x² = u и y² = v:
Чтобы эта система была равносильна предыдущей (при замене неизвестных равносильность может быть нарушена!), достаточно потребовать выполнения неравенств
u> 0, v> 0.
Раскрыв в последней системе уравнений скобки, получим
Вычитая из первого уравнения второе, найдем
u − v = а² − b²,
т. е. u = v + а² − b². Подставим в первое уравнение последней системы, получим квадратное уравнение относительно v:
v² + (а² − b² − 1)v + b² = 0,
откуда
Вычисляем u:
(У u и v, входящих в одно решение, берутся одноименные знаки.)
Подкоренное выражение можно преобразовать следующим образом:
(1 − а² + b²)² − 4b² = (1 − а² + b² − 2b)(1 − а² + b² + 2b) = [(1 − b)² − а²][(1 + b)² − а²] = (1 − b − а)(1 − b + а)(1 + b − а)(1 + b + а).
Так как а>b> 0 и а + b< 1, то каждый из четырех множителей положителен и дискриминант тоже положителен.
Если перед корнем выбран знак плюс, то u и v положительны. Докажем, что v> 0. Имеем а² − b² = (а − b)(а + b) <а − b<а − b + 2b = а + b< 1. Следовательно, 1 − а² + b² > 0 и, обращаясь к выражению для v, находим, что v> 0. Так как а>b, то очевидно, что и u> 0.
Если перед корнем выбран знак минус, то нужно проверить, что u и v положительны. Так как а>b, то проверку достаточно провести для v, которое меньше u.
Неравенство очевидно.
Нетрудно проследить, что в процессе решения системы уравнений относительно u и v при условии, что u и v положительны, мы не нарушали равносильности.
Способ 2. Эту систему естественно было бы решать с помощью подстановки x = sin φ, y = sin ψ, где 0 < φ <π/2, 0 < ψ <π/2. Такая подстановка возможна, поскольку из имеющихся в условии ограничений легко получить, что 0 <x< 1, 0 <y< 1. Получим систему
Складывая и вычитая уравнения этой системы, найдем
Так как по условию 0 <а + b< 1 и 0 <а − b< 1, а на φ и ψ были наложены ограничения 0 < φ <π/2, 0 < ψ <π/2, то можно написать
или
Из первой системы получим
Найдем sin φ1 и sin ψ1:
где α = arcsin (а + b), β = arcsin (а − b). (При выборе знаков перед корнями мы здесь и в дальнейшем принимаем во внимание ограничения на φ и ψ: 0 < φ <π/2, 0 < ψ <π/2.) Продолжим преобразования:
Нетрудно убедиться в том, что
[1 − (а + b)²][1 − (а − b)²] = (1 − а² + b²)² − 4b².
Аналогично найдем sin ψ1, а также sin φ2 и sin ψ2.
Ответ. Если а>b> 0, а + b< 1, то система имеет два решения:
9.30. Наряду с решением x1, y1, z1 система обязательно имеет решение −х1, −у1, z1. Поэтому у системы будет единственное решение только в том случае, когда x = y = 0.
Подставляя x = y = 0 в исходную систему, получим
откуда либо а = b = 2, либо а = b = −2.
Проверим, действительно ли при найденных значениях а и b система имеет единственное решение.
Если а = b = 2, то из первого уравнения находим
xyz = 2 − z.
Подставляя во второе, получим квадратное уравнение относительно z:
z² − 3z + 2 = 0,
корни которого z1 = 1, z2 = 2.
При z = 1 получим систему
которая, как легко проверить, имеет четыре решения.
Таким образом, значения параметров а = b = 2 не удовлетворяют условию задачи.
Если а = b = −2, то из первого уравнения найдем
xyz = −2 − z.
Подставляем во второе:
z² + z − 2 = 0,
откуда z1 = −2, z2 = 1.
При z = −2 приходим к системе
имеющей единственное решение x = y = 0. При z = 1 получаем систему
Подставляем во второе уравнение y = −3/x и убеждаемся, что уравнение x4 − 3x² + 9 = 0, которое получается в результате, имеет только мнимые корни.
Ответ.a = b = −2.
9.31. По условию y = −x. Данные уравнения примут вид
Если а ≠ −1, то, найдя x³ из первого и второго уравнений, приравняем полученные выражения
½(а + 1) = 1/2 − a, т. е. а² − а = 0,
откуда а = 0 или а = 1.
Условию задачи могут удовлетворить только три значения параметра а:
−1, 0, 1,
которые нужно проверить.
Если а = −1, то из первого уравнения найдем y = −x, а из второго уравнения найдем x³ = ⅓ и , а следовательно, Найденные значения неизвестных удовлетворяют и условию x + y = 0.
Если а = 0, то из первого уравнения: а из второго: Это значит, что при а = 0 система имеет два решения:
По условию любое решение должно удовлетворять требованию x + y = 0, между тем первое решение этому требованию не удовлетворяет. Значение а = 0 мы должны отбросить.
Осталось рассмотреть случай, когда а = 1. B этом случае получим систему
Так как правые части отличны от нуля, то разделим первое уравнение на второе, откуда x + y = 0. Поскольку условие x + y = 0 теперь автоматически выполняется для любого решения системы, то нужно убедиться, что y этой системы есть хотя бы одно решение. Таким решением является x = 1, y = −1. (Докажите.)
Ответ. ±1.
9.32. Так как система должна иметь хотя бы одно решение при любом b, то она должна иметь решение и при b = 0. Положив b = 0, получим систему
Первое уравнение удовлетворяется либо при а = 0 и любом x, либо при x = 0. Если x = 0, то из второго уравнения получаем а = 1. Итак, возможны только два значения: а = 0 и а = 1.
При а = 0 получаем систему
Первое уравнение имеет решение при любом b, только если y = 0. Однако это значение y не удовлетворяет второму уравнению.
Остается рассмотреть случай а = 1. Система примет вид
При любом b эта система имеет решение x = y = 0.
Ответ. 1.
9.33. Пусть (х1, у1) — решение системы. Тогда второе уравнение удовлетворяется еще тремя парами значений неизвестных (−x1, y1), (x1, −y1), (−x1, −y1). Легко убедиться, что первое уравнение наряду с (x1, y1) имеет также решение (x1, −y1):
Таким образом, система может иметь единственное решение лишь при условии, что y1 = −y1, т. е. y = 0. Подставим это значение y в систему. Из первого уравнения получим а = 0.
Выясним, достаточно ли условия а = 0 для единственности решения исходной системы. Если а = 0, то xy = 1, а это означает, что либо x = 1, y — любое число, либо x ≠ 0 — любое, y = 0. Значения параметра b должны быть такими, чтобы второму уравнению системы удовлетворяло только одно из решений первого. Если y = 0, то второе уравнение имеет единственное решение x = √b (по условию x> 0) при любом b> 0. Поэтому b нужно выбрать таким, чтобы исключить случай x = 1, т. е. таким, чтобы уравнение 1 + y² = b не имело действительных решений. Для этого необходимо и достаточно выполнение ограничения b< 1.
Если x = 1, то второе уравнение имеет единственное решение в том и только в том случае, если b = 1. При этом ему удовлетворяет единственное из решений первого уравнения: x = 1, y = 0.
Ответ.а = 0, 0 <b ≤ 1.
9.34. Умножим числитель и знаменатель дроби из второго уравнения на Полученное уравнение разделим на y, который тоже отличен от нуля, если входит в решение системы. Получим Исключим с помощью первого уравнения системы:
x²/y² − 2x/y + y² + 2x − 2y = 3.
Последнее уравнение перепишем в виде
x²/y² + 2x + y² − 2(x/y + y) = 3
Если x + y = z, то z² − 2z − 3 = 0, z1 = −1,