а = −p, b = 1/q. Подставляя в оставшиеся два уравнения, получим
Второе уравнение можно переписать так: p(q − 1/q) = 0.
Если p = 0, то первое уравнение не имеет действительных решений. Остается q = 1/q, т. е. q = ±1. Подставляя найденные значения q в первое уравнение, увидим, что, когда q = 1, р² = 2 и p = ±√2, а когда q = −1, р² = −2 и действительных решений нет. Итак, получаем две возможности: либо p = √2 и q = 1, либо p = −√2 и q = 1.
Чтобы закончить решение, нужно сделать проверку. Можно было бы разделить x4 + 1 поочередно на каждый из двух трехчленов: x² + √2 x + 1 и x² − √2 x + 1. Однако проще убедиться, что
x4 + 1 = (x² + √2 x + 1)(x² − √2 x + 1).
Ответ.р1 = − √2, q1 = 1; р2 = √2, q2 = 1.
8.14. После замены x − 1 = y получим многочлен
(y + 1)2n + 1 − (2п + 1)(y + 1)n + 1 + (2п + 1)(y + 1)n − 1,
который должен делиться на y³. Вычислим его коэффициенты при y0, y1 и y2.
Свободный член этого многочлена равен
1 − (2n + 1) + (2n + 1) − 1 = 0;
коэффициент при y
2n + 1 − (2n + 1)(n + 1) + (2n + 1)n = 0;
коэффициент при y²
Тем самым утверждение доказано.
8.15. Чтобы данный многочлен делился на x² − x + q без остатка, должно выполняться тождество
6х4 − 7x³ + рх² + 3x + 2 = (x² − x + q)(6х² + ax + b).
B правой части стоит многочлен
6x4 + (а − 6)x³ + (b − а + 6q)x² + (−b + qа)x + qb.
Так как многочлены равны тождественно, получаем систему
Из первого уравнения а = −1. Из третьего и четвертого уравнений исключаем b. Приходим к уравнению
q² + 3q + 2 = 0,
откуда
q1 = −1, q2 = −2.
Сложив второе и третье уравнения, также исключим b:
5q − 2 = p.
Следовательно,
р1 = −7, p2 = −12.
Итак, возможны два решения.
Ответ.
Глава 9Алгебраические уравнения и системы
Ответы к упражнениям на с. 42, 43 и 52.
1. Абсолютное тождество, так как верно при всех без исключения значениях x.
2. Абсолютное тождество. Верно при x ≠ π/2 + kπ. Если же x = π/2 + kπ, то обе части теряют смысл.
3. Неабсолютное тождество. Область определения левой части: x ≠ π/2 + kπ, область определения правой части: x ≠ kπ/2.
4—6. Тождество 4 является абсолютным, поскольку это определение секанса. Тождества 5 и 6 неабсолютные, так как правые части определены всегда, в то время как левые могут терять смысл.
7—8. Тождество 7 абсолютное. B самом деле, левая часть теряет смысл при cos x/2 = 0. Правая часть может быть записана в виде т. е. тоже теряет смысл при cos x/2 = 0.
Тождество 8 неабсолютное. Левая часть теряет смысл при cos x/2 = 0, а правая, которая может быть записана в виде перестает существовать как при cos x/2 = 0, так и при sin x/2 = 0.
9—10. Левую часть равенства 9 можно преобразовать так:
ctg 2x = cos 2x/sin 2x = cos 2x/2sin x cos x,
а правую записать в виде
Обе части этого равенства перестают существовать одновременно, если либо cos x = 0, либо sin x = 0, следовательно, тождество 9 абсолютное.
Тождество 10 является неабсолютным, поскольку при x = π/2(2n + 1) левая часть равна нулю, а правая теряет смысл.
11—13. Первое из этих трех тождеств неабсолютное, второе и третье — абсолютные.
14—16. Первое и второе тождества неабсолютные, третье — абсолютное.
B самом деле, для первого область определения левой части: x> 0, y> 0; x< 0, y< 0, а область определения правой части: x ≠ 0; y ≠ 0. Для второго область определения левой части x ≠ 0, а область определения правой части x> 0.
Наконец, для третьего x ≠ 0 для обеих частей тождества.
17. Пусть x = а — корень данного уравнения. Тогда f(а) = φ(а). Поскольку ψ(x) существует при всех x, то ψ(а) — число; следовательно,
f(a) + ψ(а) = φ(а) + ψ(а). (1)
Таким образом, x = а — корень уравнения
f(x) + ψ(x) = φ(x) + ψ(x). (2)
Обратно: если x = а — корень (2), то имеет место равенство (1), а потому x = а — корень уравнения f(x) = φ(x).
Вторую часть теоремы доказывает пример. B самом деле, достаточно рассмотреть два уравнения:
x − 1 = 0 и x − 1 + 1/x − 1 = 1/x − 1,
первое из которых имеет единственный корень x = 1, а второе вовсе не имеет корней, так как при x = 1 оно теряет смысл.
18. Доказательство аналогично 17. Даже пример можно взять тот же самый.
19—19а. Для доказательства достаточно заметить, что посторонними для данного уравнения могут быть те корни уравнения
f(x) = ψ(x),
для которых φ(x) либо не существует, либо обращается в нуль.
20. Если f(а) = φ(а), то [f(а)]² = [φ(а)]². Обратно: из второго равенства следует, что либо f(а) = φ(а), либо f(а) = −φ(а).
21. Система равносильна совокупности четырех систем:
22. Доказательство непосредственно следует из свойств пропорций.
9.1. При x< −2 получим
−x + 2x + 2 − 3x − 6 = 0,
т. е. x = −2, что противоречит предположению. Таким образом, при x< −2 уравнение не имеет решений.
При −2 ≤ x ≤ −1 получим x = −2.
При −1 <x ≤ 0 уравнение обращается в ложное числовое равенство 4 = 0. На этом интервале нет решений.
Наконец, при x> 0 получаем x = −2, что снова противоречит ограничению.
Ответ.x = −2.
9.2. Пусть x² = y. Тогда
|y − 9| + |y − 4| = 5.
Точки y = 4 и y = 9 разбивают числовую ось на три интервала.
Если y< 4, уравнение примет вид
9 − y + 4 − y = 5,
откуда y = 4. Это значение не принадлежит выбранному интервалу.
Если 4 ≤ y ≤ 9, то знаки абсолютной величины следует раскрыть так:
9 − y + y − 4 = 5, т. е. 5 = 5.
Так как уравнение обратилось в верное числовое равенство, то все значения y из интервала 4 ≤ y ≤ 8 являются решениями.
При y> 9 получим
y − 9 + y − 4 = 5,
т. е. y = 9. Здесь снова нет решений. Вспоминая, что y = x², запишем
4 ≤ x² ≤ 9, или 2 ≤ |x| ≤ 3.
Ответ. −3 ≤ x ≤ −2; 2 ≤ x ≤ 3.
9.3. Способ 1. Дополним стоящую слева сумму квадратов до полного квадрата:
(x − 3x/3 + x)² + 6x²/3 + x − 7 = 0,
т. е.
(x²/3 + x)² + 6x²/3 + x − 7 = 0,
откуда получаем совокупность уравнений:
x²/3 + x = −7, x²/3 + x = 1.
Действительных решений y этой совокупности уравнений нет.
Способ 2. Введем новое неизвестное:
3x/3 + x = u, или 3x = 3u + xu.
Получим систему
Вычитая из первого уравнения удвоенное второе, придем к уравнению относительно x − u
(x − u)² + 6(x − u) − 7 = 0, откуда следует совокупность двух уравнений:
x − u = −7, x − u = 1.
Решая каждое из этих уравнений, убедимся, что действительных корней нет.
Ответ. Решений нет.
9.4. Возведем данное уравнение в куб:
Стоящий в скобках в левой части уравнения двучлен заменим правой частью данного уравнения и приведем подобные члены:
Такая замена может привести к появлению посторонних корней. B самом деле, при возведении а + b = с в куб мы получаем равенство, справедливое при всех тех же значениях