/2.
Остается проверить выполнение двух условий, входящих в последнюю систему. Лишь при x = 0 нарушается условие |х² + x − 1| ≠ 1. При остальных найденных значениях x оба условия выполняются.
Ответ.x1,2 = −2 ± √6; x3,4 = −2 ± √6/2.
11.18. Преобразуем первое слагаемое:
При переходе к логарифмам с основанием а мы наложили на а дополнительное ограничение: а ≠ 1. Однако при а = 1 данное нам уравнение не имеет решений, и, следовательно, такое ограничение несущественно. При замене на x могут быть введены посторонние корни x< 0.
Мы получили уравнение относительно :
y² − 5у + 6 = 0; y1 = 2, y2 = 3,
откуда
Ответ. При
11.19. Логарифмируя и заменяя logx а на, получим
т. е.
Отсюда видно, что если x удовлетворяет этому уравнению, то loga x> 0, а потому loga x + 1 > 0. Следовательно,
Чтобы разбирать меньшее количество различных случаев, оценим левую часть последнего уравнения и, следовательно, а. Так как
а второе слагаемое неотрицательно, то а> 1 (значение а = 1 мы исключили, так как а — основание логарифма). Остается рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть символ абсолютной величины.
При loga x ≥ 1, т. е. при x ≥ а> 1, получим уравнение
Так как а> 1, то x>а.
При 0 < loga x< 1, т. е. при x< а, получим второе значение неизвестного:
которое будет меньше а, так как а> 1.
Ответ. При
11.20. Если одно из неизвестных равно нулю, то в силу второго уравнения системы равно нулю и второе неизвестное. Это приводит к потере смысла в первом уравнении. Таким образом, x и y оба положительны.
Прологарифмируем оба уравнения:
Так как x> 0 и y> 0, то разделим первое уравнение на второе:
а потому
Подставим найденное значение x в первое из данных уравнений:
Если y = 1, то из первого уравнения системы получаем x = 1, что не удовлетворяет второму уравнению.
Так как значения y = 0 и y = −1 исключены, то остается
Вспомнив, что log3 15 = 1 + log3 5, получим
и найдем x.
Ответ.
11.21. Возведем второе уравнение в степень y
1024 = (2x/3)2y
и воспользуемся тем, что xy = 243. Так как 1024 = 210, а 243 = 35, то получим
210 = (⅔)2y · 310, откуда (⅔)10 = (⅔)2y
и y = 5. Из первого уравнения находим x = 3.
Делаем проверку и убеждаемся, что мы нашли решение системы.
Ответ. (3, 5).
11.22. Из самого вида системы следует, что x> 0, y> 0. Из второго уравнения имеем
а после подстановки в первое
Если y ≠ 1 (случаи y = 0 и y = −1 уже исключены), то, приравнивая показатели степеней, получим
Подставляя в первое уравнение, найдем Следовательно,
откуда получаем x1 = 16/81, у1 = 4/9. Проверкой убеждаемся, что это — решение исходной системы.
Остается проверить, что произойдет при y = 1. Легко видеть, что тогда и x = 1.
Ответ. (16/81, 4/9), (1, 1).
11.23. Так как
то
Подставив в первое уравнение исходной системы и обозначив получим
(21 − 2u)(16 − u) − 2u³ = 71,
а после раскрытия скобок
u = 5, т. е. y = 2.
Остальные неизвестные находятся легко.
Ответ. (2, 2, 1).
11.24. Второе уравнение можно записать в виде
2x + 2у (x · 2x − y + 1 + 3y · 22x + y) = 1.
В силу первого уравнения системы выражение в скобках равно 2. Поэтому
2x + 2у + 1 = 1,
откуда
x + 2y + 1 = 0, т. е. x = −2y − 1.
После подстановки в первое уравнение системы получим
2−3y − 3 = 1/−4 − 5y, или 23(y + 1) = −(4 + 5y).
Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение неравенства
−(4 + 5у) > 0, т. е. y< −4/5.
Рассмотрим следующие три случая.
1. 3(y + 1) < 0, т. е. y< −1. В этом случае правая часть уравнения должна быть меньше единицы, т. е. −(4 + 5у) < 1, откуда y> −1. Поскольку ограничения y< −1 и y> −1 несовместны, при сделанном предположении нет решений.
2. 3(y + 1) > 0, т. е. y> −1. Тогда правая часть уравнения должна превзойти единицу, а потому y< −1. И на этот раз ограничения несовместны.
3. Остается посмотреть, что будет при 3(y + 1) = 0, т. е. y = −1. Легко проверить, что уравнение удовлетворяется. Найденному значению y соответствует x = 1. Проверкой убеждаемся, что мы нашли решение исходной системы.
Ответ. (1, −1).
11.25. Первое уравнение системы можно переписать в виде
log8 (y − x)³ = log8 (3y − 5х).
Следствием данной системы является система
Перемножив входящие в нее уравнения, получим однородное уравнение относительно x и y:
5(y − x)³ = (3y − 5х)(х² + y²).
Если x ≠ 0, то разделим последнее уравнение почленно на x³ и обозначим y/x = u. Получим уравнение относительно u:
u³ − 5u² + 6u = 0,
которое имеет корни: u1 = 0, u2 = 2, u3 = 3.
Если u = 0, то y = 0, а из второго уравнения исходной системы x = ±√5.
При подстановке в первое уравнение исходной системы x = −√5 и y = 0 это уравнение удовлетворяется, а при x = √5 и y = 0 уравнение не удовлетворяется. Если u = 3, то y = 3x, а потому x² = ½, откуда
x =±1/√2, y = ±3/√2
(x и y в силу равенства y = 3x имеют одинаковые знаки). Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что решением системы будут
x = 1/√2, y = 3/√2.
Если u = 2, то y = 2x. Из двух систем значений (−1, −2), (1, 2) первому уравнению удовлетворяет только вторая.
Осталось рассмотреть случай x = 0. Он не дает новых решений, так как система превращается в два несовместных уравнения.
Ответ. (−√5, 0); (1/√2, 3/√2); (1, 2).
11.26. Способ 1. Из второго уравнения
Подставляем в первое:
Так как
то получим уравнение
Прологарифмируем по основанию 3:
3log3² x − 8log3x + 4 = 0,
откуда x1 = 3⅔, x2 = 9.
Находим соответствующие y и делаем проверку.
Способ 2. Применим равенство (оно доказывается с помощью логарифмирования) к первому уравнению. Получим
т. е. или
Прологарифмировав по основанию 3, решим полученное уравнение совместно со вторым уравнением системы:
Ответ.
11.27. Так как x и y одного знака (это следует из второго уравнения) и x + y> 0 (из первого), то x и y положительны, причем либо x, либо y обязательно больше 1 (так как xy = 3). Следовательно, x + y> 1 и данная система может быть переписана так:
Если 0 <x − y< 1, то получим систему
следствием которой является система
Из первого уравнения получим 7 x = 9y. Подставляя сюда y = 3/x, найдем x² = 27/7, откуда
Убеждаемся, что при этих значениях x и y неравенство 0 <x − y< 1 выполняется.
Если x − y> 1, то получим систему
следствием которой является система
Подставляя в первое уравнение y = 3/x, получим уравнение
x4 − 8x² − 9 = 0.
Так как x² ≠ −1, то остается x² = 9, откуда x = 3, а y = 1. (Ограничение x − y> 1 удовлетворяется.)
Равносильность могла быть нарушена только при потенцировании; поэтому достаточно проверить, что x − y> 0, что уже сделано.
Ответ.
11.28. Прологарифмируем и обозначим log2x = u, log2 (y + 1) = u:
откуда
Находим соответствующие x и y; проверка не обязательна, так как равносильность не была нарушена.
Ответ. (√2, 15); (2, 3).
11.29. Так как loga²x = ½ loga x (обратите внимание на то, почему мы не пишем здесь log|a|x), а log√b √y = logb y, то систему можно переписать следующим образом:
Это — следствие первоначальной системы; если же добавить условия y> 0, b> 0, b ≠ 1, то получим равносильную систему.