Таким образом, в конце меньшего числа должно быть по крайней мере пять цифр 9. Сумма оставшихся цифр должна быть на 1 меньше числа, которое делится на 11. Например, она может быть равна 10, 21, 32 и т. д. Теперь легко привести примеры:
5 599 999 и 5 600 000, 16 399 999 и 16 400 000,
77 799 999 и 77 800 000, 888 899 999 и 888 900 000.
Этого для решения задачи достаточно. Искать все такие пары не требовалось.
6.14. Сделаем подстановку x = ky и разложим квадратный трехчлен относительно k на множители (при x = 0 и при y = 0 целых решений исходное уравнение не имеет):
3x² − 16xy − 35y² = y²(−k² − 16k − 35) = y²(3k + 5)(k − 7).
Теперь уравнение можно записать так
y²(3k + 5)(k − 7) = −17. (1)
Так как x и y — целые, то k — рациональное число, т. е. k = p/q, где p и q — целые, p ≠ 0, q ≠ 0. После подстановки в (1) получим
(y/q)² (3p + 5q)(7q − p) = 17. (2)
Каждый из множителей в левой части (2) — целое число. При этом
(y/q)² = 1.
Иначе в правой части было бы два одинаковых целых множителя, отличных от ± 1. Остается рассмотреть варианты:
Вторая и четвертая системы не имеют целых решений. А первая и третья дают нам соответственно p1 = −3, q1 = 2; p2 = 3, q2 = −2.
Поскольку (y/q)² = 1, находим два решения системы.
Ответ. (−3, 2), (3, −2).
6.15. Если x = а, y = b — решение уравнения, то это уравнение имеет еще три решения: (−а, b), (а, −b), (−а, −b).
Запишем уравнение в виде (x − 2y)(x + 2y) = 5² · 9 · 89 и рассмотрим только неотрицательные значения сомножителей: x − 2y ≥ 0, x + 2y ≥ 0. Кроме того, x + 2y ≥ x − 2y. Поэтому нужно рассмотреть только системы:
Их решениями будут соответственно:
(10 013, 5006), (3339, 1668), (2005, 1000), (1117, 554), (675, 330), (413, 194), (245, 100), (157, 34).
Каждое из этих восьми решений дает еще 3 решения.
Если решение системы
то решение системы
Таким образом, рассмотрение случая, когда число 3² · 5² · 89 разбивается на два отрицательных целочисленных множителя, к новым решениям не приведет.
Ответ. 32 целочисленных решения.
6.16. Запишем исходное условие в виде
44x − 11 = 69(y − x), или 11(4x − 1) = 69(y − x).
Числа 11 и 69 взаимно простые, т. е. не имеют общих натуральных множителей, больших 1. Поэтому число 4x − 1 кратно 69, а число y − xкратно 11:
4x − 1 = 69k, y − x = 11n,
где k и n — натуральные числа.
Воспользуемся тем, что 69k + 1 = 4x, т. е. левая часть этого равенства делится на 4. Запишем его в виде: 68k + k + 1 = 4x, откуда k = 4m − 1. B качестве k могут быть использованы числа 3, 7, 11, 15, ... Проверим первое из них, которому соответствует минимально возможное значение x: 68 · 3 + 4 = 4х, т. е. x = 52. Поскольку y = x + 11n, то рассмотрим значения y по мере возрастания n. Минимальное значение y будет соответствовать минимальному значению n. При n = 1 получим y = 63.
Ответ. (52; 63).
Глава 7Алгебраические преобразования
7.1.
Ответ.
7.2. Перепишем данное выражение так:
Числитель второй дроби теперь легко разложить на множители. Со знаменателем дело обстоит несколько труднее. Однако в первую очередь нас интересует, делится ли знаменатель на 1 + x − x². Проверяем с помощью деления углом (проделайте это самостоятельно) и убеждаемся, что
x4 − x² − 2x − 1 = (1 + x − x²)(−x² − x − 1).
Таким образом,
Ответ.
7.3. Приведем первые два слагаемых к общему знаменателю. Получим
где А и B — соответственно многочлены, входящие множителями в первое и во второе слагаемые.
Раскроем в числителе скобки и приведем подобные. После этого останется
Преобразуем третье слагаемое:
Остается вычесть его из предыдущего результата.
Ответ. это выражение положительно при x ≠ 0.
7.4. Домножив дробь на получим
Остается вычесть 2√b и данное выражение примет вид
Ответ.
7.5. Вынесем за скобки и воспользуемся выражением x через а:
Ответ. 0.
7.6. Преобразуем данное выражение:
Так как 1 ≤ x ≤ 2, то 0 ≤ x − 1 ≤ 1 и, следовательно, т. е. Поэтому
Ответ. 2.
7.7. Так как 9 + 4√2 = (2√2 + 1)², то
Остается преобразовать
Если догадка, что
43 + 30√2 = 25 + 2 · 5 · 3√2 + 18 = (5 + 3√2)²,
кажется вам неестественной, то воспользуйтесь формулой сложного радикала
Ответ. 5 + 3√2.
7.8. Перепишем данное выражение в виде
(z² − y²)(xу + zu) + (x² − u²)(xу + zu) + (y² − z²)(xz + уu) + (x² − u²) × (xz + уu) = (z² − y²)(xу + zu − xz − уu) + (x² − u²)(xу + zu + xz + уu).
Так как
xу + zu − xz − уu = x(y − z) − u(y − z) = (y − z)(x − u),
xу + zu + xz + уu = (y + z)(x + u),
то получим
(z − y)(z + y)(y − z)(x − u) + (x − u)(x + u)(y + z)(x + u) = (x − u)(y + z)[−(y − z)² + (x + u)²].
Ответ. (x − u)(y + z)(x + u − y + z)(x + u + y − z).
7.9. Обозначим
Возведем в куб. Получим
Произведение корней преобразуем так:
выражение в скобках равно z. Придем к уравнению
z³ − 5z − 12 = 0.
Так как z = 3 — корень этого уравнения, в чем убеждаемся проверкой, то преобразуем уравнение к виду
z³ − 9z + 4z − 12 = 0, или (z − 3)(z² + 3z + 4) = 0.
Уравнение z² + 3z + 4 = 0 не имеет действительных корней. Следовательно, z = 3, что и требовалось доказать.
7.10. По условию а + b = −с. Возведем в куб
а³ + b³ + 3аb(а + b) = −с³
и заменим а + b на −с. Получим
а³ + b³ + с³ = 3аbс.
Возведем а + b + с = 0 в квадрат
а² + b² + с² = −2(ab + ас + bc)
и еще раз возведем в квадрат
а4 + b4 + с4 + 2(а²b² + а²с² + b²с²) = 4[а²b² + а²с² + b²с² + 2(а²bc + b²ас + с²ab)].
Поскольку а²bc + b²ас + с²ab = аbс(а + b + с) = 0, то
а4 + b4 + с4 = 2(а²b² + а²с² + b²с²).
Преобразуем левую часть тождества, которое нужно доказать:
а5(b² + с²) + b5(а² + с²) + с5(а² + b²) = а²b²(а³ + b³) + а²с²(а³ + с³) + b³с²(b³ + с³).
Заменим а³ + b³ на 3аbс − с³ и поступим аналогично с остальными скобками:
что и требовалось доказать.
7.11. Если данное равенство доказано при x ≥ 0 и любом y, то оно верно для всех x и y. Действительно, пусть x< 0. Тогда левую часть можно записать в виде
|−(x + y)| + |−(x − y)| = |(−x) − y)| + |(−x) + y|,
а правую — в виде
Поскольку −x> 0, то равенство стоящих справа выражений будет доказано.
Итак, пусть x ≥ 0. Рассмотрим два случая: |y| ≤ x и |y| >x.
1. x ≥ 0, |y| ≤ x, т. е. −x ≤ y ≤ x. Тогда x² − y² ≥ 0 и — неотрицательное действительное число. Кроме того и равенство примет вид
2. x ≥ 0, |y| >x, т. е. y< −x или y>x. Левая часть равенства в этом случае равна 2|y| (случаи y< −x и y>x разберите самостоятельно). Так как |y| >x, то следовательно,
Тем самым доказательство тождества закончено.