Глава 1Геометрические задачи на плоскости
1.1. Треугольник А1BC1 (рис. P.1.1) правильный, так как он подобен данному треугольнику ABC. Точки B, О, О1 и D лежат на одной прямой. Чтобы найти АО1, нужно вычислить O1D. Но O1D = O1D1 − DD1. Отрезок O1D1 равен трети отрезка ВD1, как радиус окружности, вписанной в правильный треугольник А1BC1. Таким образом, O1D1 = 2R/3 . Отрезок DD1 мы найдем, если рассмотрим треугольник ABC, как вписанный в окружность с центром О:
DD1 = R/2.
Отсюда O1D = 2R/3 − R/2 = R/6 . Так как АD = ½ AC = R √3/2, то
Ответ.R √7/3
1.2. B треугольнике AOB (рис. P.1.2) известны: ∠ BAO = α/2 , ∠ AOB = α/2 + π/2, BO = m· По теореме синусов находим AB = m ctg α/2· Теперь можно найти AC и R = ВО1:
AC = 2AD = 2АВ sin (π/2 − α) = 2АВ cos α = 2m ctg α/2 cos α,
Ответ.
1.3. Условие задачи может быть геометрически осуществлено в двух случаях (рис. Р.1.3, а), т. е. когда треугольник либо правильный, либо равнобедренный тупоугольный (докажите). Решить эту задачу можно сразу для обоих случаев. На рис. Р.1.3, б изображены треугольник ABC и треугольник А1В1С1, составленные из средних линий первого треугольника. Треугольник А1В1С1 подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия половина. Следовательно, радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, относятся как один к двум.
1.4. Если сторона а треугольника ABC биссектрисой АА1 разделена на отрезки а1 и а2, то можно записать следующие соотношения (рис Р. 1.4.):
Решая эту систему уравнений относительно a1 и а2, получим
Вычислим аналогично отрезки, на которые разделены стороны b и с треугольника ABC:
Так как отношение площадей треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, между которыми лежит этот общий угол, то
Аналогично находим
Теперь найдем отношение
Ответ.
1.5. Выразим площадь треугольника ABC через радиус r вписанной окружности и углы А, B и С треугольника. Вначале запишем
SABC = SAOB + SBOC + SCOA
(рис. P.1.5).
Так как
SAOB = ½АО · ВО sin OB,
где
и, следовательно, sin ∠AOB = sin A + B/2 = cos C/2 , то
Аналогично находим SBOC и SCOA и вычисляем искомую площадь:
Выразим теперь через r, А, B и С площадь треугольника А1В1С1. Разобьем и его на три треугольника:
Чтобы найти угол А1ОВ1, рассмотрим четырехугольник А1ОВ1С. B этом четырехугольнике два угла прямых, а потому два других — угол А1ОВ1 и угол С — образуют в сумме развернутый угол, т. е. угол А1ОВ1 равен π − С. Аналогично находим углы В1ОС1 и С1ОА1.
Итак,
Остается найти отношение
Ответ. 2 sin A/2 sin B/2 sin C/2 .
1.6. Так как B = 3С, то из соотношения между площадями мы получим
т. е. АС/AB = 2, откуда, в силу теоремы синусов, sin B/sin C = 2. Вспоминая, что по условию B = 3С, придем к тригонометрическому уравнению sin 3С = 2 sin С. Домножим обе части уравнения на cos С, получим sin 3С cos 3С = sin 2С. Преобразовав левую часть в сумму синусов, придем к уравнению
sin 4С + sin 2С = 2 sin 2С, или sin 4С = sin 2С.
Так как C — угол треугольника, меньший 1 (ведь 3C и C — углы одного треугольника), то последнее уравнение может выполняться только в том случае, если
4C = π − 2C, т. е. C = π/6 .
Находим остальные углы:
B = 3С = π/2, A = π/3.
Ответ.π/3, π/6, π/2.
1.7. С одной стороны, площадь треугольника CAD (рис. Р.1.7) можно выразить через стороны b, l и угол между ними, а с другой стороны, — как сумму площадей треугольников АВС и ABD:
Приравнивая эти два выражения, найдем l(b − c) cos A/2 = bc sin A,
или
l(b − c) cos A/2 = 2bc sin A/2 cos A/2.
Так как cos A/2 в треугольнике не может быть равен нулю, то на него можно сократить. Теперь найдем l.
Ответ.
1.8. Воспользуемся сравнением площадей. С одной стороны, S = pr = a + b + c/2r, где через а обозначена искомая сторона. Находим отсюда, что 2S = ar + (b + c)r. С другой стороны, если биссектрису угла А обозначить через la, то
S = ½ lab sin α/2 + ½ lac sin α/2 = ½ la(b + c) sin α/2
(рисунок сделайте самостоятельно). Из последнего равенства находим, что Подставляем в выражение для 2S полученное раньше:
B последнем преобразовании мы учли условие задачи, согласно которому lа = rq. Осталось ввести в рассмотрение радиус R описанной окружности. По условию R = prq. По теореме синусов
a = 2R sin α = 2prq sin α,
откуда r =a/2pq sin α. Полученное соотношение позволяет определить a из последнего выражения для 2S. B самом деле, после подстановки получим
откуда после несложных преобразований найдем a.
Ответ.
1.9. B треугольнике ABC (рис. P.1.9) введем обозначения: ВМ = a1, СМ = a2, АN = b1, СN = b2. Так как ВО — биссектриса треугольника АВМ, то AB : ВМ = АО : ОМ = √3 : 1. Аналогично AB : АN = ВО : ОN = 1 : (√3 − 1). Итак,
Величины a1 и b1 можно выразить через стороны треугольника
a1 = ac/b + с, b1 = bc/а + с.
После подстановки в предыдущие два равенства мы получим два однородных выражения относительно a, b и с:
b + c/a = √3, a + c/b = ½(√3 + 1),
из которых легко найти отношения a : b и с : b. Достаточно переписать эти равенства в виде
1 + с/b = √3a/b, a/b + с/b = ½(√3 + 1).
Получим a/b = √3/c, с/b = ½.
Таким образом, треугольник ABC подобен прямоугольному треугольнику с углами в π/6 и π/3·
Ответ. Углы А, B и С равны π/3, π/2, π/6 соответственно.
1.10. Из треугольника MPA (рис. Р.1.10) находим MP = PA ctg α. Но PA = OA − OP = q/cos α − p. Таким образом,
Находим MQ:
Полезно заметить, что MQ можно было не вычислять, поскольку выражение для MQ должно получиться из выражения для MP с помощью замены p на q, а q на p.
Ответ.
1.11. Пусть AP = 3, CR = 2√2 (рис. Р.1.11) Используя метод «сравнения площадей» для треугольника ABC, получим
3a = 2√2 c.
Так как а = BQ/sin C,