Существует косвенный метод расчета чувствительности по передаточным функциям, предложенный Быховским [17]. Согласно этому методу, функция чувствительности, например, прямого коэффициента передачи равна произведению функций передачи с входа схемы до элемента, относительно которого ищется чувствительность, и передаточной функции "элемент — выход схемы" (рисунок 8.4а).
Рисунок 8.4. Косвенный метод расчёта функций чувствительности
Так как расчет функции чувствительности сводится к расчету передаточных функций, то для их нахождения возможно применение, например, обобщенного метода узловых потенциалов. Косвенный метод расчета по передаточным функциям позволяет находить функции чувствительности более высоких порядков. На рисунке 8.4б проиллюстрировано нахождение функции чувствительности второго порядка. В общем же существует n! путей передачи сигнала, каждый из которых содержит n+1 сомножителей.
Ниже описывается метод расчета функции чувствительности, сочетающий прямой метод дифференцирования и косвенный по передаточным функциям, позволяющий за один анализ находить чувствительность к n элементам схемы [18]. Рассмотрим данный способ на примерах получения выражений для абсолютной чувствительности первого порядка S-параметров электронных схем, описанных матрицей проводимости [Y].
В матричном представлении характеристики электронных схем, в том числе и параметры рассеяния [S], определяются в виде отношений алгебраических дополнений матрицы [Y] (см. подраздел 7.2). Изменяемый параметр входит при этом в некоторые элементы алгебраических дополнений. Определение функции чувствительности сводится в этом случае к нахождению производных от отношений алгебраических дополнений (или алгебраических дополнений и определителя) по элементам, в которых содержится изменяемый параметр. В случае, когда изменяемый параметр входит в элементы дополнений определителя функционально, чувствительность определяется как сложная производная.
Для определения производных алгебраических дополнений по изменяемым параметрам входящих в них элементов воспользуемся теоремой, утверждающей, что производная определителя по какому-либо элементу равна алгебраическому дополнению этого элемента. Доказательство теоремы основано на разложении определителя по Лапласу
Общее выражение для S-параметров через алгебраические дополнения имеет вид (см. подраздел 7.2)
Sij = kijΔji/Δ – δij.
Определим функции чувствительности параметров рассеяния к пассивному двухполюснику yo включенному между произвольными узлами k и l (см. рисунок 8.5а)
Рисунок 8.5. Расчёт чувствительности S-параметров
SSijy0 = dSij/dy0 = kij(Δji(k+l)(k+l)Δ – Δ(k+l)(k+l)Δji)/Δ² = –kijΔj(k+l)Δ(k+l)i/Δ² = –kij[(Δjk – Δjl)(Δki – Δli)]/Δ²
При получении данного и последующих выражений используются следующие матричные соотношения [3]:
Δ(i+j)(k+l) = Δi(k+l) + Δj(k+l) = (Δik – Δil) + (Δjk – Δjl),
ΔijΔkl – ΔilΔkl = ΔΔij,kl.
Для электронных схем, содержащих БТ, моделируемые ИТУТ (см. подраздел 2.4.1), определим чувствительность S-параметров к проводимости управляющей ветви gэ=1/rэ и параметру управляемого источника a включенных соответственно между узлами k, l, и p, q (рисунок 8.5б):
SSijgэ = dSij/dgэ = kij[(Δji(k+l)(k+l)Δ + αΔij(k+l)(p+q))Δ – (Δ(k+l)(k+l)Δ+αΔ(k+l)(p+q)Δij])/Δ² = –kijΔ(k+l)i(Δj(k+l) + αΔj(p+q))/Δ² = –kij(Δki – Δli)[(Δjk – Δjl)+ α(Δjp - Δjq)/Δ²,
SSijα = dSij/dα = kij(Δji(k+l)(p+q)Δ – Δ(k+l)(p+q)Δji)/Δ² = –kijΔj(p+q)Δ(k+l)i/Δ² = –kij[(Δjp – Δjq)(Δki – Δli)]/Δ².
Если электронная схема содержит ПТ, моделируемые ИТУН (см. подраздел 2.4.1), то чувствительность параметров рассеяния к крутизне S, включенной между узлами p, q при узлах управления k, l (рисунок 8.5в), равна
SSijS = dSij/dS = kij(Δji(k+l)(p+q)Δ – Δ(k+l)(p+q)Δji)/Δ² = –kijΔj(k+l)Δ(p+q)i/Δ² = –kij[(Δjk – Δjl)(Δpi – Δqi)]/Δ².
Чувствительность параметров рассеяния к любому Y-параметру подсхемы (рисунок 8.5г), например, ykl, будет равна
SSijykl = dSij/dykl = kij(Δji,klΔ – ΔklΔij)/Δ² = –kijΔjlΔki/Δ².
При известной чувствительности ykl к параметру элемента подсхемы x (см. рисунок 8.5г) чувствительность S-параметров полной схемы к этому параметру, в соответствии с понятием сложной производной, выразится как
SSijx = (dSij/dykl)(dykl/dx) = SSijykl·Syklx.
Последнее выражение указывает на возможность применения метода подсхем при анализе чувствительности сложных электронных схем.
Зная связь параметров рассеяния с вторичными параметрами электронных схем (KU, Zвх, Zвых и др.) и чувствительность параметров рассеяния к изменению элементов схемы, возможно нахождение функций чувствительности вторичных параметров к изменению этих элементов. Например, для коэффициента передачи по напряжению с i-го на j-й узел Kij=Sji/(1+S11) чувствительность к изменению параметра x (полагая, что Sij=f(x) и Sii=φ(x)) получаем
SKijx = dKij/dx = [SSijx(1 + Sii) – SSiixSij]/(1 + Sii)².
Аналогично для Zвх(вых) (Zii(jj)) имеем
Zii(jj) = Zг(н)·(1 + Sii(jj))/(1 – Sii(jj));
SZii(jj)x = dZii(jj)/dx = –2Zг(н)·SSii(jj)x·Sii(jj)/(1 – Sii(jj))².
Данный способ столь же эффективно может быть использован при определении чувствительности более высоких порядков для всевозможных характеристик электронных схем. Реализация полученных таким образом алгоритмов расчета чувствительности сводится к вычислению и перебору соответствующих алгебраических дополнений, что хорошо сочетается с нахождением других малосигнальных характеристик электронных схем.
8.5. Машинные методы анализа АЭУ
В подразделе 2.3 приведена основная идея обобщенного метода узловых потенциалов, на основе которого были получены большинство соотношений для эскизного расчета усилительных каскадов. Однако наряду с несомненными достоинствами данного метода (простота программирования, малая размерность получаемой матрицы проводимости Y, n*n, где n- количество узлов схемы без опорного), данный метод имеет ряд существенных недостатков. В первую очередь следует отметить невозможность представления в виде проводимости некоторых идеальных моделей электронных схем (короткозамкнутых ветвей, источников напряжения, зависимых источников, управляемых током и т.д.). Кроме того, представление индуктивности проводимостью неудобно при временном анализе схем, что связано с преобразованием Лапласа (оператор Лапласа p должен быть в числителе для того, чтобы система алгебраических уравнений и полученная в результате преобразования система дифференциальных уравнений имела одинаковые коэффициенты).
В настоящее время наибольшее распространение получили топологические методы формирования системы уравнений электрической цепи, наиболее общим из которых является