t = 2πk/3 , k = 0, ±1, ±2, ... .
Остается учесть все ограничения:
sin 2t ≠ 0, cos 2t ≠ 0, cos 2t ≠ ½.
Условия sin t ≠ 0, cos t ≠ 0, cos 2t ≠ 0 можно объединить: sin 4t ≠ 0. Из значений неизвестного t = 2πk/3 нужно исключить те, при которых имеет место одно из равенств: sin 4t = 0 или cos 2t = ½. Первое равенство будет иметь место, когда k делится на 3, т. е. k = 3n. Остаются две возможности: k = 3m + 1 и k = 3m − 1. Итак, остались для проверки значения:
t = 2π(3m + 1)/3 и t = 2π(3m − 1)/3.
Среди них не должно быть таких, что cos 2t = 1. Вычислим cos[2π(3m + 1)/3] и cos[2π(3m − 1)/3]
cos[2π(3m + 1)/3] = cos (2πm + 2π/3) = cos 2π/3 = −½,
cos[2π(3m − 1)/3] = cos (2πm − 2π/3) = cos (−2π/3) = −½.
Ответ. 2π(3m ± 1)/3.
Глава 14Тригонометрические неравенства
14.1. Неравенство равносильно такому:
sin² x> cos² x,
т. е.
cos² x − sin² x< 0, cos 2x< 0,
откуда
π/2 + 2nπ < 2x<3π/2 + 2nπ.
Ответ. π/4 + nπ <x<3π/4 + nπ.
14.2. Перепишем неравенство в виде
1/√2 cos x − 1/√2 sin x< −1/√2,
откуда
cos (x + π/4) < −1/√2,
т. е.
3π/4 + 2nπ <x + π/4<5π/4 + 2nπ
Ответ.π/2 + 2nπ <x< π + 2nπ.
14.3. Способ 1. Неравенство sin x< 3 cos x равносильно совокупности трех систем
Решение каждой из них изображено на рис. P. 14.3.
Способ 2. Запишем данное неравенство так:
При использовании этих формул мы исключили из области существования левой части неравенства точки, в которых tg x/2 не существует. Поэтому нужно подставить в исходное неравенство x = π(2n + 1). Убеждаемся, что
sin π(2n + 1) − 3 cos π(2n + 1) = 3,
т. е. эти точки не являются корнями неравенства.
Приходим к квадратному неравенству
3 tg² x/2 + 2 tg x/2 − 3 < 0,
откуда
Наиболее компактный ответ получается при решении неравенства первым способом.
Ответ. arctg 3 + π(2n + 1) <x< arctg 3 + 2πn.
14.4. Поскольку tg x входит в правую часть данного неравенства, замена sin 2x и cos 2x их выражениями через tg x приведет к равносильному неравенству. Обозначив tg x = y, получим
Так как 1 + y² > 0, то это неравенство равносильно такому:
y³ + 2y² − y − 2 < 0.
Сгруппировав первый член с третьим, а второй с четвертым, разложим левую часть на множители:
(y + 2)(y + 1)(y − 1) < 0.
Решения этого неравенства будут лежать в интервалах
y< −2, −1 <y< 1,
т. е.
tg x< − 2, −1 < tg x< 1.
Ответ. −π/2 + nπ <x< −arctg 2 + nπ; −π/4 + nπ <x<π/4 + nπ.
14.5. Способ 1. Неравенство равносильно совокупности двух систем
Начнем со второго неравенства. При решении обеих систем нам понадобятся радиусы, на которых tg 2x = 0 и tg 2x не существует, так как только в этих точках может произойти перемена знака.
Эти радиусы нанесены на рис. P.14.5, а и б, причем на первом горизонтальной штриховкой заштрихованы те секторы, где tg 2x< 0, а на втором — остальные секторы круга. Остается в первом случае выбрать секторы, в которых cos x ≥ 0, а во втором — в которых cos x ≤ 0.
Нанесем решения данного неравенства на общий чертеж (рис. P.14.5, в), после чего можно записать ответ.
Способ 2. Воспользуемся формулой тангенса двойного угла и перепишем неравенство в виде
Формула, которую мы применили, является неабсолютным тождеством, так как в результате ее использования из области определения левой части неравенства исчезают значения x, при которых cos x = 0. Непосредственной подстановкой в исходное неравенство убеждаемся, что x = π/2 + kπ — его корни. Отметив соответствующие радиусы на чертеже (рис. P.14.5, г), можем считать, что cos x ≠ 0, и решать неравенство
Когда sin x ≥ 0, то получим tg x< −1, tg x> 1 (рис. P.14.5, д), а когда sin x ≤ 0, то −1 < tg x< 1 (рис. P.14.5, e). Объединяя все решения на одном чертеже (не забывайте про рис. P.14,5, г), запишем окончательный ответ (см. рис. P.14.5, в).
Ответ.π/4 + 2nπ <x<3π/4 + 2nπ; π + 2nπ ≤ x<5π/4 + 2nπ; 7π/4 + 2nπ <x ≤ 2(n + 1)π; x = (4n − 1)π/2.
14.6. Выразим все тригонометрические функции через cos x = y. Получим неравенство
2y² + 13y + 5 ≥ |2y² − 3y + 1|.
Оно равносильно совокупности систем
или
Так как y = cos x, то −1 ≤ y ≤ 1. Учитывая это ограничение, получим
−¼ ≤ y ≤ ½, y = 1, ½ <y< 1,
т. е.
cos x ≥ −¼.
Ответ. π(2k − 1) + arccos ¼ ≤ x ≤ π(2k + 1) − arccos ¼.
14.7. Если cos x = 0, то sin² x = 1 и неравенство не удовлетворяется.
Поделим обе части неравенства на cos² x и обозначим tg x = y. Получим алгебраическое неравенство
√2 y² − 2y + 2 − √2 < 0.
Разделив на √2, получим неравенство
y² − √2 y + √2 − 1 < 0,
откуда
√2 − 1 < tg x< 1.
Из интервалов, в которых лежит x:
arctg (√2 − 1) + nπ < x <π/4 + nπ,
выбираем решения, лежащие в (0, 2π).
Ответ. arctg (√2 − 1) <x<π/4; π + acrtg (√2 − 1) < x <5π/4.
14.8. Дискриминант трехчлена равен
(2 cos α − 1)² − 4 cos² α + 10 cos α − 4 = 6 cos α − 3.
Чтобы уравнение имело различные действительные корни, нужно потребовать
6 cos α − 3 > 0; т. е. cos α > ½,
откуда 0 ≤ α <π/3 (в условии сказано, что 0 ≤ α ≤ π).
Свободный член сравним с нулем:
2cos² α − 5cos α + 2 ∨ 0.
Так как корнями трехчлена 2y² − 5у + 2 будут числа ½ и 2, то свободный член будет положителен при cos α < ½ и отрицателен при cos α > ¼. Мы уже выяснили, что должно иметь место второе неравенство; таким образом, исходное уравнение имеет корни разных знаков.
Поскольку x1 + x2 = 2cos α − 1, что при cos α > ½ больше нуля, то положительный корень имеет большую абсолютную величину.
Ответ. Данное уравнение имеет два различных действительных корня при 0 ≤ α <π/3. Эти корни имеют разные знаки, причем положительный корень больше по абсолютной величине.
14.9. Если sin x ≥ 0 и cos x ≥ 0, то данное неравенство равносильно такому:
Так как при sin x ≥ 0 и cos x ≥ 0 имеем
sin x + cos x ≥ 1,
а при sin x> 0 и cos x> 0 это неравенство становится строгим, то отсюда следует, что неравенство (1) равносильно системе
Ответ. 2nπ <x<π/2 + 2nπ.
14.10. Данное неравенство означает, что
π/4 + kπ ≤ 1/1 + x²<π/2 + kπ.
Если k> 0, то левое неравенство не имеет решений, поскольку 1/1 + x² не превосходит единицы. Если k< 0, то не имеет решений правое неравенство, так как 1/1 + x² — величина, положительная при всех x. Остается случай k = 0. При k = 0 правое неравенство удовлетворяется всегда. Решим левое неравенство.
Ответ.
14.11. Так как sin x + cos x = √2 cos (x − π/4), то, обозначив cos (π/4 − x) = y, получим неравенство
Это неравенство равносильно такому:
Так как y не превосходит 1, то 2 − y> 0. Поэтому y> ¾.
Решением неравенства cos (π/4 − x) > ¾ будут значения x − π/4, лежащие между 2kπ − arccos ¾ <x< 2kπ + arccos ¾.
Ответ. 2kπ + π/4 − arccos ¾ <x< 2kπ + π/4 + arccos ¾.
14.12. Перепишем неравенство в виде
Преобразуем знаменатель
cos x cos 3x = ½(cos 2x + cos 4x) = ½(cos 2x + 2 cos² 2x − 1)
и введем обозначение cos 2 x = y. Получим