Подставляя значения 1 и 2 в данный трехчлен, получим систему двух квадратных неравенств
Решая первое неравенство, найдем
−7 − 3√5/2 ≤ m ≤ −7 + 3√5/2,
а решая второе, получим
−4 − 2√3 ≤ m ≤ −4 + 2√3.
Ответ. −½(7 + 3√5) ≤ m ≤ −4 + 2√3.
10.16. Пусть x1 и x2 — корни данного трехчлена. Тогда
Если корни x1 и x2 действительны, то из первой формулы следует, что они не могут быть оба положительными. Если оба корня отрицательны, то из второй формулы находим а> 0, а следовательно, корни x1 и x2 меньше а. Если а = 0, то один из корней равен −1, и условие задачи снова не выполняется. Таким образом, а< 0. При а< 0 дискриминант 1 − 4a положителен и оба корня действительные. Потребуем, чтобы меньший из них был больше а, т. е.
Это неравенство эквивалентно такому:
Возведя обе части неравенства в квадрат, мы должны позаботиться о сохранении связей, которые неявно присутствуют в этом неравенстве:
Последнее неравенство выполняется, так как мы установили, что а< 0. Первые два преобразуются к виду
Ответ.а< −2.
10.17. Так как k ≠ 0, то ветви параболы направлены вверх. Внутри интервала от −1 до +1 парабола имеет только один корень тогда и только тогда, когда на концах этого интервала трехчлен имеет разные знаки, т. е.
(k² − k − 2)(k³ + k − 2) < 0.
Разлагая каждый из трехчленов на множители, получим
(k − 2)(k + 1)(k + 2)(k − 1) < 0.
Ответ. −2 <k< −1; 1 <k< 2.
10.18. Условие, что ветви параболы направлены вверх, означает, что m> 0. Если парабола не пересекает ось Ox, то получаем систему
Если же данный квадратный трехчлен имеет действительные корни, то больший корень не должен быть положительным:
Второе неравенство второй системы (а следовательно, и вся система) не имеет решений при m> 0, так как числитель и знаменатель оказываются положительными.
Решая второе неравенство первой системы, найдем
m< −4/3, m> 1.
Принимая во внимание первое неравенство, находим решение системы: m> 1.
Пусть теперь m = 0. Правая часть данного неравенства принимает вид −4x + 1 > 0, т. е. x< ¼, и неравенство удовлетворяется не при всех положительных x.
Ответ.m> 1.
10.19. Неравенство равносильно совокупности двух систем
Решая каждое из четырех неравенств, придем к новой совокупности двух систем:
Итак, 3 ≤ x< 5, 2 <x< 3.
Ответ. 2 <x< 5.
10.20. Неравенство можно переписать в виде
(x − 3)² > (x + 2)²,
откуда после раскрытия скобок и приведения подобных получим линейное неравенство.
Ответ.x< ½.
10.21. При x> 0 неравенство можно переписать в виде
Последнее неравенство равносильно системе
которая несовместна, так как несовместны два последних неравенства.
При x< 0 входящее в данное неравенство выражение не существует.
Ответ. Неравенство не имеет решений.
10.22. Данное неравенство можно переписать так:
Получаем совокупность двух систем
Решаем первую систему
Если правая часть второго неравенства отрицательна (x> ⅓), то неравенству будут удовлетворять все x, при которых подкоренное выражение неотрицательно (x² ≤ ¼, |x| ≤ ½). Получаем интервал решений ⅓ <x ≤ ½.
Если правая часть второго неравенства неотрицательна (x ≤ ⅓), то второе неравенство можно возвести в квадрат (дополнять систему условием 1 − 4x² ≥ 0 или |x| ≤ ⅓ не нужно). После простых преобразований получим
откуда 0 <x ≤ ⅓. Объединяя интервалы 0 <x ≤ ⅓ и ⅓ <x ≤ ½, получим решение первой системы: 0 ≤ x ≤ ½.
Перейдем ко второй системе:
Условие x< 0 обеспечивает положительность правой части второго не равенства. Возведем второе неравенство в квадрат, учитывая, что |x| ≤ ½. Получим
Ответ. −½ ≤ x< 0, 0 <x ≤ ½.
10.23. Перепишем данное неравенство в виде
Так как в неравенство входит выражение а потому . Вынесем множитель за скобки:
Это неравенство равносильно системе
Возведем первое неравенство системы в квадрат. При этом следует добавить условие, в силу которого выражение, «освободившееся» от влияния радикала, должно быть неотрицательным:
Так как x² − x + 1 > 0 при всех x, то первому неравенству системы могут удовлетворять только x> 0, ибо выражение справа всегда положительно. Следовательно, систему можно переписать в виде
Обозначим тогда первое неравенство примет вид y² − 2y + 1 > 0, т. е. (y − 1)² > 0, откуда y ≠ 1. Итак,
Последняя система равносильна такой:
Ответ.
10.24. При x> 0 правая часть неравенства положительна, так как в этом случае Возведем обе части неравенства в квадрат; получим систему
Последнее неравенство системы — следствие того, что x> 0. Перенесем во втором неравенстве 1 + x в левую часть и произведем некоторые упрощения. Получим систему
Так как x> 0, то второе неравенство можно возвести в квадрат, не добавляя при этом никаких ограничений (убедитесь в этом самостоятельно):
121x² + 198x + 81/4x² + 36x + 81> 1 + 2x.
Умножим неравенство на знаменатель, который при x> 0 положителен; после приведения подобных получим систему
Итак, в первом случае неравенство имеет решения: 0 <x<45/8.
При x = 0 данное неравенство не удовлетворяется.
Если же x< 0, то, умножив обе части на −1, придем к неравенству
Проделав с этим неравенством преобразования, аналогичные случаю, когда x> 0, придем к выводу, что оно не имеет решений при отрицательных x.
Ответ. 0 <x<45/8.
10.25. Перепишем данное неравенство в виде
т. е.
Обозначив выражение, стоящее в скобках, через y, получим квадратное неравенство
y² + y − 42 < 0,
которое имеет решения: −7 <y< 6. Итак,
Поскольку сумма всегда положительна, то достаточно решить лишь правое неравенство:
После возведения в квадрат получим неравенство
равносильное исходному, так как корни √x и здесь не устранены. (Заметьте, что, заменив выражение √x на мы могли нарушить равносильность.) После второго возведения в квадрат придем к системе
Ответ. 0 ≤ x<841/144.
10.26. Неравенство удобно переписать в виде
Оно равносильно совокупности двух систем
Решая последнее неравенство каждой из систем, найдем −|а| ≤ x ≤ |а|.
Так как в первой системе x> 0, то для нее получим решения:
0 <x ≤ |а|, а ≠ 0.
Перейдем ко второй системе. Решая второе неравенство, получим
−|а|/√5<x<|а|/√5.
Мы приходим к системе
решениями которой будут значения из интервала −|а|/√5<x ≤ 0 при а ≠ 0. Остается объединить решения двух систем.
Ответ. При а ≠ 0: −|а|/√5<x ≤ |а|; при а = 0 неравенство не имеет решений.
10.27. Приведем степени, входящие в данное неравенство, к основанию 2 и поделим на 2√x 2x:
2x− √x ≤ 3 + 4 · 2√x − x;
обозначив 2x− √x = y, получим
y ≤ 3 + 4/y,
а так как y> 0, то
y² − 3y − 4 ≤ 0.
Корни трехчлена: −1, 4; так как меньший корень отрицателен, то получаем
2x− √x ≤ 4,
т. е. x − √x ≤ 2. Обозначим √x = z и найдем решения неравенства
z² − z − 2 ≤ 0.
Получим −1 ≤ z ≤ 2. Левое неравенство выполняется, если только √x существует. Остается √x ≤ 2, т. е. 0 ≤ x ≤ 4.
Ответ. 0 ≤ x ≤ 4.
10.28. Перепишем неравенство в виде
3√x(3 + x − 2x²) − 2(−2x² + x + 3) < 0,
или
(3√x − 2)(−2x² + x + 3) < 0.
Последнее неравенство[20] равносильно совокупности систем
Решая первую систему, получим
Так как −1 << = 1 <3/2, то окончательно получим x>3/2.
Вторая система дает нам следующее:
Ответ.
10.29. Если x> 0, то неравенство равносильно такому:
(x − 1)2x − 1/3 − x< 0, т. е. (x − 1)(x − ½)/x − 3> 0.
Воспользовавшись методом интервалов, получим ½ <x< 1, x> 3. Если x = 0, то левая часть неравенства обращается в выражение 0−⅓ , которое не имеет смысла.
При x< 0 показатель степени должен быть целым числом, т. е. 2x − 1/3 − x, откуда x(2 + n) = 3n + 1. Так как при n = −2 последнее уравнение не удовлетворяется, то
x = 3n + 1/2 +