sin 4nπ/a + cos 4nπ = sin 2nπ/a + cos 2nπ,
т. е.
sin 4nπ/a = sin 2nπ/a,
откуда или 4nπ/a − 2nπ/a = 2kπ, или 4nπ/a + 2nπ/a = (2k + 1)π, т. e. или а = n/k, или a = 6n/2k + 1. И в том и в другом случае а — рациональное число.
23.8. Период функции cos 3x/2 равен Т1 = 2π : 3/2 = 4π/3, период функции sin x/3 равен 6π.
Наименьшее общее кратное этих периодов будет 12π. Очевидно, что 12π — период данной функции. Докажем, что это — основной период.
Пусть существует период τ такой, что 0 < τ < 12π. Тогда имеем тождество
cos 3/2(x + τ) − sin x + τ/3 − cos 3/2x + sin x/3 = 0,
или
sin ¾ τ sin ¾ (2x + τ) + sin τ/6 cos 1/6 (2x + τ) = 0.
Так как τ < 12π, а ¾τ = 3τ/4ππ и τ/6 = τ/6ππ, то одно из чисел 3τ/4π или τ/6π не является целым, т. е. по крайней мере одно из чисел sin ¾τ и sin τ/6 не равно нулю. Пусть, например, sin ¾τ ≠ 0.
Тогда имеем тождество
что невозможно, так как в правой части стоит постоянная величина. Легко убедиться, что это тождество ложно, выбрав, например, x = 0 и x = 6π и сравнив для этих x левые части. Получим sin 3τ/4 = 0, что противоречит предположению.
Ответ. 12π.
Глава 24Наибольшие и наименьшие значения
24.1. Так как sin x − cos² x − 1 = sin² x + sin x − 2 = (sin x + ½)² − 9/4, то функция достигает своего наименьшего значения при sin x + ½ = 0.
Ответ.x = (−1)k + 1 π/6 + πk.
24.2. Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов
y = ½[cos π/6 − cos (4x − π/6)] = √3/4 − ½cos (4x − π/6).
Чтобы функция y достигла своего наибольшего значения, нужно положить cos (4x − π/6) = −1, откуда x = π/24 + π/4 (2n + 1) = πn/2 + 7π/24. Наибольшее значение функции равно ymax = √3/4 + ½.
Ответ. При x = πn/2 + 7π/24ymax = √3/4 + ½.
24.3. Данную функцию можно записать в виде y = sin x cos x (cos² x − sin² x), после чего она легко преобразуется: 4y = 2 sin 2x cos 2x = sin 4x.
Ответ. ¼.
24.4. Запишем данное выражение в виде (x + y + 1)² + (x − 2)² − 3. Оно будет иметь наименьшее значение, если одновременно x − 2 = 0 и x + y + 1 = 0.
Ответ. −3 при x = 2.
24.5. Точки ±1 и ±2 разбивают числовую ось на пять интервалов, в каждом из которых нетрудно найти наименьшее значение y.
1. Если x ≤ −2, то y = x² − 1 + x² − 4 − x − 2 − x − 1 = 2x² − 2x − 8.
Абсцисса вершины параболы y = 2x² − 2x − 8 равна x = −b/2a = ½,
т. е. при x ≤ 2 мы находимся левее вершины, функция y на этом участке убывает, а потому наименьшее значение она принимает в самой правой точке интервала: x = −2, y = 4.
2. Если[23] −2 ≤ x ≤ −1, то легко проверить, что y = 4.
3. Если −1 ≤ x ≤ 1, то y = −2x² + 2x + 8.
Так как ветви параболы направлены вниз, то наименьшее значение нужно искать на концах интервала: при x = −1 мы уже видели, что y = 4; при x = 1, y = 8.
4. Если 1 ≤ x ≤ 2, то y = 2x + 6. Наименьшим будет значение в точке x = 1.
5. Если x ≥ 2, то y = 2x² + 2x − 2.
Абсцисса вершины этой параболы x = −½; она лежит левее точки x = 2. Следовательно, наименьшее значение достигается при x = 2, т. е. y = 10.
Ответ.ymin = 4 при −2 ≤ x ≤ −1.
24.6. Заменим a/x на сумму из семи одинаковых слагаемых, каждое из которых равно a/7x. К функции
x7 + a/7x + a/7x + a/7x + a/7x + a/7x + a/7x + a/7x
применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим Равенство достигается при
Ответ.
24.7. Если ввести углы x и y (рис. P.24.7), то по теореме синусов AB + BC + 2R(sin x + sin y) = 4R sin [π − α/2] cos [x − y/2].
Наибольшее значение этого выражения достигается при cos [x − y/2] = 1, т. е. при x − y = 0. Так как x + y = π − α, то x = π/2 − α/2. Следовательно,
AB = ВС = 2R sin x = 2R cos α/2.
Ответ. 2R cos α/2.
24 . 8 . Если катеты основания обозначить через а и b, то боковая поверхность призмы равна
Нам известна площадь основания. Поэтому аb = 4. Преобразуем выражение для боковой поверхности так, чтобы участвовали только аb и а + b:
Мы получили монотонную функцию от а + b. Ее наименьшее значение достигается одновременно с наименьшим значением а + b. Поскольку а + b ≥ 2√ab = 4, то равенство достигается, если а = b = 2.
Ответ. 2.
24.9. Так как правильный шестиугольник и квадрат — фигуры центрально−симметричные, то центр вписанного в шестиугольник квадрата должен совпадать с центром шестиугольника. Пусть K (рис. P.24.9) — одна из вершин квадрата, а M — центрально−симметричная ей точка многоугольника.
Обозначим через α угол AOK. Тогда По теореме синусов
Чтобы задача имела решение, должно быть OQ ≥ OK, т. е. sin (30° + α) ≤ sin α. Так как угол а больше угла BOA, то α ≥ 60°. Кроме того, можно считать, что α ≤ 90°, т. е. 60° ≤ α ≤ 90°. Чтобы для этих углов выполнялось условие
sin (30° + α) ≤ sin α,
необходимо и достаточно, чтобы 75° ≤ α ≤ 90°. Из формулы для KO видно, что с увеличением α диагональ квадрата уменьшается. Следовательно, α нужно выбрать минимальным из возможных, т. е. α = 75°. Тогда , а сторона квадрата равна KO √2.
Ответ.
24.10. Обозначим данную дробь через y. Поскольку дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, меньше нуля, уравнения
равносильны. Чтобы x было действительным числом, необходимо и достаточно выполнение условия (3 − 4у)² − 4у(6у − 2) ≥ 0, т. е. 8у² + 16у − 9 ≤ 0. Ему удовлетворяют значения y, для которых −1 − √34/4 ≤ y ≤ −1 + √34/4. Правый конец интервала и будет наибольшим значением дроби.
Ответ.√34/4 − 1.
24.11. Пусть а, b, с — ребра параллелепипеда. Тогда ограничения, указанные в условии задачи, запишутся в виде системы трех соотношений:
аbс = 7,2, аb + ас + bс ≤ 12, а + b ≥ 5.
Преобразуем второе соотношение, приняв во внимание, что а + b ≥ 5:
аb + ас + bс = аb + с(а + b) ≥ аb + 5с,
т. е. аb + 5с ≤ 12. Перепишем теперь первое соотношение в виде аb · 5с = 36. Чтобы решить систему неравенства и уравнения, отыщем точки пересечения прямой x + y = 12 с гиперболой xy = 36, где x = аb, y = 5с. Решая эту систему, найдем единственную точку x = y = 6. Отсюда легко следует, что системе, записанной вначале, отвечают лишь числа с = 6/5, аb = 6. Подставив эти значения во второе соотношение, получим а + b ≤ 5. Поскольку одновременно а + b ≥ 5 (третье соотношение), то а + b = 5 наряду с условием аb = 6.
Ответ. 2, 3, 6/5.
24.12. Преобразуем данную функцию следующим образом:
Второе слагаемое достигает своего наименьшего значения, когда его знаменатель максимален. Поскольку
|sin (α + x) sin (α − x)| = ½|cos 2x − cos 2α|,