n.
Из условия x< 0 находим x = 3n + 1/2 + n < 0 и, следовательно, −2 <n< −⅓. Единственное целое число в этом интервале n = −1, а соответствующее ему значение неизвестного x = −2. Проверяем это значение, подставляя его в первоначальное неравенство: (−2)−1< 1.
Ответ.x = −2, ½ <x< 1, x> 3.
10.30. Предположим, что основание больше единицы, т. е. 4x² + 12x + 10 > 1, или (2x + 3)² > 0. Это имеет место при всех x, кроме x = −3/2. При x = −3/2 основание равно единице, и, следовательно, исходное неравенство удовлетворяется. Если же x ≠ −3/2, то оно равносильно неравенству
|х³ − 5х + 2| ≥ x − 2,
которое заведомо удовлетворяется при x − 2 ≤ 0, т. е. при x ≤ 2. Пусть теперь x> 2. Разложим трехчлен на множители:
|х³ − 5х + 2| = |х³ − 4x − (x − 2)| = |x − 2| |х² + 2x − 1| = (x − 2)|х² + 2x − 1|.
Так как x> 2, то получаем равносильное неравенство
|х² + 2x − 1| ≥ 1,
а поскольку x² + 2x − 1 = x² + 2(x − ½) > 0, то
х² + 2x − 1 ≥ 1, или x² + 2(x − 1) ≥ 0.
Последнее неравенство удовлетворяется при любом x> 2.
Ответ.x − любое действительное число.
10.31. Так как x> 0, то вместо неравенства
можно написать
Если а> 1, то при логарифмировании по основанию а знак неравенства не изменится:
(logа x)² > 2,
откуда loga x< −√2, logax> √2, т. е.
Если 0 <а< 1, то (logax)² < 2 и
Ответ. При 0 <a< 1, при а> 1, x>a√2.
10.32. Если x> 0, то получаем неравенство, равносильное данному:
откуда 0 <x< 1.
Значение x = 0 удовлетворяет исходному неравенству. Если же x< 0, то непременно
5x + 2/5x + 10 =n,
где n — целое. Из условия x< 0 находим
x = 10n − 2/5 − 5n< 0,
откуда n<1/5, n> 1, или n ≠ 1. Мы получили бесконечное множество значений x. Чтобы выбрать из них подходящие, разберем два случая, в зависимости от того, четное или нечетное число n. Когда n = 2k, данное неравенство можно переписать в виде |x|2k< 1, т. е. (|x| − 1)k< 0. Поскольку x< 0, то получаем (x + 1)k> 0. Так как x = 20k − 2/5 − 10k, то
откуда k< −3/10, 0 <k< ½. Так как k — целое, то k = −1, −2, −3, ... . Получаем серию решений первоначального неравенства: x = 20k − 2/5 − 10k, k = −1, −2, −3, ... .
Пусть теперь n = 2k + 1. Тогда x = 10(2k + 1) − 2/5 − 5(2k + 1) = −10k + 4/5k. Так как x< 0, то исходное неравенство при этих значениях n удовлетворяется, если n ≠ 1, т. е. k ≠ 0.
Ответ. 0 ≤ x< 1, x = 20k − 2/5 − 10k, k = −1, −2, −3, ...; x = −10k + 4/5k, k = ±1, ±2, ±3, ... .
10.33. Данное неравенство эквивалентно неравенству
0 ≤ log23 − 2x/1 − x< 1.
(Ограничение слева обеспечивает неотрицательность числа, стоявшего под знаком квадратного корня.)
Поскольку 0 = log2 1, 1 = log2 2 и основание логарифмов больше единицы, последнее неравенство можно записать так:
1 ≤ 3 − 2x/1 − x< 2.
Требование положительности числа 3 − 2x/1 − x, которое могло быть нарушено при таком преобразовании, выполняется здесь автоматически.
Поскольку неравенство 1 ≤ y< 2 эквивалентно неравенству y − 1/y − 2 ≤ 0, получаем
Ответ.x ≥ 2.
10.34. Данное неравенство равносильно системе
0 < |x − 1/2x + 1| < 1.
Тем самым мы обеспечили положительность числа, стоявшего в условии под знаком логарифма. Левое неравенство можно заменить условием x ≠ 1. Тогда получим систему
Эту систему можно преобразовать так:
Входящее в эту систему неравенство можно возвести в квадрат, не нарушая его равносильности:
(x − 1)² < (2x + 1)²,
т. е. 3x² + 6х> 0, откуда x< −2, x> 0. Итак,
Ответ.x< −2, 0 <x< 1, x> 1.
10.35. Приведем все логарифмы, участвующие в неравенстве, к основанию 5:
Последнее из преобразований правой части неравенства требует, вообще говоря, ограничения x ≠ 1. Однако это значение неизвестного оказывается «запретным», поскольку в левой части остается выражение, содержащее log5x в знаменателе. Получаем равносильное неравенство
которое преобразуется к виду
допускающему применение метода интервалов. Итак,
log5x< −½, 0 < log5x< log5 3.
Ответ. 0 <x<1/√5, 1 <x< 3.
10.36. Так как log½N = −log2N, то данное неравенство перепишем в виде
log2 (2x − 1)log2 (2x + 1 − 2) < 2.
Преобразуем второй сомножитель:
log2 (2x + 1 − 2) = log2 [2(2x − 1)] = 1 + log2 (2x − 1).
Обозначив log2 (2x − 1) = y, получим квадратное неравенство
y(y + 1) < 2, или y² + y − 2 < 0,
решения которого лежат в интервале
−2 <y< 1.
Вспоминая, чему равен y, получим
−2 < log2 (2x − 1) < 1,
¼ < 2x − 1 < 2, 5/4< 2x< 3.
Ответ. log2 5 − 2 <x< log2 3.
10.37. Преобразуем левую часть неравенства:
Неравенство
log|x + 6| (х² − x − 2) ≥ 1
равносильно совокупности двух систем
Второе неравенство первой системы равносильно совокупности систем решая которые найдем
x ≤ −2, x ≥ 4.
Таким образом, первая система может быть приведена к виду
и ее решениями будут интервалы:
x< −7, −5 <x ≤ −2, x ≥ 4.
Решая второе неравенство второй системы, получим −2 ≤ x ≤ 4, а третье неравенство имеет решения x< −1, x> 2. Следовательно, система принимает вид
т. е. не имеет решений.
Ответ.x< −7, −5 <x ≤ −2, x ≥ 4.
10.38. Обозначим logаx = y. Неравенство примет вид
1 + y²/1 + y> 1.
Так как 1 + y² > 0, то и 1 + y> 0. Поэтому данное неравенство равносильно системе
т. е.
Получаем два интервала решений:
−1 <y< 0, y> 1.
Так как y = logаx, то нужно рассмотреть два случая.
Во−первых, если а> 1, то logаx − функция возрастающая и мы получим два интервала решений:
1/a<x< 1, x>а.
Если же 0 <а< 1, то получим другие два интервала решений:
1 <x<1/a, 0 <x<а.
Ответ. При а> 1: 1/a<x< 1, x> а; при 0 <а< 1: 0 <x< а, 1 <x<1/a.
10.39. Перейдем к основанию k:
где y = logkx. Последнее неравенство можно переписать так:
Выражение, стоящее в числителе, всегда положительно. Поэтому решением неравенства будут два интервала:
y< −1, y> 0.
Вспоминая, что y = logkx и 0 <k< 1, найдем соответствующие интервалы для x.
Ответ. 0 <x< 1, x>1/k.
10.40. Поскольку 4x − 6 должно быть больше нуля, то x> 1. Следовательно, приходим к системе неравенств
Решая второе неравенство системы, найдем x> log2 √7.
Третье неравенство перепишем в виде системы
решением которой будет интервал log2 √6 <x ≤ log23. Так как log2 √7 > log2 √6, то получим решение данного неравенства.
Ответ. log2 √7 <x ≤ log2 3.
10.41. Данное неравенство эквивалентно такому:
Знаменатель всегда положителен. Поэтому
|х² − 4x| + 3 ≥ x² + |x − 5|,
остается раскрыть знаки абсолютной величины. Нанесем точки 0, 4, 5 на числовую ось и рассмотрим четыре случая.
Если x< 0, то получаем систему
которой удовлетворяет полупрямая x ≤ −⅔.
Если 0 ≤ x ≤ 4, приходим к системе
решением которой будет отрезок 1 <x< 2.
Если 4 <x ≤ 5, то наше неравенство примет вид x² − 4x + 3 ≥