Задача была решена без какой-либо явной формализации, хотя вполне строго. Не составит труда предложить и ее формальное решение.
Обозначим через x массу ягод после усушки. (В условии задачи как раз и требуется найти численное значение x.) Тогда сухое вещество (а его масса равна 1 кг) составляет (100 − 98)%, т. е. 2% от x. Получаем уравнение
0,02 x = 1, или x = 1 : 0,02 = 50 (кг).
Утверждаю: математическая задача средней трудности, как правило, достаточно просто решается путем перевода ее содержательных условий на язык математических символов и соотношений и последующей заботой о том, чтобы каждое условие задачи было эффективно использовано. Трудности возникают, когда мы либо не умеем формализовать задачу, либо не знаем, как использовать какое-то из ее условий, либо недостаточно знакомы с необходимыми для ее решения положениями теории.
Приведем пример еще одной задачи, на этот раз геометрической, решение которой находится сразу, как только правильно использованы все ее условия.
Задача 2. Сумма двух противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равна а. Одна из сторон этого четырехугольника имеет длину b, а смежная с нею — длину c. Найти две другие стороны четырехугольника.
Прежде всего нужно использовать условие задачи, в силу которого четырехугольник описан около окружности, а для этого вспомнить основное свойство такого четырехугольника (если оно доказывается в рамках теоретического курса) или непосредственно вывести это свойство (если в теоретическом курсе его нет).
Обратимся к рисунку и проведем из центра окружности O радиусы в точки ее касания P, R, S, и T со сторонами четырехугольника AB, BC, CD и DA, соответственно.
Каждый из радиусов будет перпендикулярен соответствующей ему касательной, а отрезки двух касательных к окружности, проведенные из одной точки, будут попарно равны, т. е. АТ = АP, PВ = ВR, RС = CS, SD = DT.
Отсюда вытекает простое свойство описанного около окружности четырехугольника: суммы длин его противоположных сторон равны как равносоставленные, т. е. как состоящие из одинаковых по длине отрезков. (Рисунок позволяет убедиться в этом непосредственно.)
Воспользуемся остальными условиями задачи: AB + DC = AD + BC = а. Пусть, например, BC = b, DC = с. Тогда AB = а − с, AD = а − b.
Еще раз обратите внимание: мы не размышляли в поисках решения задачи, а лишь заботились о привлечении необходимых теоретических сведений, позволяющих эффективно использовать ее условия. Если вы наблюдательны, то могли заметить, что мы упомянули о том, что радиусы перпендикулярны своим касательным, но не воспользовались этим фактом. Это не совсем так, ибо косвенно мы к нему обращались. Решая задачу, мы воспользовались теоремой о том, что суммы длин противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равны, и даже наметили доказательство этой содержащейся в школьном курсе теоремы, что, вообще говоря, излишне. Мы воспроизвели идею доказательства теоремы, ибо иначе решение было бы менее понятным. Исчезли бы важные геометрические ассоциации, позволяющие усвоить лежащую в его основе идею. По ходу доказательства мы воспользовались теоремой, в силу которой отрезки двух касательных к окружности, которые проведены из одной точки вне этой окружности, равны. Например, для точки С это будут отрезки SC и RC, т. е. SC = RC. При доказательстве этого
факта устанавливают равенство двух прямоугольных треугольников ORC и OSC (они равны, так как имеют общую гипотенузу OC и катеты OR = OS, равные радиусу окружности).
Когда-то для всех общеобразовательных школ был единый учебник геометрии. Десятилетиями он ежегодно воспроизводился. Содержание курса выпускник должен был знать досконально, а, решая задачи, не перегружать рассуждения доказательством теорем, на которые просто требовалась ссылка. Сейчас учебников много, а в их построении появилось разнообразие. Поэтому подобная жесткость со стороны экзаменатора во многих случаях стала невозможной. В рассуждениях появилось больше свободы, они стали более обыденными и менее таинственными. При очень экономном использовании теоретического курса решение задачи может стать менее понятным. Оно не получает необходимого отклика со стороны уже приобретенного учащимся опыта и не находит необходимой интуитивной поддержки.
Не всегда решить задачу удается так же просто, как в двух рассмотренных примерах. Бывает, что приходится выбирать из нескольких возможных вариантов перевода содержательной задачи на язык математических соотношений. При этом выбор может оказаться неудачным. Приходится отступить и начать сначала. В процессе подготовки к экзаменам вам и предстоит научиться делать правильный выбор в ситуациях, близких к стандартным.
И еще: вам предстоит вести правильный диалог с экзаменатором на устном экзамене и с самим собой — на письменном. Экзаменатор, вслушиваясь в ваш ответ на билет, время от времени будет задавать один и тот же вопрос: «Почему?». Не следует удивляться непонятливости вашего экзаменатора. Он задает этот вопрос, чтобы помочь вам. Вы должны были задать этот вопрос себе сами и своевременно на него ответить. Возможно, вы сочли эту подробность излишней, само собой разумеющейся. Тогда вам нужно правильно ответить на вопрос экзаменатора, и он будет удовлетворен. Но не исключено, что правильного ответа вы попросту не знаете. Первым сигналом неблагополучия станет для экзаменатора ваш недовольный тон. Мол, неужели этот факт не очевиден? Еще хуже, если вы начнете прямо агитировать экзаменатора, призывая его стать
сторонником вашей точки зрения, в справедливости которой вы, конечно же, не сомневаетесь. Выбор средств убеждения бывает у абитуриентов весьма широким. Нет смысла их перечислять, ибо все они, за небольшим исключением, напрасны. Позднее на апелляции абитуриент будет утверждать, что отвечал правильно и полно. Он будет и впредь уверен в своей правоте, если не усвоит, что, во-первых, вопрос «Почему?» экзаменатор задает не из любопытства и не из вредности, а из желания добиться от вас полного ответа на вопрос или обоснованного решения задачи. Во-вторых, вы обязаны знать, что в математике существует ровно шесть различных ответов на вопрос «Почему?». Вот эти ответы:
1) по условию (теоремы, задачи);
2) по сделанному нами предположению;
3) по определению;
4) в силу такой-то аксиомы;
5) в силу такой-то теоремы (следствия, свойства, формулы, соотношения, леммы — тоже являются теоремами);
6) приступаем к доказательству.
Только шестой из этих вариантов позволяет начать ответ словами «Потому что...». Это и означает, что вы приступаете к доказательству. Но даже в этом случае лучше этих слов не произносить, а сказать: «Сейчас мы это утверждение докажем.». Тем более не следует говорить: «Потому что.», когда требуется одна из первых пяти форм ответа на вопрос «Почему?».
Приведем несколько примеров.
Пример 1. Почему квадрат корня квадратного из неотрицательного числа равен самому этому числу? Другими словами, почему
(√a)² = a?
Ответ. По определению квадратного корня.
Пример 2. Почему
Ответ. По определению логарифма.
Вспомните определение квадратного корня: квадратным корнем из неотрицательного числа а (а ≥ 0) называют неотрицательное число √a , квадрат которого равен а.
А теперь повторите определение логарифма: логарифмом положительного числа N (N> 0) по положительному и не равному единице основанию а (а> 0, а ≠ 1) называют такое число logaN, что основание а в степени logaN равно N. Мы убедились в том, что обе формулы (из примеров 1 и 2) представляют собой не что иное, как формальную запись определений квадратного корня и логарифма, соответственно.
Пример 3. Почему две параллельные прямые лежат в одной плоскости?
Ответ. По определению параллельных прямых.
Пример 4. Почему сумма внутренних углов треугольника равна 180°?
Ответ. По теореме о сумме углов треугольника.
Пример 5. Почему сумма всех нечетных чисел, начиная с 1 до 2n + 1, равна квадрату натурального числа n?
Отвечая на этот вопрос, мы не можем сослаться на одну из теорем курса. Поэтому нужно приступить к доказательству. Вы найдете его в главе, посвященной математической индукции.
Задачи
Глава 1Геометрические задачи на плоскости
Обозначения: а, b, с — стороны треугольника; А, В, С — углы, лежащие против этих сторон, соответственно; mа — медиана стороны а; lA — биссектриса угла А; ha — высота, опущенная на сторону а; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; P = 2р — периметр многоугольника.
Длиной биссектрисы внешнего угла А треугольника называется отрезок биссектрисы, заключенный между точкой А и точкой пересечения биссектрисы с продолжением стороны а.
Отношение площадей двух треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, заключающих этот общий угол.
Имеет место формула, выражающая длину медианы треугольника через длины его сторон:.
Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь S = pr.
Площадь четырехугольника: S = ½ d1d2 sin α, где d1 и d2 — длины его диагоналей, а α — угол между ними.
При решении планиметрических задач приходится применять производные пропорции.