а = b ≥ 0
x = −а/2, −а/2 ≤ y ≤ а/2.
Ответ. При а = −b, x ≥ |а|/2, y = а/2; при а ≥ |b|, x = −b/2, y = а/2; при b ≥ |a|, x = −а/2, y = −b/2; при а = b ≥ 0, x = −а/2, −а/2 ≤ y ≤ а/2.
9.14. Уравнение x² + y² = а при а< 0 не имеет решений. Если а ≥ 0, то это — уравнение окружности радиуса √a с центром в начале координат. Второе уравнение определяет стороны квадрата, диагонали которого равны 2 и расположены на осях координат (рис. P.9.14).
При увеличении а окружность будет увеличиваться и сначала окажется вписанной в квадрат, затем пересечет его в восьми точках и, наконец, будет описана около квадрата.
Итак, если √а<√2/2, то система не имеет решений.
Если √а = √2/2, т. е. а = ½, получим четыре решения: x = ½, y = ½ и три симметричных: (−½, ½), (−½, −½), (½, ½).
Если ½ <а< 1, то восемь решений. Мы найдем их, возведя первое уравнение в квадрат и получив с помощью второго уравнения, что |x| · |y| = 1 − a/2. B результате придем к системе
которая при положительных x и y имеет два решения:
К этим решениям нужно добавить шесть симметричных.
Если а = 1, то y системы четыре решения: x1 = 1, y1 = 0; x2 = 0, y2 = 1; х3 = −1, у3 = 0; х4 = 0, у4 = −1. При а> 1 решений нет.
9.15. Если либо x = 0, либо y = 0, то второе неизвестное тоже равно нулю. Получаем очевидное решение
x1 = 0, y1 = 0.
Если ху ≠ 0, то можно первое уравнение разделить на ху, а второе — на x²y². Получим систему
Введем обозначения:
x + 1/x = u, y + 1/y = v.
Возводя каждое из этих равенств в квадрат, получим x² + 1/x² = u² − 2, y² + 1/y² = v² − 2.
Система примет вид
Решая ее, найдем: u1 = 4, v1 = 14; u2 = 14, v2 = 4. (Если первое уравнение возвести в квадрат и сравнить со вторым, то получим uv = 56.) Остается решить две системы:
в результате чего получим восемь решений.
Ответ. (0, 0); (2 + √3, 7 + 4√3); (2 + √3, 7 − 4√3); (2 − √3 , 7 + 4√3 ); (2 − √3, 7 − 4√3 ); (7 + 4√3 , 2 + √3); (7 + 4√3, 2 − √3); (7 − 4√3, 2 + √3); (7 − 4√3, 2 − √3).
9.16. Способ 1. Из первого уравнения находим
y − z = ху − x.
Подставляя во второе, получим
xz = 2(x − ху + x), т. е. xz = 2x(2 − y).
Если x = 0, то система принимает вид
Получаем два решения системы:
x1 = 0, y1 = 0, z1 = 0;
x2 = 0, y2 = 6, z2 = 6.
Если x ≠ 0, то z = 2(2 − y). Подставляем во второе и третье уравнения
Подставим x из первого уравнения во второе:
7у − 2у² = −3ху + 9у.
Если y = 0, то получаем еще одно решение:
x3 = 4, y3 = 0, z3 = 4.
Если y ≠ 0, то 3x − 2y = 2, откуда x = 2(y + 1)/3. Подставляем в первое уравнение последней системы уравнение, которое превращается в квадратное относительно y:
2у² − 9у + 10 = 0,
откуда y4 = 2, y5 = 3 . Делаем проверку.
Способ 2. Запишем систему в виде
и сделаем три парных сложения
Отсюда находим решения:
а) x = y = z = 0;
б)
в) если x = 0, то y = z = 6;
г) если y = 0, то
д) если z = 0, то
Ответ. (0, 0, 0); (0, 6, 6); (4, 0, 4); (2, 2, 0); ( 7/3, 5/2, −1).
9.17. Возведем уравнение x + y = −z в квадрат:
x² + y² + 2ху = z²,
и сравним со вторым уравнением системы; найдем ху = −10.
Преобразуем сумму x4 + y4 из третьего уравнения следующим образом:
x4 + y4 = (x² + y²)² − 2x²y² = (20 + z²)² − 200,
где на последнем шаге были использованы второе уравнение системы и найденное значение для ху. Подставив это выражение в третье уравнение системы, получим
z² = 9, т. е. z = ±3.
Остается решить каждую из систем:
Производим проверку.
Ответ. (−2, 5, −3); (5, −2, −3); (2, −5, 3); (−5, 2, 3).
9.18. Третье уравнение можно записать так:
(x + y)(x² − ху + y²) + (z − 1)(z² + z + 1) = 0.
Из первого уравнения мы знаем, что x + y = 1 − z. Поэтому
(1 − z)(x² − ху + y² − z² − z − 1) = 0.
Если z = 1, то x + y = 0. Тогда из второго уравнения получим ху = −4. B итоге — два решения:
x1 = 2, y1 = −2, z1 = 1;
x2 = −2, y2 = 2, z2 = 1.
Если же 1 − z ≠ 0, то
x² − ху + y² − z² − z − 1 = 0. (3)
Чтобы упростить уравнение (3), снова воспользуемся тем, что x + y = 1 − z, а потому
x² + 2ху + y² = 1 − 2z + z². (4)
Вычитая уравнение (4) из уравнения (3), получим
ху = −z.
Теперь второе уравнение исходной системы
ху + z(x + y) = −4
можно переписать как уравнение относительно z
−z + z(1 − z) = −4.
Решая его, найдем, что либо z = −2, либо z = 2. B первом случае мы приходим к системе
Во втором случае получаем
После того как были найдены первые два решения, решение системы можно было закончить следующим рассуждением.
Данная система симметрична относительно x, y и z. Поэтому одно ее решение (2, −2, 1) порождает 3! = 6 решений, получающихся в результате всевозможных перестановок. Таким образом, мы получим шесть различных решений системы.
С другой стороны, можно доказать, что система может иметь не больше решений, чем произведение степеней ее уравнений: 1 · 2 · 3 = 6. Поскольку все шесть решений найдены, решение системы можно считать законченным, если проверить одно из найденных решений.
Ответ. (2, −2, 1); (−2, 2, 1); (1, 2, −2); (2, 1, −2), (−2, 1, 2); (1, −2, 2).
9.19. Рассмотрим многочлен M(t) = (t − x)(t − y)(t − z) + d. Его корнями по условию являются не совпадающие друг с другом числа а, b и с, следовательно,
M(t) = (t − а)(t − b)(t − с), или (t − а)(t − b)(t − с) ≡ (t − x)(t − y)(t − z) + d.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, найдем
x + y + z = а + b + с = u,
ху + хz + уz = ab + ас + bc = v,
xyz = аbс + d = w
(справа указаны вводимые нами обозначения).
Поскольку нужно найти сумму x³ + y³ + z³, выразим ее через u, v и w, осуществив непосредственное возведение в куб суммы x + y + z = u:
u³ = x³ + y³ + z³ + 3uv − 3w (5)
(необходимые выкладки проведите самостоятельно). Запишем теперь то же соотношение для а + b + с = u и тем самым выразим а³ + b³ + с³ через u, v и w:
u³ = а³ + b³ + с³ + 3uv − 3(w − d). (6)
Вычитая из (6) соотношение (5), получим
x³ + y³ + z³ = а³ + b³ + с³ + 3d.
Ответ.а³ + b³ + с³ + 3d.
9.20. Умножив первое уравнение на ху²z², а второе — на x²уz², получим y первых двух уравнений равные правые части:
При этом могут быть получены посторонние решения, y которых одно из неизвестных обращается в нуль. Эти решения можно сразу отбросить, так как система в этом случае не удовлетворяется.