Из первого уравнения
Подставляем во второе и находим
Условие , т. е. 8а³ >а4, приводит к дополнительному ограничению на а: а< 8.
Ответ. При 0 <а< 1, 1 <а< 8 и при b> 0, b ≠ 1
11.30. Пусть 3x + 1 = u, 3y + z − x = v, тогда первые два уравнения примут вид
откуда u = 9, v = 9. Следовательно, x = 1, а y + z − x = 2, т. е. y + z = 3. Последнее уравнение данной системы примет теперь простой вид
lg уz = lg 2,
следствием которого будет
уz = 2.
Решаем систему
Проверкой убеждаемся, что мы нашли решения исходной системы уравнений.
Ответ. (1, 1, 2); (1, 2, 1).
Глава 12Тригонометрические преобразования
12.1. В первых квадратных скобках после упрощений получим 2/sin x, вторые квадратные скобки заключают в себе выражение Таким образом, первое слагаемое принимает вид
Второе слагаемое легко приводится к виду
Ответ.
12.2. Так как сумма углов 30° − α и 60° − α равна 90° − 2α, то
tg [(30° − α) + (60° − α)] = ctg 2α,
или
откуда следует наше тождество.
12.3. Рассмотрим выражение
Так как ctg x = ½(ctg x/2 − tg x/2), то
ctg x + ½ tg x/2 = ½ ctg x/2.
Аналогичные преобразования можно продолжить и дальше:
что и доказывает тождество.
12.4. Перепишем равенство
sin α cos (α + β) = sin β
в виде
sin α cos (α + β) = sin [(α + β) − α],
т. е.
sin α cos (α + β) = sin (α + β) cos α − sin α cos (α + β),
или
2 sin α cos (α + β) = sin (α + β) cos α.
Из условия следует, что cos (α + β) ≠ 0 и cos α ≠ 0. Разделим последнее равенство на cos (α + β) cos α. Получим
2 tg α = tg (α + β).
12.5.
Применяя последовательно формулу синуса двойного угла, приведем числитель к виду
Ответ. −1/8.
12.6. Вычислим вначале произведение косинусов:
Теперь вычислим произведение квадратов синусов, умноженное на 8:
Раскроем скобки и преобразуем каждое произведение двух косинусов в сумму косинусов. После приведения подобных получим
Теперь можно найти произведение тангенсов.
Ответ. √7 .
12.7. Преобразуем правую часть равенства, которое нужно доказать:
и воспользуемся условием. Получим
12.8. Доказательство представляет собой цепочку преобразований sin (x + y) sin (x − y) = sin² x cos² y − cos² x sin² y = k² sin² y cos² y − cos² x sin² y = sin² y (k² cos² y − cos² x).
Так как cos² x = 1 − k² sin² y, то выражение в скобках равно k² − 1. По условию −1 ≤ k ≤ 1, т. е. k² − 1 ≤ 0, и, следовательно, sin (x + y) sin (x − y) ≤ 0.
12.9. Вычислим а² + b²:
а² + b² = 2 + 2 (cos α cos β + sin α sin β) = 2 + 2 cos (α − β) = 4 cos² α − β/2. Теперь преобразуем правую часть равенства, которое нужно доказать:
что и требовалось доказать.
12.10. Обозначим sin² α = а, sin² β = b, sin² γ = с. Тогда данное в условии соотношение примет вид
т. е.
2abс + аb(1 − с) + bс(1 − а) + ас(1 − b) − (1 − а)(а − b)(1 − с) = 0.
После того как будут раскрыты скобки и приведены подобные члены, получим
−1 + с + b + a = 0,
что в первоначальных обозначениях соответствует равенству sin² α + sin² β + sin² γ = 1.
12.11.
При преобразованиях мы пользовались формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
Ответ. −3.
12.12. Так как
ctg α + ctg γ = 2 ctg β и β = π/2 − (α + γ),
то
Углы α и γ острые. Поэтому ctg α > 0 и ctg γ > 0 и на их сумму можно сократить:
откуда легко найти произведение котангенсов.
Ответ. 3.
12.13. Преобразуем данное выражение:
sin (90° + 16°) + cos (90° + 16°) ctg 8° = cos 16° − sin 16° ctg 8° = cos 16° − 2 sin 8° cos 8° cos 8°/sin 8° = cos 16° − 2 cos² 8° = cos 16° − (1 + cos 16°) = −1.
Глава 13Тригонометрические уравнения и системы
13.1. Так как √2 sin (x + π/4) = sin x + cos x, то
1 + sin 2x + 2 cos 3x sin x + 2 cos 3x cos x = 2 sin x + 2 cos 3x + cos 2x.
Объединим одночлены, содержащие cos 3x и все оставшиеся одночлены:
2 cos 3x (sin x + cos x − 1) + 2 sin x (sin x + cos x − 1) = 0.
Получим уравнение
(sin x + cos x − 1)(cos 3x + sin x) = 0.
Если sin x + cos x = 1, т. е. (x − π/4) = 1/√2 , то
x = nπ/2 − π/8 и x = nπ + π/4.
Ответ. 2nπ; 2nπ + π/2; nπ/2 − π/8; nπ + π/4.
13.2. Данное уравнение можно преобразовать так:
или
Последнее уравнение равносильно системе
Решая уравнение этой системы, найдем
cos x = 1, откуда x = 2kπ,
cos x = sin x, tg x = 1, откуда x = π/4 + kπ.
Так как при x = 2kπ и x = π/4 + kπ условие sin² x ≠ 1 выполняется, то найденные значения x являются корнями данного уравнения.
Ответ.x = 2kπ; x = π/4 + kπ.
13.3. Поскольку
мы приходим к уравнению
Левая и правая части этого уравнения содержат общий множитель 1 − cos x/1 − sin x. Поэтому уравнение можно записать в виде
Первые корни получаем из уравнения cos x = 1, откуда x = 2kπ.
Остальные корни найдем, приведя к общему знаменателю дроби, стоящие в скобке, и выполнив вычитание. Получим уравнение
Числитель легко разложить на множители, если сгруппировать однородные члены:
(sin² x − cos² x) + sin x cos x (sin x − cos x) = (sin x − cos x)(sin x + sin x cos x + cos x).
Знаменатель можно отбросить, так как при cos x = 0 ни одна из скобок в разложении числителя не обращается в нуль. Заботиться о том, чтобы 1 + sin x + sin² x не обращалось в нуль, не нужно, так как это выражение всегда положительно.
Если sin x − cos x = 0, то tg x = 1, откуда x = π/4 + kπ.
Остается решить уравнение
sin x + sin x cos x + cos x = 0.
Мы знаем, что (sin x + cos x)² = 1 + 2 sin x cos x. Отсюда
Сделав такую замену в оставшемся уравнении, получим квадратное уравнение относительно y = sin x + cos x
y² + 2y − 1 = 0.
Корни этого уравнения
y1,2 = −1 ± √2.
Записав sin x + cos x в виде √2 cos (x − π/4), мы убедимся, что корень y1 = −1 − √2 является посторонним. Остается
cos (x − π/4) = 1 − 1/√2,
откуда
x = 2kπ ± arccos (1 − 1/√2) + π/4.
Ответ. 2kπ; π/4 + kπ; 2kπ ± arccos (1 − 1/√2) + π/4.
13.4. Данное уравнение эквивалентно системе
Преобразуя левую и правую части уравнения в сумму тригонометрических функций, мы получим уравнение
cos 9x = 0, откуда x = π/18(2n + 1).
Из найденных значений x нужно выбрать те, при которых
cos 2x cos 7x ≠ 0, т. е. cos 5x + cos 9x ≠ 0.
Так как речь идет о значениях неизвестного, при которых cos 9 x = 0, то остается потребовать, чтобы cos 5x ≠ 0, т. е. 5 · π/18(2n + 1) ≠ π/2(2k + 1), откуда 5(2n + 1)/9 ≠ 2k + 1. Число 5(2n + 1)/9 не может быть четным, так как в его числителе лишь нечетные множители.
Оно будет целым, когда = 2n + 1/9 = 2n + 1, т. е. при n = 9m + 4.
Следовательно, корнями уравнения являются числа x = π/18(2n + 1) при n ≠ 9m + 4.
Ответ.π/18(2m ± 1); π/18(18m ± 3); π/18(18m ± 5); π/18(18m ± 7).
13.5. Если запишем данное уравнение в виде
то получим равносильное уравнение. Однако дальнейшие преобразования заставляют нас ввести ограничения:
Далее
Когда tg x ≠ 0, то и sin x ≠ 0. Это означает, что первое уравнение можно переписать в виде