а из уравнения (8) найдем z = (120 + 90√2) км.
Ответ. (120 + 90√2) км.
18.13. Пусть пассажир опоздал на поезд на t ч, проехал на такси x км, а на автобусе y км. Скорость поезда обозначим через u. Тогда путь до встречи с поездом пассажир проедет за ч, а поезд пройдет этот путь за x + y/u ч. Учтя опоздание пассажира, получим
Поездка на такси и автобусе обошлась пассажиру в (ax + А) p. Если бы он ехал все время на такси, то это стоило бы (ax + А − В) p. и он догнал бы поезд, проехав ax + А − В/a км. Приравнивая времена, за которые этот путь прошел поезд и проехал догонявший его пассажир, получим второе уравнение:
Третье уравнение очевидно:
Записав его в виде
найдем
Приравниваем выражения для t из уравнений (10) и (11). Получим
т. е.
Поскольку y уже найден, можно вычислить u:
Чтобы задача имела решение, скорость поезда должна быть положительной. Так как v1>v2 и А>В, то из неравенства
следует, что
Ответ.
18.14. Обозначим скорость товарного поезда до остановки через x, расстояние AB через y, а расстояние AC через z. Тогда пассажирский поезд шел вначале со скоростью mx, а после остановки оба поезда шли соответственно со скоростями 5x/4 и 5mx/4. Весь путь без остановки товарный поезд прошел бы за y/x ч. Поскольку он сделал остановку на t ч в z км от А, а затем прошел оставшиеся (y − z) км со скоростью 5x/4, то он прошел весь путь за
z/x + 4(y − z)/5x + t ч.
Следовательно,
y/x + t1 = z/x + 4(y − z)/5x + t.
Аналогичное уравнение составляем для пассажирского поезда, который шел в обратном направлении:
y/mx + t2 = y − z/mx + 4y/5mx + t.
Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно из времени, за которое товарный поезд прошел отрезок AC, вычесть время, за которое пассажирский поезд прошел расстояние BC. В наших обозначениях эта разность запишется так:
z/x − y − z/mx.
Именно это выражение нам нужно определить с помощью полученных выше уравнений. Мы может добиться этого, решив уравнения относительно z/x и y/x. После простых преобразований система примет вид
Умножив первое уравнение на −4 и сложив со вторым, найдем z/x, а умножив его на −5 и сложив со вторым, найдем y/x:
y/x = 25(t − t1) − 5m(t2 − t), z/x = 20(t − t1) − 5m(t2 − t).
Остается подставить найденные значения в выражение
(m + 1)z/mx − y/mx.
Ответ.5/m[(4m − 1)(t − t1) − m²(t2 − t)].
18.15. Обозначим скорость самолета через x, а скорость вертолета через y. До первой встречи вертолет летел d/y ч, а самолет — d/x ч. Так как самолет вылетел на t ч позднее, то
d/y = d/x + t.
Второе уравнение мы получим из условия второй встречи. Вертолет к этому моменту находился в d км от В и пробыл в полете s − d/y ч. Самолет, преодолев расстояние s + d, пробыл в полете s + d/x ч. Следовательно,
s − d/y = s + d/x + t.
Хотя полученную систему уравнений можно решить, а затем ответить на вопрос задачи, мы сначала вычислим интересующую нас величину в предположении, что x и y известны. Вертолет прилетел в В через s/y ч после вылета. Самолет вернулся в А через (t + 2s/x) ч после того, как вертолет вылетел из А. Нас интересует величина
t + 2s/x − s/y
— на столько позднее самолет вернулся в А, чем вертолет прилетел в В. Таким образом, из полученных уравнений нужно определить 1/x и 1/y. Умножив первое уравнение на d − s, а второе на d и сложив, найдем
(s + d)d/x + d(d − s)/x + t(d − s) + td = 0, т. е. 2d²/x = t(s − 2d),
откуда
1/x = t(s − 2d)/2d².
Из первого уравнения определяем 1/y:
1/y = 1/x + t/d = ts/2d².
Следовательно,
t + 2s/x − s/y = t + 2st(s − 2d)/2d² − ts²/2d² = t + st(s − 4d)/2d².
Задача имеет решение, если все участвующие компоненты положительны. Чтобы величина 1/x имела смысл, необходимо s> 2d.
По условию вертолет прилетел в В раньше, чем самолет вернулся в А. Поэтому
t + st(s − 4d)/2d²> 0, т. е. s² − 4sd + 2d² > 0.
Получаем квадратное неравенство относительно отношения s/d:
(s/d)² − 4s/d + 2 > 0,
откуда
s/d< 2 − √2 или s/d> 2 + √2.
Первое решение придется отбросить, так как тогда s< 2d − √2 d, а это противоречит условию, что s> 2d.
Ответ. t + st(s − 4d)/2d², s> (2 + √2)d.
18.16. Устье реки, на которой стоит порт M, обозначим через А, а устье второй реки — через В. Расстояние MA обозначим буквой x, а расстояние BN — буквой y. Искомое расстояние тогда будет равно s − (x + y). Путь от M до N пароход прошел за: ч — путь по первой реке (по течению), s − (x + y)/v ч — путь по озеру и ч — путь по второй реке (против течения). Так как весь путь пароход прошел за t ч, то получаем уравнение
Аналогично для пути от N до M получим уравнение
Приравнивая левые части этих уравнений, получим
т. е.
Подставим найденное выражение для x в первое уравнение и найдем
следовательно,
Остается найти s − (x + y).
Ответ.
18.17. Примем расстояние AB за единицу. Пусть скорости пассажирского, курьерского и скорого поездов равны v, 2v и u соответственно (в долях этой единицы).
Тогда время, которое находились в пути до встречи скорый и курьерский поезда, равно 1/u + 2v, а время до встречи скорого и пассажирского будет равно 1/u + v. По условию
1/u + 2v ≥ 10½ − 8 = 5/2, (13)
1/u + v − 1/u + 2v ≥ 1. (14)
Нам известно также, что скорый поезд преодолевает расстояние AB за 55 ч. Следовательно, за 1 ч он проходит 6/35AB, т. е. u = 6/35. Подставим это значение u в каждое из предыдущих неравенств, находим, что, с одной стороны, v ≤ 4/35, а, с другой стороны, 4/35 ≤ v ≤ 9/70. Обоим неравенствам удовлетворяет единственное значение v = 4/35, т. е. пассажирский поезд находился в пути из В в А 8 ч 45 мин и прибыл в А в 16 ч 45 мин.
Полезно обратить внимание на то обстоятельство, что решение системы неравенств, казалось бы, упростится, если неравенства (13) и (14) сложить и заменить их суммой второе неравенство. Однако система неравенств
оказывается неравносильной первоначальной системе. Неравенство (15) является следствием системы (13), (14), но заменять им произвольное из исходных неравенств мы не имеем права. Система (13), (15) имеет решение