 4, и мы убедимся, что оно не удовлетворяется. Дело в том, что при возведении в квадрат мы устранили еще одно ограничение, которое присутствовало в неравенстве (4). В левой части первоначального неравенства стоит квадратный корень, т. е. неотрицательное число. Чтобы это неравенство удовлетворялось, правая его часть x − 14 должна быть больше нуля. Итак, надо добавить ограничение x − 14 > 0, которое присутствовало в исходном неравенстве и оказалось разрушенным после возведения в квадрат.
Таким образом, после возведения данного неравенства в квадрат, мы должны позаботиться о сохранении всех ограничений, которые присутствуют в данном неравенстве. Неравенство (4) нужно было заменить системой
решая которую мы нашли бы, что
т. е. x ≥ 50.
В каждом из неравенств 6—9 освободитесь от иррациональности, не нарушая равносильности:
6.
7.
8.
9.
Показательные и логарифмические неравенства. При решении показательных и логарифмических неравенств пользуются следующими свойствами:
1. Неравенство f(x)φ(x)> 1, где f(x) > 0, равносильно совокупности двух систем неравенств:
или системе неравенств
1а. Неравенство f(x)φ(x)< 1, где f(x) > 0, равносильно совокупности двух систем неравенств:
или системе неравенств
2. Неравенство logf(x)φ(x) > 0 равносильно совокупности двух систем неравенств:
или системе неравенств
2а. Неравенство logf(x)φ(x) < 0 равносильно совокупности двух систем неравенств:
или системе неравенств
Решения неравенств f(x)φ(x)< 1 и f(x)φ(x)> 1 в предположении, что допускаются отрицательные значения f(x), разобраны в задачах 10.29, 10.30, 10.32.
Запомнить эти свойства можно следующим образом: степень больше единицы, если основание и показатель степени одинаково расположены по отношению к единице и нулю соответственно (т. е. основание правее единицы и показатель правее нуля или основание левее единицы и показатель левее нуля); логарифм больше нуля, если основание и логарифмируемое выражение одинаково расположены по отношению к единице. Если расположение элементов, о которых шла речь, неодинаково, то степень меньше единицы, а логарифм меньше нуля.
10.1. Докажите, что если а + b = 2, где а и b — действительные числа, то а4 + b4 ≥ 2.
10.2. Докажите, что
(1 + a1)(1 + а2)...(1 + аn) ≥ 2n,
если а1, а2, ..., аn, аn — положительные числа и а1а2...аn = 1.
10.3. Дано а + b = с, где а, b, с — положительные числа. Докажите, что
а⅔ + b⅔>с⅔ .
10.4. Докажите, что −x³ + x² ≤ ¼, если 0 ≤ x ≤ 1.
10.5. Докажите неравенство
при условии, что а + b + с = 1, а подкоренные выражения неотрицательны.
10.6. Докажите неравенство
(а + b)n< 2n(аn + bn),
если а> 0, b> 0, n — натуральное число.
10.7. Докажите, что при а>b> 0 и p>q где а, b и с — положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.
10.8. Докажите, что при n> 1.
10.9. Докажите неравенство
a/b + b/c + c/a> 3
где а, b и с — положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.
10.10. Докажите, что
а² + b² + с² ≥ 4S√3,
где а, b, с — стороны, а S — площадь некоторого треугольника.
10.11. Докажите, что
(x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 6) + 10 ≥ 1
при всех действительных значениях x.
10.12. Докажите, что если действительные числа x, у, z, не равные нулю, удовлетворяют равенствам:
x + у + z = xуz и x² = уz,
то
x² ≥ 3.
10.13. Докажите, что если x, у, z — действительные числа, удовлетворяющие равенствам
x + у + z = 5, уz + zx + xу = 8,
то
1 ≤ x ≤ 7/3, 1 ≤ y ≤ 7/3, 1 ≤ x ≤ 7/3. [9]
10.14. Решите неравенство
аx² + x + 1 > 0,
где а ≠ 0 — произвольное действительное число.
10.15. Найдите все действительные значения m, при которых квадратный трехчлен x² + mx + (m² + 6m) будет отрицателен при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству 1 <x< 2.
10.16. Найдите все действительные значения а, при которых корни многочлена x² + x + а будут действительными и оба корня будут больше а.
10.17. При каких значениях к корни многочлена
k²x² + kx − 2
будут действительными и один корень по абсолютной величине будет больше 1, а другой по абсолютной величине будет меньше 1?
10.18. Найдите все действительные значения m, для которых неравенство
тx² − 4x + 3m + 1 > 0
удовлетворяется при всех положительных значениях x.
Решите неравенства:
10.19. |x² − 2x − 3| < 3x − 3.
10.20. |x − 3| > |x + 2|.
10.21.
10.22.
10.23.
10.24.
10.25.
10.26.
10.27. 4x ≤ 3 · 2√x + x + 4√x+1.
10.28. 4x² + 3√x +1 + x · 3√x< 2x² · 3√x + 2x + 6.
10.29[10].
Решите неравенства:
10.30. (4x² + 12x + 10)|x³ − 5x + 2| ≥ (4x² + 12x + 10)x − 2.
10.31.xlogаx +1 >а²x.
10.32[11].
10.33.
10.34.
10.35.
10.36. log2 (2x − 1) log½ (2x + 1 − 2) > −2.
10.37. log|x + 6| 2 · log2(x² − x − 2) ≥ 1.
10.38.
10.39. logkxx + logx(kx²) > 0, где 0 <k< 1.
10.40. logx[log2(4x − 6)] ≤ 1.
10.41.
10.42.
10.43. |√2 |x| − 1| · 1ох2 (2 − 2x²) > 1.
10.44.
10.45. logx² − 1 (3x − 1) < logx² − 1x².
10.46.
10.47. При каких значениях у верно следующее утверждение: «Существует хотя бы одно значение x, при котором удовлетворяется неравенство
2 log0,5y² − 3 + 2x log0,5y² − x² > 0»?
10.48. При каких значениях а из неравенства
x² − а(1 + а²)x + а4< 0
следует неравенство
x² + 4x + 3 < 0?
10.49. Для каждого действительного а решите неравенство
10.50. Решите неравенство
(x² + 8x + 15)22 + x>x² + 7x + 10.
10.51. Определите, какие из чисел −4, −1, 1, 4 являются решениями неравенства
|0,5 − lg 5|x ≤ 0,5 − lg 5.
10.52. Решите неравенство
(√5 − 2)x − 6 ≤ (√5 + 2)√x.
10.53. Решите неравенство
Глава 11Логарифмические и показательные уравнения и системы
Если ар, где а и p — действительные числа, существует, то