x + √x − 6 ≥ 0. (9)
Трехчлен y² + y − 6 (где y = √x) имеет корни −3 и 2. Поэтому решением неравенства
y² + y − 6 ≥ 0
будет совокупность значений y ≤ −3, y ≥ 2. У неравенства √x ≤ −3 решений нет. Остается √x ≥ 2, т. е. x ≥ 4.
Ответ. [4, +∞).
10.53. Обозначим log2x = y и запишем неравенство в виде
1 + y² ≤ |y| (4x − x² − 2),
или
1 + y² ≤ |y| [−(x² − 4x + 4) + 2],
т. е.
1 − 2|y| + |y²| ≤ |y|(−x² + 4x − 4).
Итак,
(1 − |y|)² ≤ −|y|(x − 2)².
Неравенство удовлетворяется только в том случае, если обе его части равны нулю. Это может быть только при |y| = 1, тогда (x − 2)² ≤ 0, т. е. x = 2.
Ответ. 2.
Глава 11Логарифмические и показательные уравнения и системы
11.1.
11.2. Так как 1225 = 35², то
lg 122,5 = lg 35² − lg 10 = 2(lg 5 + lg 7) − 1 = 2(а + b) − 1.
11.3. Перепишем уравнение в виде
т. е. после того как вынесем 32x − 1 и 2x + ½ за скобки,
Из последнего уравнения следует, что
32x − 3 = (√2)2x − 3,
т. е. (3/√2)2x − 3 = 1, откуда 2x − 3 = 0.
Ответ.x = 3/2.
11.4. Обозначив 3−|x − 2| = y, придем к квадратному уравнению
y² − 4y − а = 0,
корни которого
Первый корень приходится отбросить, так как −|x − 2| ≤ 0 и 3−|x − 2| ≤ 1, а не может стать меньше двух.
Исследуем второй корень:
Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение трех условий, которые сведены в систему неравенств:
Решая эту систему, найдем −3 ≤ а< 0.
Ответ. При −3 ≤ а< 0 два решения:
при остальных а решений нет.
11.5. Решая квадратное уравнение относительно 12|x|, найдем
Первое ограничение: 1 − а ≥ 0, т. е. а ≤ 1. Кроме того, 12|x| не может стать меньше единицы. Если перед корнем выбран знак плюс, то последнее требование выполняется, если же взят знак минус, то лишь при а = 1. Это значение а можно учесть при рассмотрении уравнения
Ответ. при а ≤ 1; при остальных а решений нет.
11.6. Уравнение можно записать так:
или
Прологарифмируем по основанию 10
откуда x1 = 2, x2 = −1/lg 5.
Ответ. 2, −1/lg 5.
11.7. Так как (2 + √3)(2 − √3) = 1, то 2 + √3 и 2 − √3 — взаимно обратные числа. Обозначим
(2 + √3)x² − 2x = y.
Тогда данное уравнение можно записать так:
y + 1/y = 101/10
(мы разделили обе части уравнения на 2 + √3).
Решая это уравнение, найдем
y1 = 1/10, y2 = 10.
Покажем, что первый корень, который приводит к уравнению
(2 + √3)x² − 2x = 1/10,
посторонний.
Так как 2 + √3 > 1, то x² − 2x< 0. Выражение x² − 2x достигает своего минимума в точке x = 1. Этот минимум равен −1. Поскольку 2+ √3 < 4, то в левой части последнего уравнения стоит число, большее ¼, а следовательно, ни при каких x не равное 1/10.
Остается решить уравнение
(2 + √3)x² − 2x = 10.
Прологарифмируем его по основанию 2 + √3:
x² − 2x − log2 + √3 10 = 0.
Ответ.
11.8. Перепишем уравнение так:
Сразу же видно, что x = 2 — корень уравнения. Покажем, что других корней нет.
Обозначим для удобства первое основание через а, а второе через b. Оба этих основания меньше единицы. Поэтому
b<а< 1;
если x< 2, то аx>а², bx>b², и следовательно,
аx + bx> 1;
если же x> 2, то аx<а², bx<b², и следовательно, аx + bx< 1.
Ответ.x = 2.
11.9. Если x − 2 ≠ 0, 1, −1, то log2 (x + 31) = 3, x = −23. При x = 2 = 0, т. е. x = 2, имеем , и так как log231 > 0, то уравнение удовлетворяется.
При x − 2 = 1, т. е. x = 3, уравнение также удовлетворяется.
Если x − 2 = −1, т. е. x = 1, имеем
Остается проверить значение x = −23. Тогда log2 8 = 3, и уравнение снова удовлетворяется.
Ответ. −23, 1, 2, 3.
11.10. Так как log3 (3x + 1 − 3) = 1 + log3 (3x − 1), то, обозначив log3 (3x − 1) через y, получим
y² + y − 6 = 0,
откуда y1 = −3, y2 = 2.
Если log3 (3x − 1) = −3, то 3x = 28/27 и x1 = log3 28 − 3. Если log3 (3x − 1) = 2, то 3x = 10 и x2 = log3 10.
Ответ. log3 28 − 3, log3 10.
11.11. Перепишем уравнение в виде
log7x + logx 7 = log²7x + log²x 7 − 7/4.
Дополним правую часть его до полного квадрата суммы (заметим, что log7x · logx 7 = 1) и обозначим
log7x + logx 7 = y.
Получим уравнение:
4у² − 4у − 15 = 0, откуда у1 = 5/2, y2 = −3/2.
Если logx 7 + log7x = 5/2, то
Если же logx 7 + log7x = −3/2, то получим уравнение
y которого нет действительных корней.
Ответ.x1 = 49, x2 = √7.
11.12. Прологарифмируем по основанию 3 и перейдем к общему основанию логарифмов:
откуда следует уравнение
y³ − 2y + 1 = 0,
где y = log3x.
Так как у³ − 2y + 1 = (y − 1)(y² + y − 1), то
y1 = 1, y2,3 = −1 ± √5/2.
Находим соответствующие x и проверяем их.
Ответ.x1 = 3, x2,3 = 3.
11.13. Если
y = logх 3,
то придем к уравнению
из которого получается цепочка следствий
Проверкой убеждаемся, что второе значение y не удовлетворяет исходному уравнению, так как y должен быть отрицательным.
Ответ.x = 1/9.
11.14. Приведя уравнение к общему знаменателю и отбросив его, получим следствие данного уравнения:
log4x + log4(10 − x) = 2,
откуда
x² − 10x + 16 = 0, x1 = 2, x2 = 8.
Проверкой убеждаемся, что это — корни исходного уравнения.
Ответ.x1 = 2, x2 = 8.
11.15. Перепишем данное уравнение так:
При этом преобразовании мы могли потерять корень, так как при x = 1 левая часть полученного уравнения теряет смысл, в то время как обе части исходного уравнения существуют. Проверкой убеждаемся, что x = 1 — корень данного уравнения[21].
Преобразуем выражения, стоящие в знаменателях и обозначим logx 2 = y:
1/1 − y − 21/4y + 1 + 10/2y + 1 = 0.
Это уравнение равносильно системе
При y = −2 и y = ½, являющихся корнями уравнения, условие, входящее в систему, удовлетворяется.
Ответ.x1 = 1, x2 = 1/√2, x3 = 4.
11.16. Перепишем уравнение в виде
Так как
то придем к уравнению
log2 6 − log2 (4 − x) = log2 (3 + x),
откуда
х² − x − 6 = 0, x1 = −2, x2 = 3.
Все применявшиеся преобразования приводили к следствию исходного уравнения. Первый корень при проверке отбрасываем, так как при x = −2 не существует.
Ответ.x = 3.
11.17. Уравнение равносильно системе
или
Решим уравнение, после чего проверим, выполняются ли наши ограничения. Уравнение распадается на два. Если
x4 + 2x³ + 2x − 1 = (х² + x − 1)²,
то, раскрывая скобки, получим
х² + 4x − 2 = 0, x1,2 = −2 ± √6.
Если же
x4 + 2x³ + 2x − 1 = −(х² + x − 1)²,
то
x²(2x² + 4x − 1) = 0; x3 = 0, x4,5 = −2 ± √6