x2 = 7.
При а = −5 получим x1 = −3, x2 = 1.
Ответ. −5; 7.
17.11. Обозначим x² = y, где y ≥ 0. Получим квадратное уравнение
y² − (1 − 2a)y + а² − 1 = 0, (22)
дискриминант которого D = 5 − 4a.
Если 5 − 4a< 0, т. е. а>5/4, решений нет.
Если 5 − 4a = 0, т. е. а = 5/4, получим уравнение
y² + 3/2y + 9/16 = 0
с единственным корнем y = −¾. Однако y ≥ 0 и потому решений тоже нет.
Пусть теперь а<5/4 и D> 0. Тогда уравнение (22) имеет корни:
Рассмотрим сначала случаи, когда один из этих корней равен нулю, т. е.
При а = −1 получим уравнение
y² − 3y = 0, т. е. y1 = 0, y2 = 3.
Поэтому при а = −1 исходное уравнение имеет три корня 0; −√3; √3.
При а = 1 получим
y² + y = 0, т. е. y1 = 0, y2 = −1.
Поскольку y ≥ 0, то при а = 1 остается одно решение x = 0.
Теперь осталось рассмотреть два случая:
y1> 0 и y2> 0.
В первом случае нужно решить неравенство
Оно равносильно системе
0 < 5 − 4a< (1 − 2a)²
(слева строгое неравенство, так как имеет место условие а<5/4), т. е.
0 < 5 − 4a< 1 − 4a + 4a².
Правое неравенство дает нам а² > 1. Таким образом, для y1> 0 получим
а< −1, 1 <а<5/4.
Для y2> 0 получим
Если 2a − 1 < 0, т. е. а< ½, то условие а<5/4 соблюдается. Поэтому при а< ½ получим, что у2> 0. Если же 2a − 1 ≥ 0, т. е. а> ½, то учтем условие а<5/4. Возведя неравенство в квадрат, получим а² < 1, т. е. во втором случае (а ≥ ½) получим ½ ≤ а< 1. Окончательно у2> 0 при а< 1.
Объединим решения для y1> 0 и у2> 0, нанеся их на числовую прямую, учтем результат, полученный для а = 5/4 (рис. P.17.11).
Ответ. При а< −1 уравнение относительно x имеет четыре решения. При а = −1 y него три решения, при −1 <а< 1 два решения, при а = 1 одно решение, при 1 <а<5/4 два решения, при а ≥ 5/4 решений нет.
17.12. Пусть sin 4x = y. Тогда данное уравнение преобразуется в квадратное
(a + 3)y² + (2a − 1)y + (a − 2) = 0, (23)
где
|y| ≤ 1. (24)
Уравнение (23) имеет решения тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, т. е.
D = (2a − 1)² − 4(a + 3)(a − 2) = 25 − 8a ≥ 0. (25)
Кроме того, нужно обеспечить, чтобы по крайней мере один из корней t1 или t2 уравнения (24) не превосходил по абсолютной величине 1.
Пусть сначала D = 0, т. е. а = 25/8. Тогда
Условие (24), как мы видим, соблюдается, и уравнение sin 4x = −3/7 имеет решение.
Уравнение sin z = −3/7 на отрезке [−π, π] имеет ровно два решения z1 и z2. Если осуществить замену переменной: z = 4x, то отрезок [−π, π] сузится для новой переменной x в четыре раза к началу отсчета и станет отрезком [−π/4, π/4]. Поэтому на отрезке [−π, π] для переменной x разместятся уже не 2, а 8 решений (в силу того, что sin z имеет период 2π, а sin 4x имеет период π/2). Итак, а = 25/8 — одно из искомых нами значений параметра а.
Пусть теперь D> 0, т. е. а<25/8. Тогда уравнение (23) имеет два действительных решения y1 и y2, такие, что y1<y2. Если оба значения y1 и y2 попадают внутрь интервала (−1, 1), то каждому значению синуса будут соответствовать два значения переменной z в интервале (−π, π) и восемь значений переменной x = z/4 в том же интервале. Решений будет ровно 8, если одно решение уравнения лежит в (−1, 1), а другое — вне этого интервала (случаи, когда y = ±1 будут рассмотрены отдельно). Конечно, можно перебрать все возможные варианты расположения y1 и y2 относительно интервала (−1, 1). Но это хлопотно и поэтому задачу следует упростить. Нас интересуют все случаи, когда один корень параболы, определяемой левой частью уравнения (23), внутри интервала (−1, 1), а другой вне этого интервала, т. е. парабола
f(y) = (а + 3)y² + (2a − 1)y + (а − 2) (26)
пересекает интервал (−1, 1) в одной и только в одной точке. Это условие равносильно такому
f(−1)f(1) < 0, (27)
т. е. на концах интервала (−1, 1) парабола имеет противоположные знаки. Подставим в (27) значения y = −1 и y = 1. После преобразований получим
а< 0.
При этом условии удовлетворяется и требование D> 0, т. е. требование а<25/8. Итак, все значения а ∈ (−∞, 0) удовлетворяют условиям задачи, как и найденное ранее значение а = 25/8. Мы не рассмотрели только случаи, когда корни уравнения (23) равны −1 и 1.
Начнем со случая y1 = −1, y2 = 1, т. е. f(−1) = f(1) = 0.
Так как f(−1) = 2, f(1) = 4a, то этот случай невозможен. Невозможен и случай, когда f(−1) = 0, так как f(−1) = 2. Остается последняя возможность: f(1) = 0. Но f(1) = 4a . Поэтому а = 0. Уравнение (23) примет вид
3y² − y − 2 = 0. (28)
Уравнение (28) имеет два корня:
у1 = −⅔ и y2 = 1.
Первому из них уже будут соответствовать два значения z и восемь значений x на отрезке [−π, π]. Сколько соответствует второму, не существенно. Достаточно, что не меньше одного. Поэтому этот случай не дает новых значений параметра а.
Ответ.а ∈ (−∞, 0) ∪ (25/8).
17.13. Через точку на плоскости (x; y) с фиксированными координатами x и y проходит кривая семейства тогда и только тогда, когда существует значение параметра а, удовлетворяющее данному уравнению кривых семейства при этих фиксированных x и y.
Другими словами, если мы запишем уравнение семейства кривых как уравнение относительно а, то оно имеет решение при тех и только тех значениях x и y, при которых через точку плоскости с этими координатами проходит кривая семейства. Поэтому преобразуем исходное уравнение к виду
2a² + 2(x − 2)а + (x − 1)² − y = 0
и потребуем, чтобы дискриминант этого уравнения был неотрицателен
D = −х² + 2 + 2y ≥ 0,
откуда
y ≥ x²/2 − 1.
Это необходимое и достаточное условие того, чтобы через точку (x; y) проходила по крайней мере одна кривая данного семейства.
Таким образом, через все точки (x; y), лежащие вне части плоскости, ограниченной параболой y = x²/2 − 1 (рис. P.17.13), кривые семейства не проходят. Через остальные точки кривые проходят.
Глава 18Задачи на составление уравнений
18.1. Пусть x, y, z, u — производительности первой, второй, третьей и четвертой труб соответственно. Примем объем бассейна за единицу. Тогда получим систему уравнений
Вычитая из первого уравнения поочередно второе и третье, найдем соответственно
z = 1/12, x = 1/20.
Следовательно, общая производительность первой и третьей труб равна z + x = 2/15.
Ответ. 7,5 ч.
18.2. Пусть плечи весов равны l1 и l2 соответственно. Тогда в первый раз продавец отпустил кг товара, а во второй раз он отпустил кг. Таким образом, он отпустил покупателю товар массой
В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим
где равенство достигается лишь при l1 = l2. Таким образом, продавец отпустил больше товара, чем следовало.
18.3. Если все 500 марок расклеить по 20 на один лист, то двух альбомов не хватит для всех марок. Поэтому 2x< 25, т. е. x ≤ 12 (x − количество листов в альбоме и, следовательно, целое). Если же 500 марок расклеить по 23 на один лист, то в двух альбомах окажется по крайней мере один свободный лист. Это значит, что 2x − 1 ≥ 500/23, откуда 2x ≥ 22, x ≥ 11. Итак, либо x = 11, либо x = 12.
Если в альбоме 11 листов, то y школьника было 500 − 21 · 11 = 269 марок, которые нельзя разместить на 10 листах по 23 штуки на каждом. Второе число удовлетворяет условию задачи.
Ответ. 12 листов.
18.4.