|a| = |а|p (1)
По определению logа N есть число, удовлетворяющее равенству
где а> 0 и а ≠ 1.
Формулы
(2)
называются формулами потенцирования. Первые две являются неабсолютными тождествами (см. введение к главе 9); при четных n и третья формула оказывается неабсолютным тождеством. Применение этих формул при решении уравнений (под применением формулы мы понимаем замену в уравнении выражения, стоящего в ее левой части, на выражение, стоящее справа) может привести только к приобретению посторонних решений.
Формулы (2), прочитанные справа налево, называются формулами логарифмирования. Чтобы формулы логарифмирования не приводили к потере решений, ими пользуются в виде
logахy = logа |x| + logа |y|;
logаx/y = logа |x| − logа |y|;
logаx2k = 2k logа |x| (k — целое, k ≠ 0).
Следующие формулы позволяют переходить от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием:
Если в третьей из этих формул n = 2k, то в правой части нужно писать вместо основания а основание |а|.
Формула
(3)
является неабсолютным тождеством, так как ее правая часть перестает существовать при f(x) = 1, в то время как левая часть при соответствующих значениях x может существовать и обращаться в нуль.
Таким образом, применение формулы (3) может привести к потере решений, при которых f(x) = 1.
При решении уравнений вида
φ(x)f(x) = φ(x)g(x) (4)
нужно воспользоваться условием равенства показателей: если φ(x) ≠ −1, 0, +1, то следствием уравнения (4) является уравнение
f(x) = g(x). (5)
Пусть x = а — корень уравнения (4). Тогда
φ(а)f(а) = φ(а)g(а).
В силу (1) можно записать, что
|φ(а)|f(а) = |φ(а)|g(а).
Так как |φ(x)| ≠ 0, 1 и |φ(x)| > 0, то по свойству показательной функции имеем
f(а) = g(а),
т. е. x = а — корень уравнения (5).
Случаи, когда φ(x) равно −1, 0 или 1, нужно рассмотреть отдельно.
Решая уравнение (4), следует иметь в виду, что выражения вида 0/0 и 00 не имеют смысла.
11.1. Найдите log5 6, если lg 2 = а, lg 3 = b.
11.2. Найдите lg 122,5, если lg 5 = а, lg 7 = b.
11.3. Решите уравнение
11.4. Для каждого действительного числа а решите уравнение
9−|x − 2| − 4 · 3−|x − 2| − a = 0.
11.5. Для каждого действительного числа а решите уравнение
144|x| − 2 · 12|x| + а = 0.
Решите уравнения:
11.6.
11.7.
11.8.
11.9.
11.10. log3(3x − 1) log3 (3x + 1 − 3) = 6.
11.11.
11.12.
11.13.
11.14.
11.15. log0,5xx² − 14 log16xx³ + 40 log4x√x = 0.
11.16.
11.17.
11.18.
11.19. где а> 0, а ≠ 1.
11.20. Найдите неотрицательные решения системы уравнений
Решите системы уравнений:
11.21.
11.22.
11.23.
11.24.
11.25.
11.26.
11.27.
11.28.
11.29.
11.30.
Глава 12Тригонометрические преобразования
Основные тригонометрические формулы.
1. Зависимости между тригонометрическими функциями:
2. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов:
sin (x ± у) = sin x cos у ± sin у cos x,
cos (x ± у) = cos x cos у ± sin x sin у,
3. Функции двойного и тройного аргумента:
sin 3х = 3 sin x − 4 sin³ x, cos 3х = 4 cos³ x − 3 cos x.
4. Формулы понижения степени для синуса и косинуса:
5. Функции половинного аргумента:
6. Преобразование суммы функций в произведение:
7. Преобразование произведения функций в сумму:
sin x cos y = ½[sin (x − y) + sin (x + y)],
cos x cos y = ½[cos (x − y) + cos (x + y)],
sin x sin y = ½[cos (x − y) − cos (x + y)].
Все формулы нужно уметь читать не только «слева направо», но и «справа налево». Так, например, в записи sin π/4 cos x − cos π/4 sin x нужно узнавать sin (π/4 − x), а не принимать ошибочно за sin (x − π/4), а в записи узнавать ctg x/2.
Проверьте себя и напишите, чему равно выражение Если вы убеждены в том, что это выражение равно тангенсу половинного угла, обратите внимание на то обстоятельство, что выражение, о котором идет речь, неотрицательно, а тангенс половинного угла — знакопеременная функция. Таким образом,
и не следует писать в этом случае ±tg x. То же самое рассуждение можно провести для любой из приведенных выше формул, где перед корнем стоит ±. Мы ставим ±, чтобы «примирить» выражение, стоящее в левой части, которое может быть отрицательным, с неотрицательным корнем. Поставив ±, мы не получаем двузначную функцию; этот символ говорит лишь о том, что для каждого фиксированного x мы обязаны выбрать определенный знак, в зависимости от того, в какой четверти тригонометрического круга оказывается угол, стоящий под знаком функции в левой части формулы.
12.1. Упростите выражение
12.2. Докажите тождество
tg 2α tg (30° − α) + tg 2α tg (60° − α) + tg (60° − α) tg (30° − α) = 1.
12.3. Докажите тождество
12.4. Докажите, что tg (α + β) = 2 tg α, если
sin α cos (α + β) = sin β и α + β ≠ π/2(2n + 1), α ≠ π/2(2n + 1), .
12.5. Вычислите без таблиц
cos π/7 cos 2π/7 cos 4π/7.
12.6. Вычислите без таблиц
tg π/7 tg 2π/7 tg 3π/7.
12.7. Докажите, что если и то при аВ + bA ≠ 0
12.8. Докажите, что если |sin x| = |k sin у|, где −1 ≤ k ≤ 1, то произведение sin (x + у) sin (x − у) неположительно.
12.9. Докажите, что если sin α + sin β = а, cos α + cos β = b, то
12.10. Дано
2 tg² α tg² β tg² γ + tg² α tg² β + tg² β tg² γ + tg² γ tg² α = 1.
Вычислите sin² α + sin² β + sin² γ.
12.11. Углы α, β, γ образуют арифметическую прогрессию с разностью π/3 . Вычислите
А = tg α tg β + tg β tg γ + tg α tg γ.
12.12. Сумма трех положительных чисел α, β и γ равна π/2. Вычислите произведение ctg α ctg γ, если известно, что ctg α, ctg β и ctg γ образуют арифметическую прогрессию.
12.13. Вычислите без калькулятора и без таблиц
sin 106° + cos 106° ctg 8°.
Глава 13Тригонометрические уравнения и системы
Простейшие тригонометрические уравнения.
sin x = а, x = nπ + (−1)n arcsin а, |а| ≤ 1,
cos x = а, x = 2nπ ± arccos а, |а| ≤ 1,
tg x = а, x = nπ + arctg а,
ctg x = а, x = nπ + arcctg а.
Во всех формулах n — произвольное целое число, т. е. n = 0; ±1; ±2; ±3; ... .
Решения уравнения sin x = а часто удобно записывать в виде двух серий корней:
x = 2nπ + αrсsin а, x = π(2n + 1) − arcsin а.
Хотя приведенные формулы для решений уравнений sin x = а и cos x = а верны при всех значениях а, удовлетворяющих указанным справа ограничениям, при некоторых а эти формулы дают неудобный ответ.
Так, например, если к уравнению sin x = 1 применить общую формулу, то получим
x = nπ + (−1)n π/2.
При n = 2k получим x = 2kπ + π/2, а при n = 2k + 1 получим x = 2kπ + π − π/2 = 2kπ + π/2. При четном и нечетном n мы пришли к одинаковому ответу. Но этот же ответ можно получить гораздо проще, если не пользоваться общей формулой. Достаточно заметить, что sin x = 1 тогда и только тогда, когда подвижный радиус вертикален и направлен вверх.
Поэтому целесообразно помнить решения уравнений:
sin x = 0, x = nπ; sin x = 1, x =