1/cos x = 2, откуда cos x = ½, что обеспечивает выполнение всех ограничений.
Ответ. 2nπ ± π/3.
13.6. Прибавив к обеим частям уравнения tg 3x, получим
3(tg 3x − tg 2x) = tg 3x (1 + tg² 2x),
или
Последнее уравнение эквивалентно системе
Решим первое уравнение. Для этого представим произведение sin x cos 2x в виде разности синусов. После приведения подобных членов получим
sin 3x = 3 sin x.
Воспользовавшись формулой синуса тройного угла, придем к уравнению
sin x (3 − 4 sin² x) = 3 sin x, или sin³ x = 0,
откуда x = πk.
Легко проверить, что при x = πk ни cos 2x, ни cos 3x в нуль не обращаются.
Ответ. πk.
13.7. Преобразуем уравнение следующим образом:
(sin x + cos x)(1 − sin xcos x) + 1/√2 sin 2xsin (x + π/4) = sin (π/2 − x) + sin 3x.
Так как sin x + cos x = √2 sin (π/4 + x), то придем к уравнению
sin (π/4 + x) = √2 sin (π/4 + x ) cos (π/4 − 2x).
Если sin (π/4 + x) = 0, то x1 = π/4(4n − 1). Остается
√2 cos (π/4 − 2x) = 1,
откуда
x2 = nπ, x3 = π/4(4n + 1).
Серии чисел x1, = π/4(4n − 1) и x3 = π/4(4n + 1) можно объединить: x1 = π/4(2n + 1).
Ответ.π/4(2n + 1); nπ.
13.8. Перепишем уравнение следующим образом:
4(tg 4x − tg 3x) = tg 2x (1 + tg 3x tg 4x).
Приведем выражения в скобках к виду, удобному для логарифмирования:
Уравнение равносильно системе
Так как cos x = 0 не удовлетворяет уравнению, то его можно переписать так:
4 tg x = tg 2x, или 2 tg x = tg x/1 − tg² x.
Мы воспользовались неабсолютным тождеством, которое исключает из области определения те значения x, при которых tg x не существует. Однако tg x входил в предыдущее уравнение, а потому существует, и потеря корней произойти не может. Из последнего уравнения, если tg x = 0, получаем x = nπ.
Если tg x ≠ 0, то 2 − 2 tg² x = 1, tg x = ±1/√2. Так как cos 3x и cos 4x не обращаются при этом в нуль, то можно написать ответ.
Ответ.nπ; nπ ± arctg 1/√2.
13.9. Уравнение можно переписать так:
Поскольку 0 <x< 2π, то 0 <x/2< π и sin x/2> 0. Однако cos x/2 в этом интервале меняет знак, и нам придется разбить интервал на два: 0 <x ≤ π и π <x< 2π.
Если 0 <x ≤ π, получим уравнение
√2/2 sin x/2 + √2/2 cos x/2 = sin 2x,
y которого может появиться лишь один посторонний корень при cos x = 0. Перепишем последнее уравнение так:
sin (x/2 + π/4) = sin 2x,
и найдем его корни из интервала 0 <x ≤ π: x1 = π/6, x2 = 3π/10. Если π <x < 2π, придем к уравнению
√2/2 sin x/2 − √2/2 cos x/2 = sin 2x или sin (x/2 − π/4) = sin 2x,
которое даст нам еще два корня: x3 = 7π/6, x4 = 13/10 π. Очевидно, что для полученных углов cos x ≠ 0.
Ответ.π/6; 3π/10; 7π/6; 13π/10.
13.10. Перенеся sin α в левую часть, запишем уравнение в виде
2 sin x/2 cos x − 2α/2 = 2 sin x/2 cos x/2,
или
sin x/2 (cos x − 2α/2 − cos x/2) = 0.
Если sin x/2 = 0, то x = 2nπ при любом α. Если cos x − 2α/2 = cos x/2, то либо x − 2α/2 + x/2 = 2nπ, откуда x = 2nπ + α, либо x − 2α/2 − x/2 = 2nπ, откуда α = 2nπ.
Ответ. При любом α: 2nπ, 2nπ + α; при α = 2nπ: x − любое.
13.11. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений
cos 2x = sin² x − a, cos 2x = a − sin² x.
Понизим степень в правой части каждого уравнения и найдем
cos 2x = 1 − 2a/3, cos 2x = 2a − 1.
Первое уравнение имеет решение, если
−1 ≤ 1 − 2a/3 ≤ 1, т. е. −1 ≤ a ≤ 2.
Второе уравнение имеет решение, если −1 ≤ 2a − 1 ≤ 1, т. е. 0 ≤ a ≤ 1. Данное в условии уравнение при −1 ≤ a ≤ 2 имеет решения
x = πn ± ½ arccos 1 − 2a/3,
а при 0 ≤ a ≤ 1 решения
x = πn ± ½ arccos (1 − 2a).
Так как
0 ≤ ½ arccos 1 − 2a/3 ≤ π/4 и 0 ≤ ½ arccos (1 − 2a) ≤ π/2,
то легко найти решения нашего уравнения, которые попадут в интервал 0 ≤ x ≤ 2π.
Ответ. ½ arccos 1 − 2a/3; π ± ½ arccos 1 − 2a/3; 2π − ½ arccos 1 − 2a/3 (существуют при −1 ≤ a ≤ 2);
½ arccos (1 − 2a); π ± ½ arccos (1 − 2a); 2π − ½ arccos (1 − 2a) (существуют при 0 ≤ a ≤ 1).
13.12. Преобразуем подкоренное выражение следующим образом:
sec² (17 + 8 sin x − 16 cos² x) = sec² x (1 + 8 sin x + 16 sin² x) = sec² x (1 + 4 sin x)².
Данное уравнение принимает вид
|1 + 4 sin x|/|cos x| = 2 tg x (1 + 4 sin x).
Если 1 + 4 sin x = 0, то x = nπ + (−1)n + 1 arcsin ¼. Это — корни нашего уравнения, так как cos x ≠ 0 и tg x существует.
Если 1 + 4 sin x ≠ 0, то придется рассмотреть два случая, зависящих от знака этого выражения.
Пусть 1 + 4 sin x> 0, т. е. sin x> −¼. Тогда придем к уравнению
1/|cos x| = 2 tg x, или 2 tg x|cos x| = 1,
которое равносильно совокупности систем
Вторая система не имеет решений при sin x> −¼. Решение первой: x = π/6 + 2nπ.
Пусть, наконец, 1 + 4 sin x< 0, т. е. sin x< −¼. Уравнение
2 tg x |cos x| = −1,
к которому мы приходим в этом случае, равносильно такой совокупности систем:
Вторая система не имеет решений при sin x< −¼, а первая дает нам x = −π/6 + 2nπ.
Ответ.nπ + (−1)n + 1 arcsin ¼; ±π/6 + 2nπ.
13.13. Поскольку tg x + sin x = tg x (1 + cos x) = 2 tg x cos² x/2, а tg x − sin x = 2 tg x sin² x/2, данное уравнение можно записать в виде
√2 tg½x(|cos x/2| + |sin x/2| − √2 cos x) = 0.
Первые решения получим при tg x = 0; x = kπ. Остальные решения нам доставят корни уравнения
|cos x/2| + |sin x/2| = √2 cos x,
при которых tg x> 0 (случай tg x = 0 уже исследован). Решим вначале последнее уравнение, а затем исключим те решения, которые не удовлетворяют неравенству tg x> 0. Возведем это уравнение в квадрат и, чтобы не нарушить равносильности, добавим ограничение cos x ≥ 0. Получим систему
Так как одновременно tg x> 0 и cos x> 0, то sin x> 0. Поэтому
|sin x| = sin x.
Приходим к уравнению
2sin² x + sin x − 1 = 0.
Решая его, найдем
|sin x| = −1 ± 3/4.
Так как |sin x| ≥ 0, то остается решить уравнение
|sin x| = ½,
корнями которого будут числа
x = π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk.
Остается вспомнить, что tg x> 0.
Ответ.kπ, π/6 + 2kπ.
13.14. При замене 1/sin 4x на можно ожидать потери корней, при которых tg 2x не существует, или, что то же самое, cos 2