а, b и с, что и данное равенство. После замены же мы получим
а³ + b³ + 3аbс = с³.
Это равенство удовлетворяется при а = b = 1, с = −1, в то время как исходное равенство а + b = с при этих значениях букв ложно. Следовательно, мы должны завершить решение проверкой.
Возведем последнее иррациональное уравнение в куб. После сокращения получим
4х(2x − 3)(x − 1) = 9(x − 1)³.
Один корень этого уравнения x1 = 1; остается квадратное уравнение
x² − 6х + 9 = 0, x2,3 = 3.
Сделав проверку, убеждаемся, что найденные корни подходят.
Ответ.x1 = 1; x2,3 = 3.
9.5. Пусть Придем к системе
Это — симметрическая система, ее обычно решают подстановкой: и + V = в, ии = _. Поэтому преобразуем левую часть первого уравнения:
u4 + v4 = (u² + v²)² − 2u²v² = [(u + v)² − 2uv]² − 2u²v² = (64 − 2t)² − 2t² = 64² − 256t + 2t².
Поскольку все это равно 706, получаем квадратное уравнение
t² − 128t + 1695 = 0,
откуда
t1 = 15, t2 = 113.
Остается решить совокупность двух систем:
Решая первую, найдем v1 = 3, v2 = 5, откуда x1 = 4, x2 = 548. Вторая не имеет действительных решений.
Проверкой убеждаемся, что найденные корни удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ.x1 = 4; x2 = 548.
9.6. Введем новые неизвестные:
Получим систему
Обозначим u + v = p. Так как в силу первого уравнения системы u − v = 1, то u = p + 1/2, v = p − 1/2. Второе уравнение системы примет вид
(p + 1/2)5 − (p − 1/2)5 = 31,
или после очевидных упрощений
р4 + 2р² − 99 = 0.
Это биквадратное уравнение имеет два действительных корня р1 = −3, р2 = 3. Зная р1 и р2, найдем u1 = −1, u2 = 2, откуда получим два уравнения для определения значений x:
x² − 34x + 32 = 0, x² − 34x + 65 = 0.
Решив эти уравнения, найдем четыре корня.
Ответ.
9.7. Введем новые неизвестные:
т. е. u4 + v4 = а − b.
Получаем систему
Заменяя во втором уравнении а − b на u4 + v4, получим
откуда
u5 + v5 − uv4 − и4v = 0, где u + v ≠ 0,
т. е.
u4(u − v) − v4(u − v) = 0,
а потому
(u − v)²(u² + v²)(u + v) = 0.
Так как последние два множителя в нуль обратиться не могут, то остается и = v, т. е. а − x = x − b, и, следовательно,
x = а + b/2.
Проверкой убеждаемся, что это — корень исходного уравнения, если а>b.
Ответ. При а>b имеем x = а + b/2.
9.8. Обозначив получим систему уравнений
Вычитаем из первого уравнения второе:
x + y = (y − x)(x + y).
Если x + y = 0, то x = y = 0, поскольку и x, и y неотрицательны. Так как то из x = y = 0 следует, что а = 0. Проверкой убеждаемся, что найден корень данного уравнения.
Если x + y ≠ 0, то y − x − 1 = 0, откуда и x² + x + 1 − а = 0. Решая квадратное уравнение, найдем Остается исследовать, при каких значениях а эти корни вещественны и удовлетворяют исходному уравнению.
Во-первых, необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным, т. е. а ≥ ¾ .
Во-вторых, корень данного уравнения не должен быть отрицательным. Один из корней при всех а ≥ ¾ отрицателен, а потому не подходит. Другой корень больше или равен нулю, если т. е. а ≥ 1.
Проверкой убеждаемся, что удовлетворяет первоначальному уравнению. B самом деле, подставляя x1 в это уравнение, получим что выполняется одновременно с равенством так как x ≥ 0. Значение х1 было найдено из уравнения Поэтому можно осуществить в полученном нами равенстве соответствующую замену:
a − 1 − x1 = x1².
Так как в результате мы пришли к уравнению, из которого определили х1, то проверку можно считать законченной.
Ответ.x = 0, если а = 0, и если а ≥ 1.
9.9. Перенесем в правую часть уравнения:
и возведем обе части в квадрат. Получим
откуда при а ≠ 0
Делаем проверку, подставляя найденное значение x в данное уравнение. B левой части получим
Чтобы вычислить это выражение, нужно рассмотреть четыре различных случая, так как значения −1, 0, +1 параметра а разбивают числовую ось на четыре интервала. Однако легко заметить, что а> 0, так как разность, стоящая в левой части исходного уравнения, всегда положительна. Следовательно, остается рассмотреть только два случая.
Если 0 <а ≤ 1, то
Если же а> 1, то
Число 1/а равно числу а только при а = ±1, а по предположению а> 1.
Ответ. если 0 <а ≤ 1.
9.10. Рассмотрим два случая.
Если 2x² − 3x − 2 ≥ 0, т. е.x ≤ −½, x ≥ 2, получим уравнение
4х² + 5х − 2(1 + β) = 0.
Корни этого уравнения должны лежать вне интервала (−½, 2).
Неравенство
удовлетворяется при β ≥ −57/32. Больше двух этот корень быть не может.
Для x2 нужно решить два неравенства:
Первое выполняется при −57/32 ≤ β ≤ −7/4, а второе — при β ≥ 12.
Пусть теперь 2x² − 3x − 2 < 0, т. е. −½ <x< 2. Данное уравнение станет линейным и мы найдем
x3 = 2(β − 1)/11.
Решим неравенство
−½ <2(β − 1)/11< 2
и получим
−7/4< β < 12.
Итак, при β = −57/32 корни х1 и х2 совпадают, а корень х3 не существует, т. е. уравнение имеет единственное решение x = −5/8. Если −57/32< β ≤ −7/4, то уравнение имеет два решения: х1 и х2 (которые, очевидно, различны); если −7/4 < β ≤ 12, то х1 и х3; а если β ≥ 12, то два решения: х1 и х2.
Корни х1 и х3 различны, так как −½ <х3< 2, а х1 лежит вне этого интервала.
Ответ. β = −57/32.
9.11. Если x ≥ 0, y ≥ 0, то получим систему
Если x ≥ 0, y ≤ 0, то
Если x ≤ 0, y ≥ 0, то
Если x ≤ 0, y ≤ 0, то
Каждое из четырех решений удовлетворяет записанным ограничениям.
Ответ. (2, 1); (0, −3); (−6, 9); (0, −3).
9.12. Исключая последовательно y и x, найдем
x = k + 16/7, y = 8 − 3k/7.
Остается решить систему неравенств
Первое неравенство равносильно такому:
(k + 8 + √71 )(k + 8 − √71 )k> 0.
Приходим к системе
Так как −8 + √71 <8/3, то условию задачи удовлетворяют два интервала.
Ответ. −8 − √71 <k< 0; −8 + √71 <k<8/3.
9.13. Если x ≥ −у и x ≥ y, то получим системы
которая при x ≥ −у и x ≥ y имеет решение
x ≥ |a|/2, y = а/2
при условии а = −b.
Если x ≥ −у, но x ≤ y, то
Из условия x ≥ −у находим −b/2 ≥ −а/2, а из второго условия: −b/2 ≤ а/2. Оба этих неравенства соответствуют условию а ≥ |b|.
Если x ≤ −у, а x ≥ y, то
Подставляя найденные значения x и y в ограничения, получим b ≥ |а|.
Наконец, если x ≤ − у, x ≤ y, получим
Это значит, что а = b. Так как y ≥ x, но y ≤ −х, то −x ≥ 0. Окончательно получим при