4x.
13.28. При каких значениях а уравнение
1 + sin² ax = cos x
имеет единственное решение?
Решите системы:
13.29.
13.30.
13.31.
13.32.
13.33.
13.34.
13.35.
13.36.
13.37.
13.38.
13.39. Найдите все пары чисел x, у, которые удовлетворяют уравнению
tg4x + tg4у + 2 ctg² x ctg² у = 3 + sin² (x + у).
13.40. Решите уравнение
sin² x + ¼ sin² 3x = sin x sin² 3x.
13.41. Решите уравнение
cos x + cos у − cos (x + у) = 3/2.
13.42. Найдите все пары чисел а и b, при которых для любых x и у, удовлетворяющих условию x + у = а (где x ≠ π/2 + nπ, у ≠ π/2 + nπ, n, m = 0, ±1, ±2, ...), верно равенство tg x + tg у + tg x tg у = b.
13.43. Найдите все пары чисел x и у, которые удовлетворяют уравнению
13.44. Решите уравнение
sin x + 2 sin 2x = 3 + sin 3x.
13.45. Решите уравнение
sin x (cos x/4 − 2 sin x) + cos x (1 + sin x/4 − 2 cos x) = 0
13.46. Решите уравнение
13.47. Найдите все значения x, удовлетворяющие одновременно следующим уравнениям:
cos 6х + cos 8х = 0, cos Зх = 2 sin² 2х
при условии, что |x| < 5.
13.48. Решите уравнение
13.49. Решите уравнение
13.50. Решите уравнение
2 tg x + tg x/2 + 4 ctg 2х = ctg Зх.
13.51. Решите уравнение
Глава 14Тригонометрические неравенства
Решите неравенства:
14.1. |sin x| > |cos x|.
14.2. 1 − sin x + cos x< 0.
14.3. sin x − З cos x< 0.
14.4. 2 cos 2х + sin 2х> tg x.
14.5. cos x tg 2х ≤ 0.
14.6. 6 + cos 2х + 13 cos x ≥ |5 − 2 cos 2х − 6 sin² x − З cos x|.
14.7. Найдите решения неравенства
sin 2х> √2 sin² x + (2 − √2) cos² x,
лежащие в интервале (0, 2π).
14.8. При каких значениях α, 0 ≤ α ≤ π, уравнение
2х² − 2(2 cos α − 1)x + 2 cos² α − 5 cos α + 2 = 0 имеет различные действительные корни? Исследуйте знаки корней.
Решите неравенства:
14.9.
14.10.
14.11.
14.12. tg x tg 3x< −1.
14.13.
14.14. Найдите все значения x из интервала 0 <x< π, удовлетворяющие неравенству
14.15. Докажите, что при любом а имеет место неравенство
4 sin 3α + 5 ≥ 4 cos 2α + 5 sin α.
14.16. Решите неравенство
a² sin² x ≤ sin² 3x, а> 0.
14.17. При каких значениях x и у выражение
(2 cos t + ½ cos x cos у ) cos x cos у + 1 + cos x − cos у + cos 2t
положительно при всех значениях t? Укажите, где на координатной плоскости расположены точки (x, у), удовлетворяющие этому условию.
Глава 15Трансцендентные неравенства
Решите неравенства:
15.1. (logsin x 2)² < logsin x (4 sin³ x).
15.2.
15.3. Найдите решения неравенства
log2 cos x> log2 tg x,
удовлетворяющие условию 0 ≤ x ≤ π.
Решите неравенства:
15.4. 4 log16 cos 2х + 2 log4 sin x + log2 cos x + 3 < 0.
15.5. log|cos x + √3 sin x|½ > 0, если 0 ≤ x ≤ 2π.
15.6.sin |lg x| + cos |lg x| > − 1/√2.
15.7.
15.8. arctg √x> arccos (1 − x).
15.9. (4х − x² − 3) log2 (cos² πх + 1) ≥ 1.
15.10.
Глава 16Трансцендентные уравнения
16.1. Докажите, что уравнение
2 sin² x/2 sin² x/6 = 1/x² + x²
не имеет корней.
Решите уравнения:
16.2.
16.3. (tg x)sin x = (ctg x)cos x.
16.4. sin (2х − 1 + 2х − 2) cos (2х − 1 + 2х − 2) = ¼.
16.5. lg sin x + lg sin 5х = lg sec 4х.
16.6. lg² (sin x + 4) + 2 lg (sin x + 4) − 5/4 = 0.
16.7. logsin x (sin x − ¼ cos x) = 3.
16.8. log8 cos² x sin x = ½.
16.9. Найдите положительные решения уравнения
tg [ 5π(½)x] = 1.
16.10. Решите уравнение
lg² cos x + 2 lg cos x + m² + 2m − 3 = 0.
16.11. Для каждого действительного числа а решите уравнение
lg² sin x − 2а lg sin x − а² + 2 = 0.
16.12. Решите систему уравнений
16.13. Решите уравнение
4sin² πx + 4cos² πx = −8x² + 12|x| − ½.
16.14. Решите уравнение
Глава 17Функции и их свойства
17.1. Решите неравенство
4f(x) + g(x) ≤ 0,
если функции f(x) и g(x) удовлетворяют системе
17.2. Сколько различных действительных корней имеет уравнение f(f(x)) = 0, где f(x) = x³ − 6x² + 9x?
17.3. Найдите все целые x и у, удовлетворяющие системе
17.4. Решите систему уравнений
17.5. Дана функция f(x) = 6х² + 2х + 6. Известно, что ее график касается графика первообразной F(x) этой функции в точке, абсцисса которой превосходит число 0,7. Найдите все значения x, для которых
17.6. Изобразите на плоскости (x, у) множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
log(x − у)(x + у) ≥ 1.
17.7. Найдите площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств
17.8. На координатной плоскости заданы точки A(0; 2), B(1; 7), С(10; 7) и D(7; 1). Найдите площадь пятиугольника ABCDE, где E — точка пересечения прямых AC и BD.
17.9. Фигура задана на координатной плоскости системой
Сколько интервалов на прямой у = 2 − x образует ортогональная проекция данной фигуры на эту прямую?
17.10. При каких значениях параметра а уравнение
x² − (а + 3)x + 2а + 7 = 0
имеет 2 различных целых корня?
17.11. В зависимости от а определите число действительных корней уравнения
х4 − (1 − 2а)x² + а² − 1 = 0.
17.12. При каких значениях параметра а уравнение
2(2а − 1) sin 4х − (а + 3) cos 8х + 3а = 1
имеет ровно восемь решений на отрезке [−π, π]?
17.13. На плоскости (x, у) укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых семейства
у = x² + 2(а − 1)x + 2(а − 1)² − 1,
где а — действительное число.
Глава 18Задачи на составление уравнений
При решении задач на составление уравнений основную трудность представляет перевод условия задачи с обычного языка на язык математических символов и уравнений. Наиболее ответственный этап этого процесса — выбор неизвестных. Нельзя шаблонно выбирать в качестве неизвестных величины, стоящие в вопросе задачи. Основное требование, которому должны отвечать выбранные неизвестные, состоит в том, чтобы с их помощью можно было прозрачно записать сформулированные в условии задачи соотношения.
Разберем в качестве примера следующую задачу.
Пример 1. Трое рабочих должны изготовить некоторое число деталей. Сначала к работе приступил первый, а через некоторое
время к нему присоединился второй. Когда 1/6 работы была выполнена, к работе приступил третий. Работу они закончили одновременно. Сколько времени работал первый рабочий, если каждый изготовил одинаковое число деталей, причем третий работал на 2 ч меньше второго? Известно, что первый и второй, работая вместе, могут изготовить требуемое число деталей на 9 ч раньше, чем третий, если бы он работал один.
Известно, что каждый рабочий изготовил одинаковое число деталей, т. е. выполнил треть всей работы. С другой стороны, нет никаких сведений о числе деталей, изготовленных кем-либо в какой-либо промежуток времени. Это означает, что речь идет о работе «вообще», о том, что каждый выполнял какую-то часть этой работы, а потому всю работу следует принять за единицу. Ту же мысль подтверждает и условие, в силу которого третий рабочий приступил к работе, когда