x = 0. Однако при cos 2x = 0 обращается в нуль и sin 4x, т. е. потери корней не произойдет.
Так как в левую часть уравнения
ctg 2x + 3 tg 3x = 2 tg x + (1 + tg² 2x)1/tg 2x
входит ctg 2x, то, заменив 1/tg 2x на ctg 2x и раскрыв скобки, мы уничтожим в правой и левой частях ctg 2x. Замена 1/tg 2x = ctg 2x грозит лишь приобретением корней, при которых tg 2x не существует, т. е. безопасна, так как tg 2x остается в уравнении. Когда происходит уничтожение одинаковых слагаемых ctg 2x, то нужно добавить к уравнению
3 tg 3x = 2 tg x + tg 2x,
условие
ctg 2x существует.
Мы воспользовались попутно неабсолютным тождеством tg 2x ctg 2x = 1, которое не приводит к приобретению посторонних корней, так как tg 2x и ctg 2x остались в системе.
Преобразуем уравнение следующим образом:
2(tg 3x − tg x) + tg 3x − tg 2x = 0,
т. е.
Теперь систему можно переписать так:
Так как sin 2x ≠ 0, то на него можно сократить. Получим уравнение
cos 2x = −¼,
откуда x = ±arccos(−¼) + kπ. Поскольку при этих x все ограничения выполняются, найденные значения x являются решениями данного уравнения.
Ответ. ±arccos(−¼) + kπ.
13.15. Данное уравнение равносильно системе
Пусть sin x² + cos x² = y. Возведем это соотношение в квадрат: 1 + 2 sin x² cos x² = y², откуда
sin x² cos x² = y² − 1/2.
После подстановки и простых преобразований уравнение примет вид
y² − 2y − 3 = 0,
откуда y1 = −1, y2 = 3. Второй корень посторонний, так как sin x² + cos х² всегда меньше двух.
Если sin x² + cos x² = −1, то
cos (х² − π/4) = −1/√2 и x² = 2nπ ± 3π/4 + π/4.
Взяв знак плюс, получим x² = π(2n + 1). Этот корень посторонний, так как sin x² ≠ 0.
Для знака минус получим, что x² = −π/2 + 2nπ. Это тоже посторонний корень, так как cos x² ≠ 0.
Ответ. Нет решений.
13.16. Данное уравнение равносильно системе
Уравнение можно привести к однородному, домножив 6 sin x на sin² x + cos² x:
3 sin³ x − cos³ x − 2 sin x cos² x = 0.
Обозначим tg x через y, получим
3y³ − 2y − 1 = 0, или (y − 1)(3y² + 3y + 1) = 0,
где квадратный трехчлен не имеет действительных корней.
Остается y = 1, т. е. tg x = 1, x = π/4 + nπ. Однако cos 2x при x = π/4 + nπ обращается в нуль.
Ответ. Нет решений.
13.17. С помощью формул универсальной подстановки придем к уравнению относительно y = tg x/2:
y(2y³ − 7у² − 2y + 1) = 0.
В результате такой замены могли быть потеряны корни, так как tg x/2 теряет смысл при x = π(2k + 1), в то время как sin x, cos x и tg x при этих значениях x имеют смысл. Проверкой убеждаемся, что эти значения неизвестного не являются корнями исходного уравнения.
Один корень полученного алгебраического уравнения очевиден: y = 0. Второй мы найдем на основании теоремы о рациональных корнях многочлена, испытав y = ±1; ±½. Убеждаемся, что y = −½ — второй корень уравнения. Разделив многочлен 2y³ − 7у² − 2y + 1 на 2y + 1, получим уравнение
y² − 4y + 1 = 0,
которое даст еще два корня: y = 2 + √3, y = 2 − √3.
Если tg x/2 = 2 + √3, то
то же самое мы получим и при tg x/2 = 2 − √3.
Так как и обратно из sin x = ½ следует, что
то совокупность уравнений tg x/2 = 2 + √3 равносильна уравнению sin x = ½. Получаем x = kπ + (−1)kπ/6.
Ответ. 2πk; kπ + (−1)kπ/6; 2πk − 2 arctg ½.
13.18. Понижением степени данное уравнение приводится к виду
2 cos x = 1 + cos 3x/2.
С помощью формул для косинуса двойного и тройного углов приходим к уравнению относительно y = cos x/2:
4y³ − y² − 3y + 3 = 0.
Левую часть легко разложить на множители:
4у²(y − 1) − 3(y − 1) = 0, (y − 1)(4у² − 3) = 0.
Если cos x/2 = 1, то x1, = 4πn. Если 4 cos² x/2 = 3, то cos x = ½ и x2 = 2πn ± π/3.
Ответ. 4πn; 2πn ± π/3.
13.19. Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках:
Теперь придем к виду, удобному для логарифмирования, правую часть уравнения:
2√2(1 + sin 2x + cos 2x) = 4√2 cos x(sin x + cos x) = 8 cos x sin (π/4 + x). В итоге получаем уравнение
которое равносильно системе
Условие sin x sin (π/4 − x) ≠ 0 подсказывает, что удобнее в левой части уравнения заменить sin 4x на его разложение, стоящее справа, чем наоборот. Сокращая после этого обе части уравнения на 8 sin x sin (π/4 − x) ≠ 0, получим уравнение
cos x cos (π/4 − x)[sin (π/4 + 2x) − 1] = 0.
Среди корней уравнений cos x = 0 и cos (π/4 − x) = 0 не может быть таких, при которых sin x sin (π/4 − x) = 0. Остается проверить корни уравнения sin (π/4 + 2x) = 1. Преобразуем вначале условие, которому они должны удовлетворять: sin x sin (π/4 − x) ≠ 0, или cos (π/4 − 2x) − cos π/4 ≠ 0, т. е. cos (π/4 − 2x) ≠ 1/√2, или sin (π/4 + 2x) ≠ 1/√2. Теперь ясно, что в уравнение sin (π/4 + 2x) = 1 не попали посторонние корни.
Ответ.π/2 + nπ; −π/4 + nπ; π/8 + nπ.
13.20. Перепишем данное уравнение в виде
т. е.
После возведения в квадрат (при этом могут появиться посторонние корни, для которых cos x> 0) получим квадратное уравнение относительно y = cos x:
y² − 4у − 4 = 0, т. е. y1,2 = 2 ± 2 √2.
Положительный корень заведомо посторонний. Остается
cos x = 2 − 2 √2.
Ответ.x = π(2n + 1) ± arccos |2( √2 − 1)|.
13.21. Так как sin 4x = 4 sin x cos x(2 cos² x − 1), то данное уравнение можно переписать в виде
sin x [4 cos x (2cos² x − 1) − m/cos x] = 0.
Если sin x = 0, то x = kπ. Это — корни данного уравнения, поскольку cos kπ ≠ 0.
Если выражение в квадратных скобках равно нулю, то приходим к биквадратному уравнению
8 cos4x − 4 cos² x − m = 0,
среди корней которого не должно быть cos x = 0.
Решая это биквадратное уравнение, получим
Так как m> 0, то перед корнем берем знак плюс. (Очевидно, что при этом cos x ≠ 0). Воспользуемся формулой
и преобразуем уравнение к виду
Правая часть этого уравнения положительна. Поэтому, чтобы уравнение имело решение, достаточно
откуда m ≤ 4.
Ответ. При m> 0 уравнение имеет решение x = nπ; при 0 <m ≤ 4:
13.22. Раскроем скобки и применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов:
Приведя подобные члены, получим
откуда
и
Ответ.
13.23. Так как
sin kх sin k²x = 1 {cos [(k − 1)kx] − cos [k(k + 1)x]}, то уравнение можно переписать в виде
откуда
Ответ. где k = 0, +1, +2, ..., а натуральное n фиксировано.
13.24. Перенесем единицу в левую часть и запишем уравнение в виде
2 cos x − cos 2x − cos² 2x = 0,
или
2 cos x − cos 2x (1 + cos 2x) = 0.
Выражение в скобках равно 2 cos² x. Поэтому
cos x (1 − cos x cos 2x) = 0.
Если cos x = 0, то x = π/2 + nπ.
Если cos x cos 2x = 1, то
Второе уравнение первой системы преобразуется к виду 2 cos² x − 1, т. е. cos² x = 1. Следовательно, cos x = 1 и x = 2nπ.
Для второй системы аналогично получим cos² x = 0, что несовместно с первым уравнением cos x = −1.
Ответ.π/2 + nπ; 2nπ.
13.25. Данное уравнение эквивалентно совокупности двух систем